Eine Funktion ist eine eindeutige Zuordnung. Sie lässt sich auf verschiedene Arten darstellen:
als Text
als Wertetabelle
als Funktionsgleichung
als Graph
Lineare Funktionen
Lineare Funktionen erkennen
Eine Funktion, deren Funktionsgleichung die Form f(x) = mx + b hat, heißt lineare Funktion. Der Graph einer linearen Funktion ist immer eine Gerade mit der Steigung m und dem y-Achsenabschnitt b. Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt P(0Ib).
Lineare Funktionen erkennen:
Diese Eigenschaften werden in folgendem Lied besungen.
Hier heißt die Funktionsgleichung f(x) = mx + n (n statt b, du findest in verschiedenen Büchern verschiedene Bezeichnungen).
Entscheide in den folgenden Apps, ob die Funktion linear ist oder nicht. In der letzten App gib die Funktionsgleichung an oder lies m und b ab.
Lineare Funktionen: Wertetabelle
Wertetabelle erstellen
Berechne den y-Wert der Funktion, indem du den x-Wert in die Funktionsgleichung einsetzt.
Beispiel Bootsverleih: y = 2x + 5
Für x = 1 gilt: y = 2 · 1 + 5
= 7
Für x = 2 gilt: y = 2 · 2 + 5
= 9
Übertrage die Werte in die Wertetabelle:
x
0
1
2
3
4
...
y
5
7
9
11
13
...
Lineare Funktionen: Gleichung und Graph
Funktionsgraphen zeichnen
Trage die Punkte der Wertetabelle in ein Koordinatenkreuz ein und zeichne den Graphen der Funktion.
Erinnerung:"Zuerst nach rechts und dann nach oben, dann werde ich dich loben" bzw. "Zuerst Anlauf nehmen, dann hoch springen."
Lineare Funktionen: Funktionsgleichung aufstellen
Lies den y-Achsenabschnitt b ab.
Zeichne das Steigungsdreieck und bestimme damit die Steiung m.
1. Beispiel: m ist eine positive ganze Zahl (also eine natürliche Zahl):
2. Beispiel: m ist eine negative ganze Zahl:
3. Beispiel: m ist ein Bruch (positiv):
4. Beispiel: m ist ein Bruch (negativ):
Beispiel 1 (leicht): m ist eine natürliche Zahl
Beispiel 2 (mittel): m ist eine negative ganze Zahl
Beispiel 3 (schwer): m ist ein Bruch
Übung: Bestimmen der Funktionsgleichung einer Geraden
Ordne den Geraden die Funktionsgleichung zu. Wähle eine passende Schwierigkeit aus.
leicht (*)
mittel (**)
schwer (***)
Lineare Funktionen: Graph zeichnen
Zeichne den y-Achsenabschnitt b ein. P(0|b)
Zeichne das Steigungsdreieck. Starte im Punkt P. Der Nenner gibt an, wie viele Einheiten du nach rechts gehst, der Zähler, wie viele Einheiten nach oben (unten).
Schritt: Zeichne die Gerade durch die so erhaltenen Punkte.
Für den Schnittpunkt Py mit der y-Achse (y-Achsenabschnitt) setzen wir x = 0 in die Funktionsgleichung ein berechnen b.
Py (0|b)
Für den Schnittpunkt N mit der x-Achse (Nullstelle) setzen wir f(x) = 0 (oder y = 0) in die Funktionsgleichung ein und lösen die Gleichung nach x auf.
N (xNI0)
Lineare Funktionen: Punktprobe
Punktprobe
Wir können rechnerisch prüfen, ob ein Punkt auf dem Graphen der Funktion liegt. Dazu setzen wir die Koordinaten des Punktes P(xIy) in die Funktionsgleichung f(x) = mx + b ein. Der Punkt liegt auf dem Graphen, wenn sich eine wahre Aussage ergibt, die Gleichung also erfüllt ist.
Übung
Löse die Aufgaben aus dem Buch. Vergleiche deine Lösungen mit denen hinten im Buch.
S. 122, P2 - P9
S. 150, Nr. 3-6
Quadratische Funktionen
Quadratische Funktionen
Es gibt verschiedene Formen quadratischer Funktionen.
Normalform: f(x) = x²
Scheitelpunktform: f(x) = a(x + d)² + e mit S(-d|e)
allgemeine Form: f(x) = ax² + bx + c
Die Scheitelpunktform quadratischer Funktionen
Quadratische Funktionen: Scheitelpunktform und Normalform
Du kannst die Formen der Quadratischen Funktionen umwandeln:
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