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0) Vorwissen
1) Lineare Gleichungen mit zwei Variablen
2) Lineare Gleichungssysteme
3) Lineare Gleichungssysteme zeichnerisch lösen
4) Lineare Gleichungssysteme rechnerisch lösen
5) Modellieren
6) Checkliste

3) Lineare Gleichungssysteme zeichnerisch lösen

Einstiegsaufgabe: Im Schwimmbad

Familie Müller, das sind zwei Erwachsene und ein Kind, zahlt im Freibad 13€ Eintritt.
Herr Schuster zahlt 11 € Eintritt für sich und seine zwei Kinder.

Lege die Bedeutung der Variablen fest, z.B. x - Preis pro Erwachsener, y - Preis pro Kind.
Stelle nun jeweils eine passende Gleichung auf. Nutze zur Lösung verschiedene Darstellungen: Wertetabellen und Graphen.

Gleichungen aufstellen:
I. 2x + y = 13
II. x + 2y = 11

Wertetabellen

Wo findest du die Lösung des Problems? Begründe.

Graphen

Wo findest du die Lösung des Problems? Begründe.

Lineare Gleichungssysteme zeichnerisch lösen

Um ein lineares Gleichungssystems mit zwei Variablen zeichnerisch zu lösen, zeichnet man die Graphen der Gleichungen in ein Koordinatensystem. Die Koordinaten des Schnittpunktes erfüllen beide Gleichungen, sie sind also die Lösung des linearen Gleichungssystems

Das Video fasst die Schritte noch einmal zusammen:

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Übung 1: Zeichnerisch die Koordinaten des Schnittpunktes bestimmen

Löse die Aufgaben aus dem Buch. Zeichne pro Aufgabe ein eigenes Koordinatensystem.

• S.14, Nr.2
• S.14, Nr.3 (Forme zunächst in eine Funktionsgleichung y = mx+b um!)

Wie zeichne ich den Graphen, wenn die Funktionsgleichung gegeben ist?
1. Schritt: Zeichne den y-Achsenabschnitt b ein: P(0|b)
2. Schritt: Zeichne das Steigungsdreieck ein. Starte im Punkt P. Der Nenner gibt an, wie viele Einheiten du nach rechts gehst, der Zähler, wie viele Einheiten nach oben (unten).
3. Schritt: Zeichne die Gerade durch die so erhaltenen Punkte.

Die Bilder zeigen das Vorgehen für die Funktionsgleichung f(x) = $\tfrac{3}{5}$x - 1.

Schritt 1

Schritt 2

Schritt 3

Wie zeichne ich den Graphen zu einer Funktionsgleichung: Videos

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Lösung zu S.14 Nr. 2a Schritt für Schritt:

Die LearningApps enthalten die Lösungsschritte. Bringe sie in die richtige Reihenfolge und vergleiche deine Lösungen.

Übung 2 - Funktiongsgraphen zeichnen und LGS lösen mit GeoGebra

Löse im Applet das Gleichungssystem zeichnerisch. Stelle dazu mithilfe der Punkte den Verlauf der Geraden so ein, dass sie zu den Gleichungen passen und lies den Schnittpunkt ab.

direkter Link: https://www.geogebra.org/m/kb3en6sj

Applet von just01120

Übung 3: Im Kino

Löse im Heft. Beachte das vereinbarte Vorgehen (wie im Bild oben).

Löse schrittweise, wie oben beschrieben:
1. Lege die Bedeutung der Variablen fest
2. Stelle zwei lineare Gleichungen auf und forme sie so um, dass sie die Form y=mx+b haben.
3. Zeichne die zugehörigen Graphen in ein Koordinatensystem und lies den Schnittpunkt ab. Die Koordinaten des Schnittpunktes sind die Lösung des Gleichungssystems.

1. Schritt: Bedeutung der Variablen
x = Preis für einen Erwachsenen
y = Preis für ein Kind

2. Schritt: Gleichungen aufstellen und in eine Funktionsgleichung umformen

3. Schritt: Graphen zeichnen und Schnittpunkt bestimmen

Übung 4 - Anwendungsaufgaben

Löse die Aufgaben aus dem Buch schrittweise.
1. Lege die Bedeutung der Variablen fest
2. Stelle zwei lineare Gleichungen auf und forme sie so um, dass sie die Form y=mx+b haben.
3. Zeichne die zugehörigen Graphen in ein Koordinatensystem und lies den Schnittpunkt ab. Die Koordinaten des Schnittpunktes sind die Lösung des Gleichungssystems.

• S.14, Nr.7
• S.14, Nr.8
• S.14, Nr.9

Löse schrittweise, wie oben beschrieben:
1. Lege die Bedeutung der Variablen fest
2. Stelle zwei lineare Gleichungen auf und forme sie so um, dass sie die Form y=mx+b haben.
3. Zeichne die zugehörigen Graphen in ein Koordinatensystem und lies den Schnittpunkt ab. Die Koordinaten des Schnittpunktes sind die Lösung des Gleichungssystems.

1. Schritt: Bedeutung der Variablen
x = Leihdauer (in Tagen)
y = Preis (in €)

2. Schritt: Gleichungen aufstellen und in eine Funktionsgleichung umformen
I. y = 3x + 10
II. y = 5x

3. Schritt: Graphen zeichnen und Schnittpunkt bestimmen
Gib die Funktionsgleichungen bei GeoGebra ein und vergleiche mit deiner Lösung
GeoGebra Grafikrechner

Löse schrittweise, wie oben beschrieben:
1. Lege die Bedeutung der Variablen fest
2. Stelle zwei lineare Gleichungen auf und forme sie so um, dass sie die Form y=mx+b haben.
3. Zeichne die zugehörigen Graphen in ein Koordinatensystem und lies den Schnittpunkt ab. Die Koordinaten des Schnittpunktes sind die Lösung des Gleichungssystems.

1. Schritt: Bedeutung der Variablen
x = Anzahl der Arbeitsstunden
y = Preis (in €)

2. Schritt: Gleichungen aufstellen und in eine Funktionsgleichung umformen
I. y = 25x + 125
II. y = 30x

3. Schritt: Graphen zeichnen und Schnittpunkt bestimmen
Einteilung der Koordinatenachsen: 1cm entspricht 10 Stunden
Gib die Funktionsgleichungen bei GeoGebra ein und vergleiche mit deiner Lösung
GeoGebra Grafikrechner

Löse schrittweise, wie oben beschrieben:
1. Lege die Bedeutung der Variablen fest
2. Stelle zwei lineare Gleichungen auf und forme sie so um, dass sie die Form y=mx+b haben.
3. Zeichne die zugehörigen Graphen in ein Koordinatensystem und lies den Schnittpunkt ab. Die Koordinaten des Schnittpunktes sind die Lösung des Gleichungssystems.

1. Schritt: Bedeutung der Variablen
x = Leihdauer (in Stunden)
y = Preis (in €)

2. Schritt: Gleichungen aufstellen und in eine Funktionsgleichung umformen
I. y = 12x + 100
II. y = 20x

3. Schritt: Graphen zeichnen und Schnittpunkt bestimmen
Wähle die Einteilung der Koordinatenachsen geschickt.
Gib die Funktionsgleichungen bei GeoGebra ein und vergleiche mit deiner Lösung
GeoGebra Grafikrechner

Anzahl der Lösungen linearer Gleichungssysteme

Wie viele Lösungen kann ein lineares Gleichungssystem haben?

Bei der zeichnerischen Lösung linearer Gleichungssysteme können verschiedene Fälle auftreten. Löse die folgenden drei linearen Gleichungssysteme zeichnerisch. Zeichne ein Koordinatenkreuz pro Gleichungssystem.
Wie viele Lösungen gibt es jeweils? Begründe!

Um ein Gleichungssystem zeichnerisch lösen zu können, musst du die Gleichungen in die Form y = mx + b bringen. Dann kannst du die Geraden mit dem y-Achsenabschnitt b und dem Steigungsdreieck (für m) zeichnen.

Beim 2. Fall sind die Gleichungen schon in der Form y = mx+b gegeben.

Du kannst deine Lösungen immer mit GeoGebra prüfen:Geogebra Grafikrechner.

Wie viele Lösungen haben die lineare Gleichungssysteme jeweils? Begründe!

Übung 5: Noch mehr Übungen

Löse die Aufgaben aus dem Buch.

• S.14, Nr.5 (Prüfe mit GeoGebra!)
• S.14, Nr.6
  

Nutze zur Überprüfung deiner Lösungen GeoGebra: Geogebra-Grafikrechner

Übung 6: Bestimme die Anzahl der Lösungen

• S.15, Nr.10
• LearningApp (unten)

Du musst vor dem Zeichnen darauf achten, dass du die Gleichung in einer Funktionsgleichung der Form y=mx+b umformst. Erst dann kannst du die Geraden zeichnen.
Beispiel zu b)
2x+y=4
x+y=3
y=-2x+4
y=-x+3
Nun kannst du mithilfe der Steigung m und des y-Achsenabschnittes b entscheiden, ob die Geraden sich schneiden (eine Lösung), parallel verlaufen (keine Lösung) oder sogar identisch sind (unendlich viele Lösungen).

Übung 8: Gleichungssysteme bilden

Löse die Aufgabe aus dem Buch.

• S. 15, Nr. 12.

Ein Gleichungssystem hat keine Lösung, wenn es keinen Schnittpunkt gibt. Die Geraden müssen also parallel verlaufen.

Stelle mithilfe den Schieberegler so ein, dass die beiden Geraden keinen Schnittpunkt S haben. Wie groß ist dann die Steigung m? Was fällt dir auf? Begründe!

Geraden verlaufen parallel zueinander, wenn sie die gleiche Steigung m haben aber einen unterschiedlichen y-Achsenabschnitt b haben. Für Aufgabe 12a) muss die erste Gleichung also auch die Steigung 2 haben:
y=2x+5
y=2x-5
Die Graphen dieser Funktionen verlaufen parallel, da die Steigung m=2 gleich ist, der y-Achsenabschnitt aber verschieden ist (b=+5 und b=-5).

Bringe die erste Gleichung zunächst in die Form y = mx + b:
I. y + ___x = 3   |-___x
   y = - ___x + 3

Welche Zahl musst du nun einsetzen? Prüfe mit GeoGebra.

Bringe auch hier die erste Gleichung in die Form y = mx + b:
2y = __x + 3   |:2
 y = ___x + 1,5, wobei die Lücke m:2 beträgt.

Welche Zahl musst du nun einsetzen? Prüfe mit GeoGebra.

Erweiterung: Break-Even-Point

Um bei einer Produktion festzustellen, ab wann die Firma einen Gewinn erzielt, müssen die Kosten mit den Erlösen (Einnahmen) verglichen werden. Der Break-Even-Point ist der Punkt, an die Einnahmen und Kosten gleich hoch sind. An dieser Stelle wird kein Gewinn aber auch kein Verlust erwirtschaftet, da die Kosten und die Erlöse genau gleich sind. Ab hier beginnt also die Gewinnzone.

Übung 8: Anwendung: Break-even-Point

Eine Firma stellt Maschinenteile her. Die Fixkosten dafür betragen 200€ und pro Teil entstehen zusätzlich variable Kosten von 1,50€.
Jedes Teil wird für 4,00€ verkauft.
a) Gib die Funktionsgleichungen für die Kosten und für den Erlös an.
b) Zeichne die zugehörigen Graphen in ein Koordinatensystem und lies den Break-Even-Point ab.
c) Formuliere selbst eine Aufgabe zu diesem Sachverhalt und beantworte diese mithilfe der Zeichnung.

An dieser Aufgabe merkst du, dass die Mathematik eine Hilfswissenschaft für andere Gebiete, z.B. Sozialwissenschaften, ist. Noch mehr Aufgaben zur Berechnung des Break-Even-Points findest du hier:
Übungen zur Berechnung des Break-Even-Points

Tipp zu a)
Die Kosten setzen sich zusammen aus den Fixkosten und den variablen Kosten. x sei die Stückzahl, die gefertigt wird. Dann lautet die zugehörige Funktionsgleichung f(x)=1,5x+200.
Die Funktionsgleichung für den Erlös lautet g(x)=4x

Tipp zu b)
Wähle für die x-Achse 1cm pro 10 Stück und für die y-Achse 1cm pro 100€.

Du kannst z.B. Fragen nachdem Verlust bzw. Gewinn stellen: Wie hoch ist der Gewinn, wenn 100 Teile verkauft werden? Zur Lösung musst du die Kosten und die Einnahmen an der Stelle x=100 ablesen und dann die Kosten von den Einnahmen subtrahieren.

Erweiterung: Angebot und Nachfrage - Gleichgewichtspreis

Eine weitere Anwendung der Mathematik im Fach Sozialwissenschaften ist die Betrachtung von Angebot und Nachfrage auf dem Markt. Das Angebot sind alle Güter und Dienstleitungen, die erworben werden können. Die Nachfrage ist der Bedarf nach einem Produkt.

Hier findest du mehr Informationen zum Gleichgewichtspreis (Angebot und Nachfrage)
Gleichgewichtspreis

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