Der Abstand zweier windschiefer Geraden
und
ist die kürzeste Verbindung zwischen einem Punkt der Geraden
und einem Punkt der Geraden
. Diese kürzeste Verbindungsstrecke
zwischen den beiden Geraden ist sowohl orthogonal zu
als auch orthogonal zu
und heißt gemeinsames Lot der windschiefen Geraden
und
.
Für die Bestimmung des Abstandes
berechnet man also die Länge des gemeinsamen Lotes der Geraden. Dafür gibt es wieder verschiedene Möglichkeiten. Hier werden zwei Verfahren noch einmal zusammengefasst:
Seien
und
die windschiefen Geraden.
Verfahren Gemeinsames Lot
- Bestimme die Geradenpunkte
und
in Abhängigkeit von dem jeweiligen Geradenparameter.
- Stelle den Verbindungsvektor
in Abhängigkeit von den Geradenparametern auf.
- Bestimme nun die Parameter
und
so, dass der Verbindungsvektor
orthogonal zu den Richtungsvektoren von
und
ist. Du löst also das lineare Gleichungssystem mit den beiden Gleichungen
und
.
- Mit diesen Parametern erhältst du die Lotfußpunkte
und
und kannst den Abstand
bestimmen.
Verfahren Hilfsebene
Es gibt eine Ebene
, sodass
in
liegt und
parallel zu
ist. Für diese Ebene
ist dann der Abstand zwischen den Geraden
gleich dem Abstand zwischen
und einem beliebigen Punkt
auf
.
1. Stelle die Ebenengleichung in Koordinatenform der Ebene
auf, sodass die GErade
in
liegt und die Gerade
parallel zu
ist:
Jeder Normalenvektor von dieser Ebene
ist orthogonal zu den Richtungsvektoren von den Geraden
und
. Bestimme also aus den Gleichungen
und
einen Normalenvektor
.
Die Ebenengleichung in Koordinatenform ist dann
.
Die Gerade
soll in
liegen. Bestimme also
, indem du einen Punkt der Geraden
in die Ebenengleichung einsetzt.
2. Wähle einen beliebigen Punkt
auf der Geraden
. (Da
parallel zu
ist, haben alle Punkte von
den gleichen Abstand zu
.)
3. Bestimme mit der Formel für den Abstand eines Punktes von einer Ebene oder dem Lotfußpunktverfahren (siehe Abschnitt Abstand Punkt Ebene) den Abstand
. So, wie wir die Ebene
konstruiert haben, ist nun der Abstand zwischen den windeschiefen Geraden
.
Beispiel:
Wir bestimmen den Abstand der windschiefen Geraden
und
.
Mit dem Verfahren Gemeinsames Lot:
1. Geradenpunkte
und
in Abhängigkeit von dem jeweiligen Geradenparameter:
und
2. Verbindungsvektor
in Abhängigkeit von den Geradenparametern
und
:
3.
und
so bestimmen, dass
orthogonal zu den Richtungsvektoren von
und
ist, also das lineare Gelichungssystem
und
lösen:
und
liefert
und
.
4. Damit erhält man die Lotfußpunkte
und
.
Also ist
.
Mit dem Verfahren Hilfsebene:
1. Ebenengleichung der Ebene
, sodass
in
liegt und
parallel zu
ist, aufstellen:
Der Normalenvektor ist orthogonal zu den Richtungsvektoren von
und
, also gilt:
und
bzw.
und
.
Dieses Gleichungssystem ergibt
als möglichen Normalenvektor.
Also ist
.
Einen Punkt der Geraden
einsetzen, um
zu erhalten (denn die Gerade
soll in der Ebene
liegen):
Wir nehmen den Punkt
auf
. Also ist
und insgesamt
.
2. Einen beliebigen Punkt
auf der Geraden
wählen: Wir nehmen
.
3. Abstand mit der Formel zur Berechnung des Abstandes zwischen einem Punkt und einer Ebene bestimmen:
![{\displaystyle d(g;h)=d(E;H)=\frac {|-\frac{7}{4}\cdot 7 + (-1)\cdot 7 + 1\cdot 0-1|}{\sqrt{(-\frac{7}{4}^2+(-1)^2+1^2}}=9}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=e8684a9c4d6fb203a8c7be7d390a61ca&mode=mathml)