Benutzer:Buss-Haskert/Ideen Oberstufe

2. Kurvendisussion

Kurvendiskussion - Wie verläuft der Graph der Funktion

Beschreibe den Verlauf des Graphen der Funktion
f(x) = x³ - 3x² - 13x + 15. Bestimme dazu

• Verhalten gegen +∞ und -∞
• die Extrempunkte (Hochpunkt/Tiefpunkt)
• Wendepunkte
• Monotonieintervalle
• Krümmungsintervalle

2.1 Verhalten gegen Verhalten gegen +∞ und -∞

Für das Verhalten der Funktion gegen ∞ ist nur der Ausdruck mit dem höchsten Exponenten von Bedeutung! Hier also x³.
Du überlegst also, von wo der Graph der Funktion für sehr kleine x kommt (umgangssprachlich: von oben, +∞ oder von unten,-∞) und wohin er für sehr große x geht (ebenfalls von oben, +∞ oder von unten,-∞)
So kannst du diese Teile des Graphen schon einmal skizzieren.

Für das Verhalten der Funktion gegen ∞ ist nur der Ausdruck mit dem höchsten Exponenten von Bedeutung! Hier also x³.
Setzt du für x sehr große positive Werte ein, so ist x³ auch sehr groß, also gilt $\textstyle \lim_{x \to \infty} \displaystyle$ f(x) = +∞.
Setzt du für x sehr kleine Zahlen ein (also z.B. -1000000), so ist x³ auch sehr klein, also gilt$\textstyle \lim_{x \to -\infty} \displaystyle$ f(x) = -∞
.

Der Graph der Funktion kommt also aus dem negativen Unendelichen und geht ins positive Unendliche

2.2 Extrempunkte (Hochpunkt/Tiefpunkt)

Die Extrempunkte sind die Hoch- und Tiefpunkte des Graphen. Um diese zu berechnen, schau, welche Steigung der Graph an diesen Stellen annimmt. Lass dir dazu im Applet die Steigung im Punkt A anzeigen.
Originallink: https://www.geogebra.org/m/jmrbypju

(Applet von C. Buß-Haskert)

Die Steigung am Hochpunkt und am Tiefpunkt ist jeweils 0!
Lass dir die Steigung zum Punkt jeweils einzeichnen. Es ergibt sich eine Parabel, an der du jeweils die Steigung im entsprechenden Punkt des Graphen ablesen könntest. Diese Parabel ist die 1. Ableitung! Lass dir diese ebenfalls im Applet oben anzeigen.
Um die Extremstellen zu berechnen, musst du also herausfinden, für welche Werte von x die Ableitung den Wert 0 annimmt:
Notwendige Bedingung: f'(x) = 0!
Berechne!

Funktionsgleichung: f(x) = x³ - 3x² - 13x + 15
Zeichne den Graphen der Funktion mit GeoGebra und lass dir die Extrema (im Unterpunkt PUNKTE) anzeigen (Kontrolle).
1. Ableitung: f'(x) = 3x² - 6x - 13
f'(x) = 0
3x² - 6x - 13 = 0  |:3 (normieren)
x² - 2x - 4$\tfrac{1}{3}$ = 0   |pq-Formel mit p=-2 und q=-4$\tfrac{1}{3}$
x_1/2 = 1 ± $\sqrt{1-(-4\tfrac{1}{3})}$
x₁ ≈ -1,31 und x₂ ≈ 3,31

Nun fehlt noch die y-Koordinate des Punktes. Setze dazu die x-Werte jeweils in die Funktionsgleichung von f(x) ein, denn du suchst ja den passenden Punkt auf dem Graphen.
f(-1,31) = (-1,31)³ - 3·(-1,31)² - 13·(-1,31) + 15 ≈ 24,63

f(3,31) = 3,31³ - 3·3,31² - 13·3,31 + 15 ≈ -24,63

Um zu entscheiden, ob es sich um einen Hochpunkt oder um einen Tiefpunkt handelt, betrachte das Krümmungsverhalten des Graphen. Steigt der Graph zunächst und fällt danach, handelt es sich um einen Hochpunkt, der Graph ist rechtsgekrümmt
Fällt der Graph zunächst und steigt danach, handelt es sich um einen Tiefpunkt, der Graph ist linksgekrümmt.
Das Video erklärt dies noch einmal:

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