Benutzer:Buss-Haskert/Trigonometrie/Sinus,Kosinus,Tangens: Unterschied zwischen den Versionen
Keine Bearbeitungszusammenfassung Markierung: 2017-Quelltext-Bearbeitung |
KKeine Bearbeitungszusammenfassung Markierung: 2017-Quelltext-Bearbeitung |
||
| Zeile 77: | Zeile 77: | ||
Die Hypotenuse im Dreieck ABC ist die Seite a, die Hypotenuse im Dreieck ABD ist die Seite c und die Hypotenuse im Dreieck ADC ist die Seite b.|2=Tipp zu Nr. 6|3=Verbergen}} | Die Hypotenuse im Dreieck ABC ist die Seite a, die Hypotenuse im Dreieck ABD ist die Seite c und die Hypotenuse im Dreieck ADC ist die Seite b.|2=Tipp zu Nr. 6|3=Verbergen}} | ||
{{Lösung versteckt|Die Lösungen zu den Aufgaben auf dieser Seite findest du hinten im Buch.|Lösungen zu Nr. 3|Verbergen}} | {{Lösung versteckt|Die Lösungen zu den Aufgaben auf dieser Seite findest du hinten im Buch.|Lösungen zu Nr. 3|Verbergen}} | ||
<br> | |||
<br> | |||
In den vorausgegangenen Übungen hast du jeweils die Seitenverhältnisse für Sinus, Kosinus und Tangens benannt. | In den vorausgegangenen Übungen hast du jeweils die Seitenverhältnisse für Sinus, Kosinus und Tangens benannt. | ||
| Zeile 90: | Zeile 92: | ||
tan<math>\alpha</math> = <math>\tfrac{8}{15}</math> <math>\approx</math> 0,53<br> usw.|2=Tipp zu Nr. 1|3=Verbergen}} | tan<math>\alpha</math> = <math>\tfrac{8}{15}</math> <math>\approx</math> 0,53<br> usw.|2=Tipp zu Nr. 1|3=Verbergen}} | ||
{{Lösung versteckt|1=Es fällt auf, dass sin <math>\alpha</math> = cos<math>\beta</math> und sin <math>\beta</math> = cos<math>\alpha</math>|2=Tipp zu Nr. 2|3=Verbergen}} | {{Lösung versteckt|1=Es fällt auf, dass sin <math>\alpha</math> = cos<math>\beta</math> und sin <math>\beta</math> = cos<math>\alpha</math>|2=Tipp zu Nr. 2|3=Verbergen}} | ||
<br> | |||
{{Box|Übung 4|Löse auf der Seite [https://www.aufgabenfuchs.de/mathematik/flaeche/dreieck/trigonometrie.shtml '''Aufgabenfuchs'''] die Aufgaben | {{Box|Übung 4|Löse auf der Seite [https://www.aufgabenfuchs.de/mathematik/flaeche/dreieck/trigonometrie.shtml '''Aufgabenfuchs'''] die Aufgaben | ||
* 5 | * 5 | ||
Was fällt dir auf? Kannst du deine Beobachtung begründen?|Üben}} | Was fällt dir auf? Kannst du deine Beobachtung begründen?|Üben}} | ||
<br> | |||
{{Lösung versteckt|1=Es fällt auf, dass der Sinuswert eines Winkels zwischen 0° und 90° immer kleiner als 1 ist, denn<br> | {{Lösung versteckt|1=Es fällt auf, dass der Sinuswert eines Winkels zwischen 0° und 90° immer kleiner als 1 ist, denn<br> | ||
die Katheten immer kürzer als die Hypotenuse sind, daher ist der Quotient aus Gegenkathete:Hypotenuse immer kleiner als 1.|2=Tipp|3=Verbergen}} | die Katheten immer kürzer als die Hypotenuse sind, daher ist der Quotient aus Gegenkathete:Hypotenuse immer kleiner als 1.|2=Tipp|3=Verbergen}} | ||
<br> | |||
<br> | <br> | ||
Die Werte der Seitenverhältnisse hängen ab vom Winkel. Ist in einem rechtwinkligen Dreieck (mit <math>\gamma</math>=90°) der Winkel <math>\alpha</math> = 10°, so ist das Seitenverhältnis sin <math>\alpha</math> = <math>\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}</math> immer gleich groß. Diesen Wert kannst du mit deinem Taschenrechner bestimmen. Die Bildreihenfolge zeigt dir, wie du z.B. den Sinuswert für den Winkel <math>\alpha</math> =38° mit bestimmst. | Die Werte der Seitenverhältnisse hängen ab vom Winkel. Ist in einem rechtwinkligen Dreieck (mit <math>\gamma</math>=90°) der Winkel <math>\alpha</math> = 10°, so ist das Seitenverhältnis sin <math>\alpha</math> = <math>\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}</math> immer gleich groß. Diesen Wert kannst du mit deinem Taschenrechner bestimmen. Die Bildreihenfolge zeigt dir, wie du z.B. den Sinuswert für den Winkel <math>\alpha</math> =38° mit bestimmst. | ||
Version vom 25. Februar 2021, 13:59 Uhr
1) Sinus, Kosinus, Tangens - Seitenverhältnisse in rechtwinkligen Dreiecken
1.1 Steigung einer Straße
Der Einstieg ist angelehnt an das Material des Landesbildungsservers BW https://www.schule-bw.de/faecher-und-schularten/mathematisch-naturwissenschaftliche-faecher/mathematik/unterrichtsmaterialien/sekundarstufe1/geometrie/trig/trigors/lernumgebung/index.html Es wurde unter der Lizenz CC BY veröffentlicht.
Es gibt mehrere Möglichkeiten, die Steigung einer Straße anzugeben:
1. Angabe in Prozent
Das Verkehrsschild gibt die Steigung einer Straße in Prozent an.
a) Was bedeutet die Angabe von 12% Steigung? Erkläre!
b) Gibt es eine Steigung, die größer als 100% ist?
2. Angabe mithilfe des Steigungsdreiecks und m
Die Steigung einer Geraden f(x) = mx + b gibt der Faktor m an. Dazu zeichnest du das Steigungsdreieck.
m = = 0,12
3. Angabe mithilfe des Steigungswinkels α
Das nachfolgende Applet zeigt diese drei Möglichkeiten noch einmal. Verändere die Steigung mithilfe des Schiebereglers und beobachte, was passiert.
Applet von holo2012
Versuche herauszufinden, welcher Zusammenhang zwischen den verschiedenen Darstellungsmöglichkeiten besteht.
1. Verändere die Höhe und beobachte die anderen Angaben zur Steigung.
2. Aktiviere das Kontrollkästchen "Steigung eines beliebigen Punktes auf der Straße" und verschiebe den Punkt P entlang der Straße.
Ergebnis: In den ähnlichen (rechtwinkligen) Dreiecken gilt:
Das Seitenverhältnis hängt nicht von der Größe der Dreiecke ab, sondern nur vom Winkel α.
Bewege die Punkte B1, B2 und C1 und beobachte die Seitenverhältnisse.
In einem rechtwinkligen Dreieck bezeichnet man die Katheten bezogen auf den Winkel (z.B. ) mit besonderen Namen:
In den vorausgegangenen Übungen hast du jeweils die Seitenverhältnisse für Sinus, Kosinus und Tangens benannt.
Wenn du die Länge der Seiten kennst, kannst du den Wert dieser Seitenverhältnisse berechnen.
Dieser hängt ab vom Winkel, wie oben erarbeitet.
Schau dazu das folgende Video an:
Die Werte der Seitenverhältnisse hängen ab vom Winkel. Ist in einem rechtwinkligen Dreieck (mit =90°) der Winkel = 10°, so ist das Seitenverhältnis sin = immer gleich groß. Diesen Wert kannst du mit deinem Taschenrechner bestimmen. Die Bildreihenfolge zeigt dir, wie du z.B. den Sinuswert für den Winkel =38° mit bestimmst.
.png)
_Wert.png)
Du hast also sin 38° 0,62 berechnet. Dies kannst du mit der Simulation oben überprüfen.
Ebenso berechnest du mit dem Taschenrechner die Werte für den Kosinus (mit der Taste "cos") und den Tangens (mit "tan").
