Digitale Werkzeuge in der Schule/Pyramiden entdecken/Pyramiden vermessen: Unterschied zwischen den Versionen

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{{Lösung versteckt|Der gesuchte Flächeninhalt berechnet sich aus der Mantelfläche abzüglich des halbrunden Eingangs.|Tipp 2|Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Der gesuchte Flächeninhalt berechnet sich aus der Mantelfläche abzüglich des halbrunden Eingangs.|Tipp 2|Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Bei dem Eingang handelt es sich um einen Halbkreis. Der Flächeninhalt dieses Halbkreises lässt sich mit der Formel <math>A=\frac{1}{2} \cdot r^2 \cdot \pi</math> berechnen.|Tipp 3|Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Bei dem Eingang handelt es sich um einen Halbkreis. Der Flächeninhalt dieses Halbkreises lässt sich mit der Formel <math>A=\frac{1}{2} \cdot r^2 \cdot \pi</math> berechnen.|Tipp 3|Tipp verbergen}}
{{Lösung versteck|Wir berechnen zunächst die Mantelfläche der achteckigen Pyramide. Dazu müssen wir zunächst die fehlenden Daten schätzen. Wir nehmen an, dass der Mensch ungefähr <math>1,70 \text{ m}</math> groß ist. Wir schätzen daher, dass die Seitenhöhe des Tipis ungefähr <math>4,1 \text{ m}</math> beträgt (da wir die Gesamthöhe auf ungefähr <math>3,8 \text{ m}</math> geschätzt haben). Die Breite einer Grundkante schätzen wir auf ungefähr <math>1,3 \text{ m}</math> (da wir den Durchmesser des Achtecks auf <math>3,5 \text{ m}</math> geschätzt haben. Wir berechnen zunächst den Flächeninhalt einer einzelnen Seitenfläche des Achtecks:
{{Lösung versteckt|Wir berechnen zunächst die Mantelfläche der achteckigen Pyramide. Dazu müssen wir zunächst die fehlenden Daten schätzen. Wir nehmen an, dass der Mensch ungefähr <math>1,70 \text{ m}</math> groß ist. Wir schätzen daher, dass die Seitenhöhe des Tipis ungefähr <math>4,1 \text{ m}</math> beträgt (da wir die Gesamthöhe auf ungefähr <math>3,8 \text{ m}</math> geschätzt haben). Die Breite einer Grundkante schätzen wir auf ungefähr <math>1,3 \text{ m}</math> (da wir den Durchmesser des Achtecks auf <math>3,5 \text{ m}</math> geschätzt haben). Wir berechnen zunächst den Flächeninhalt einer einzelnen Seitenfläche (also eines Dreiecks) der achteckigen Pyramide:


<math>A_{Seitenfläche}=\frac{1}{2} \cdot 1,3 \cdot 4,1=2,665 \text{ m²} \approx 2,67 \text{ m²}</math>
<math>A_{Dreieck}=\frac{1}{2} \cdot 1,3 \cdot 4,1=2,665 \text{ m²} \approx 2,67 \text{ m²}</math>


Als nächstes berechnen wir den Mantelflächeninhalt der Pyramide:
Als nächstes berechnen wir den Mantelflächeninhalt der Pyramide:
<math>M=8 \cdot A_{Seitenfläche}=8 \cdot 2,67=21,36 \text{ m²}</math>
<math>M=8 \cdot A_{Dreieck}=8 \cdot 2,67=21,36 \text{ m²}</math>


Wir schätzen den Durchmesser des Halbkreises auf <math>1,2 \text{ m}</math>.
Wir schätzen den Durchmesser des Halbkreises auf <math>1,2 \text{ m}</math>.
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<math>A_{Kreis}=\frac{1}{2} \cdot 0,6^2 \cdot \pi \approx 0,57 \text{ m²}
<math>A_{Kreis}=\frac{1}{2} \cdot 0,6^2 \cdot \pi \approx 0,57 \text{ m²}
\Rightarrow A_{gesucht}=21,36-0,57=20,79 \text{ m²}</math>
\Rightarrow A_{gesucht}=21,36-0,57=20,79 \text{ m²}</math>
Für ein Tipi werden ungefähr <math>20,79 \text{ m²}</math> Zeltplane benötigt.|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}


Für ein Tipi werden ungefähr <math>20,79 \text{ m²}</math> Zeltplane benötigt.|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}
|Arbeitsmethode|Farbe=purple}}
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Version vom 27. Oktober 2022, 08:56 Uhr

Bauarbeiter.jpg

Dieser Lernpfad befindet sich aktuell im Aufbau.

Info

In diesem Lernpfadkapitel lernst du

  • wie du von Pyramiden den Oberflächeninhalt schätzen kannst.
  • wie du von Pyramiden den Oberflächeninhalt berechnen kannst.

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:

  • In Aufgaben, die orange gefärbt sind, kannst du grundlegende Kompetenzen wiederholen und vertiefen.
  • Aufgaben in pinker Farbe sind Aufgaben mittlerer Schwierigkeit.
  • Und Aufgaben mit lilanem Streifen sind Knobelaufgaben.
Viel Erfolg!

Wiederholung(Optional)

Um die Oberfläche einer Pyramide zu bestimmen, ist es wichtig, dass du weißt, wie man den Flächeninhalt von Quadraten und von Dreiecken bestimmt. Wenn du dich noch daran erinnerst, wie man diesen bestimmt, trage die Formeln direkt auf deinem Arbeitsblatt ein und starte bei "Oberflächeninhalte berechnen". Wenn du dir noch etwas unsicher bist und eine kurze Wiederholung brauchst, bearbeite die folgenden Aufgaben.

Quadratischen Flächeninhalt berechnen

Aufgabe 1: Flächeninhalt vom Quadrat

Berechne den Flächeninhalt des folgenden Quadrates:


Die Formel zur Berechnung eines quadratischen Flächeninhalts lautet:
Flächeninhalte werden in cm² angegeben. Um "²" einzufügen, drücke gleichzeitig die Tasten "Alt Gr" und "2"
Gib im zweiten Kästchen die richtige Einheit an.


Info
Übertrage die Formel zur Berechnung eines quadratischen Flächeninhaltes auch auf dein Arbeitsblatt (die vollständige Formel findest du unter "Tipp 1").

Dreieckigen Flächeninhalt berechnen

Aufgabe 2: Flächeninhalt vom Dreieck

Berechne den Flächeninhalt des folgenden Dreiecks:


Die Formel zur Berechnung eines dreieckigen Flächeninhaltes lautet:
Flächeninhalte werden in cm² angegeben. Um "²" einzufügen, drücke gleichzeitig die Tasten "Alt Gr" und "2"
Gib auch hier im zweiten Kästchen die richtige Einheit an.


Info
Übertrage die Formel zur Berechnung eines dreieckigen Flächeninhaltes auch auf dein Arbeitsblatt (die vollständige Formel findest du unter "Tipp 1").

Falls du zu den beiden Themen weitere Aufgaben zur Wiederholung benötigst

Aufgabe 3: Quadratische Flächeninhalte berechnen

a)

b)

c)

a)

b)

c)


Aufgabe 4: Dreieckige Flächeninhalte berechnen


a)

b)

c)

a)

b)

c)


Aufgabe 5: Dreieckige Flächeninhalte berechnen Teil 2


a)

b)

c)

a)

b)

c)

Oberflächeninhalte berechnen

Pyramiden im Alltag

Lies dir eine der folgenden Kurzgeschichten durch und löse anschließend den nachstehenden Arbeitsauftrag.

Louvre_Museum_(228021559)

1981 initiierte der damalige französische Staatspräsident das Projekt „Grand-Louvre“. Im Rahmen dessen wurde der Architekt Ieoh Ming Pei beauftragt, die heutige Glaspyramide im Zentrum des Palastes zu entwickeln. Die Blaupause steht und die Vision ist klar: Die Pyramide soll komplett mit Glas umfasst werden! Nun geht es darum zu ermitteln, wie viele der rautenförmigen Glasscheiben hergestellt werden müssen.

Kheops-Pyramid.jpg

Die Cheops-Pyramide ist die älteste und größte der drei Pyramiden von Gizeh und wird deshalb auch als „Große Pyramide“ bezeichnet. Die höchste Pyramide der Welt wurde als Grabmal für den Pharao Cheops etwa 2620 v. Chr. errichtet und gilt heutzutage als eines der sieben Weltwunder der Antike. Natürlich mussten ausreichend Steine gehauen werden, um den Bau zu vollenden. Der zuständige Untertan stand vor der Aufgabe, die passende Anzahl zu berechnen.

Münster, St.-Paulus-Dom -- 2019 -- 3536

Im Zweiten Weltkrieg wurde der St.-Paulus-Dom in Münster durch Bombentreffer schwer beschädigt. In den Jahren 1946 bis 1956 wurde der Dom wieder aufgebaut. Unter anderem mussten die pyramidenförmigen Kirchturmspitzen wieder mit neuen Dachziegeln belegt werden, doch die Materialien in der Nachkriegszeit waren knapp. Somit soll eine möglichst passende Anzahl berechnet werden.
 


Aufgabe 6: Materialien berechnen

Überlege dir bei einer der Geschichten, wie man das Problem mathematisch lösen könnte. Schreibe deine Überlegungen auf und stell dir dabei vor, du müsstest deinen Arbeitgeber von deinen Überlegungen überzeugen.

Kannst du dein Vorgehen auch verallgemeinern und auf die anderen Probleme anwenden? Falls dir dies schwer fällt, schau dir genau den nächsten Abschnitt an!


Formel aufstellen

Schrägbild einer Pyramide mit angegebener Kantenlänge und Seitenhöhe
Gitternetz einer Pyramide mit angegebener Kantenlänge und Seitenhöhe.

Wie du bereits im vorherigen Kapitel entdeckt hast, lässt sich die Oberfläche einer Pyramide in ein Gitternetz überführen, indem man die Pyramide 'aufklappt' und die Seitenflächen auf eine Ebene projiziert.

Das so entstandene Gitternetz besteht somit aus einer Grundfläche und den dreieckigen Seitenflächen, welche zusammen die sogenannte Mantelfläche bilden.

Den Flächeninhalt des gesamten Gitternetzes nennt man den Oberflächeninhalt . Du kannst dir diese Größe als Menge an Verpackung vorstellen, die du benötigst, um das pyramidenförmige Objekt zu umschließen.


Merksatz: Oberflächeninhalt

Der Oberflächeninhalt einer Pyramide lässt sich durch die Summe ihrer Grundfläche und ihrer Mantelfläche berechnen. Als Formel ergibt sich somit:

.

Im Falle einer quadratischen Pyramide, welche ihre Spitze über der Mitte ihrer Grundfläche hat, ergibt sich für die Grundfläche die Fläche eines Quadrates und für ihre Mantelfläche die Flächeninhalte von vier gleichgroßen Dreiecken.


Beispiel: Oberflächeninhalt berechnen

Sei wie rechts eine Pyramide gegeben mit einer Kantenlänge von und einer Seitenhöhe von .

Grundfläche G:

.

Seitenfläche A:

Mantelfläche M:

.

Oberfläche O:

Um Aufgabe 6 zu lösen, wäre somit ein geeigneter Ansatz, die Mantelfläche der pyramidenförmigen Gebilde zu berechnen. Anstatt die Bestandteile einzeln zu zählen, bedarf es demnach nur der Kantenlänge und der Seitenhöhe.

Aufgabe Lückentext (wie Beispiel)


Aufgabe 7: Oberflächeninhalte verschiedener Pyramiden berechnen

Grundlagen-bearbeiten.png Kehre nun zum Arbeitsblatt zurück und bearbeite die Aufgabe 7 zum Einüben des Verfahrens.


Aufgabe 8: Tetraeder?

Azra hat zur Berechnung an einer Pyramide mit dreieckiger Grundfläche sehr viele Größen gemessen, um auf alles vorbereitet zu sein. Allerdings sollte sie nur den Oberflächeninhalt berechnen.

GeoGebra

Kevin erwidert, dass dies ja viel zu viel Arbeit sei, da man doch nur eine der Seitenflächen benötigt. Schnell berechnet er:

.

Stimmst du diesem Ergebnis zu oder war Kevin doch etwas zu voreilig? Berechne dazu selbst den Oberflächeninhalt und vergleiche dein Ergebnis!


Tatsächlich unterscheiden sich bei diesem Tetraeder die Kantenlängen, da es sich nicht um ein gleichseitiges Dreieck als Grundfläche handelt. Somit sind auch die Seitenflächen nicht deckungsgleich und müssen einzeln berechnet werden.


Pyramiden schätzen

Aufgabe 9: Oberfläche von Pyramiden schätzen

Ordne jedem Bild durch Schätzen den passenden Oberflächeninhalt zu (du musst hier nichts rechnen!):

Schrägbild einer Pyramide mit angegebener Kantenlänge und Seitenhöhe
Aufgabe 10: Oberfläche berechnen mit unbekanntem Parameter

Auf dem Bild rechts siehst du das Luxor Hotel und Casino. Es steht in Las Vegas und zeichnet sich vor allem durch seine Pyramidenform aus. Die Außenfassade besteht fast vollständig aus Glas und muss natürlich regelmäßig geputzt werden. Dafür soll eine neue Reinigungsfirma engagiert werden. Diese möchte aber vorab wissen, wie viele Quadratmeter circa zu putzen sind. Du weißt, dass das Gebäude 107 m hoch ist und 106,7 m breit.

a) Welche Angabe, die du zur genauen Berechnung der zu reinigenden Fläche benötigst, fehlt?

Achte genau darauf, welche Höhe gegeben ist und welche Höhe du zur Berechnung der Seitenflächen benötigst.

b) Berechne die Größe der zu reinigenden Fläche, indem du die fehlende Angabe schätzt.

Das Luxor Hotel und Casino kam auch schon in der Aufgabe 9 vor. Um deine Ergebnis zu kontrollieren, kannst du dies mit der Lösung aus Aufgabe 9 abgleichen.

Grundlagen-bearbeiten.png Kehre nun zum Arbeitsblatt zurück und bearbeite die Aufgabe x.


Aufgabe 11: Oberfläche vom Louvre schätzen
Unter folgendem Link [[1]] findest du eine Streetview-Ansicht vom Louvre. Bestimme nun den Oberflächeninhalt der Glasfläche, indem du die benötigten Parameter vorerst schätzt.


Vertiefen und Vernetzen

Aufgabe z: Zusammengesetzte Körper


zusammengesetzte Körper (Dachstuhl/Fachwerkhaus/Kirchturm) Die Schülerinnen und Schüler einer fünften Klasse sollen vor Weihnachten in der Schule eigene Nikolaushäuschen bauen, die einen quaderförmigen Körper sowie ein pyramidenförmiges Dach haben.

??? Nikolaushäuschen (Quader mit Pyramidendach) selbst gebaut (Frage: Wie viel Pappe braucht man, wenn alle SuS einer Klasse ein Häuschen bauen sollen?, Verschnitt 20% miteinrechnen) ???

Hier steht ein Tipp.
Hier steht die Lösung.


Aufgabe x: Pyramidenstumpf
Slovak Radio Building

Das Slovak Radio Building in Bratislava (Slowakei) hat die Form eines umgedrehten quadratischen Pyramidenstumpfes. Die Seiten sowie das Dach des Gebäudes sollen eine neue Glasfassade erhalten, die aus Sicherheitsglas bestehen soll. Das Gebäude ist an der unteren Kante breit, an der oberen Kante breit und ist hoch. Die Seitenhöhe der Fassade beträgt .

a) Berechne, wie viel Quadratmeter des Sicherheitsglases für die neue Fassade und das Dach benötigt werden. Runde auf zwei Stellen nach dem Komma.

Die Seitenflächen des Gebäudes sind trapezförmig.
Die Formel für die Berechnung des Flächeninhaltes eines Trapezes lautet:

Wir berechnen die Lösung nach der oben aufgestellten Formel:

Die Mantelfläche besteht hier aus vier identischen Trapezen, mit den Kantenlängen und der Höhe . Es gilt somit für eine Seitenfläche:

.

Für die Mantelfläche folgt dann: .

Die Grundfläche ist in diesem Fall das Dach des Gebäudes, welches ebenfalls aus Glas bestehen soll:

Zusammen gilt dann:

Es werden insgesamt Sicherheitsglas benötigt.

b) Das Sicherheitsglas kostet im Handel ungefähr 75 €/m². Bei der Montage der Fassade werden immer einige Glasplatten beschädigt, sodass 2% mehr Glas gekauft wird, als eigentlich für die Fassade benötigt wird. Berechne, wie hoch die Materialkosten sind, die für die neue Fassade entstehen.

Wir berechnen zunächst die zu bestellende Glasmenge:

Nun folgt für den Materialpreis:

Das Material für die neue Fassade kostet insgesamt


Aufgabe y: Tipi
Tipi

Für ein Tipi-Modell soll eine Plane hergestellt werden. Das Tipi ist in der Abbildung rechts maßstabsgetreu abgebildet. Zur Vereinfachung kannst du annehmen, dass das Tipi die Form einer regelmäßigen achteckigen Pyramide hat, die an einer der Seitenflächen eine halbrunden Öffnung enthält. Der Boden des Tipis wird nicht mit einer Plane ausgekleidet. [Jede der acht Seitenflächen des Tipis ist an der Grundkante breit und hoch. Die halbrunde Öffnung hat einen Durchmesser von .]

Berechne, wie viel Quadratmeter Zeltplane für ein Tipi benötigt wird.

Schätze die benötigten Größen zur Berechnung der Fläche, indem du den abgebildeten Menschen als Referenzgröße verwendest.
Der gesuchte Flächeninhalt berechnet sich aus der Mantelfläche abzüglich des halbrunden Eingangs.
Bei dem Eingang handelt es sich um einen Halbkreis. Der Flächeninhalt dieses Halbkreises lässt sich mit der Formel berechnen.

Wir berechnen zunächst die Mantelfläche der achteckigen Pyramide. Dazu müssen wir zunächst die fehlenden Daten schätzen. Wir nehmen an, dass der Mensch ungefähr groß ist. Wir schätzen daher, dass die Seitenhöhe des Tipis ungefähr beträgt (da wir die Gesamthöhe auf ungefähr geschätzt haben). Die Breite einer Grundkante schätzen wir auf ungefähr (da wir den Durchmesser des Achtecks auf geschätzt haben). Wir berechnen zunächst den Flächeninhalt einer einzelnen Seitenfläche (also eines Dreiecks) der achteckigen Pyramide:

Als nächstes berechnen wir den Mantelflächeninhalt der Pyramide:

Wir schätzen den Durchmesser des Halbkreises auf . Nun berechnen wir den Flächeninhalt des Halbkreises und ziehen diesen dann von der Mantelfläche ab:

Für ein Tipi werden ungefähr Zeltplane benötigt.