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Wachstum - Zinseszins

Zinseszins

In diesem Lernpfad lernst du

• was Zinseszinsen sind,
• welche Bedeutung Zinseszinsen für Kapitalanlage haben,
• welcher Unterschied zwischen der Geldanlage mit und ohne Zinseszinsen besteht.

Vorwissen

Vorwissen: Zinsrechnung: Jahres-,Monats- und Tageszinsen

Wiederhole dein Wissen zur Zinsrechnung mithilfe der Aufgaben in der ANTON App. Klasse 10c: Das hast du ja schon in der Wochenaufgabe der letzten Woche erledigt!

1) Einstieg: Sparschwein

Sparschwein

Schreibe die Aufgabe und beide Möglichkeiten in dein Heft. Fülle die Tabelle aus.

Deine Oma schenkt dir zu deiner Geburt 1000€. Nun muss sie entscheiden, wie sie das Geld für dich angelegt. Die Bank bietet ihr einen Zinssatz von 5% an. Berechne, wie viel Geld du mit 18 Jahren bekämst. Übertrage die beiden Möglichkeiten in dein Heft und fülle die Tabelle aus.

1. Möglichkeit:
Sie lässt sich die Zinsen jedes Jahr auszahlen und spart sie in einem Sparschwein.

K = 1000€; p% = 5% = 0,05

Jahre	Guthaben(€)
0	1000
1	1050
2	1100
3	1150
...	...
18	...

2. Möglichkeit:
Sie lässt die Zinsen auf dem Sparbuch und fügt sie so jährlich dem Kapital zu.

K = 1000€; p% = 5% = 0,05

Jahre	Guthaben(€)
0	1000
1	1050
2	1102,50
3	1157,625
...	...
18	...

Beispielrechnung mit p% = 2% = 0,02

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Kannst du eine Formel angeben, mit der du den Endbetrag berechnen kannst?

Kapital nach 18 Jahren:
K₁₈ = ...

Kapital nach 18 Jahren:
K₁₈ = ...

Unterschiede zwischen einfacher Verzinsung und Zinseszins

Notiere Stichpunkte in deinem Heft, wie sich die einfache Verzinsung in der ersten Möglichkeit vom Zinsenzins der zweiten Möglichkeit unterscheidet. Nutze dazu auch nachfolgende Applet.

nach Pöchtrager

Hefteintrag: Zinseszins

Zinseszins bedeutet, dass ein Startkapital Zinsen erwirtschaftet und diese Zinsen werden dem Vermögen am Jahresende gutgeschrieben. So werden in Zukunft diese Zinsen ebenfalls verzinst.
Das Kapital nach n Jahren wird mit der Formel
K_n = K₀ ∙ (1+p%)ⁿ

      = K₀ ∙ qⁿ       mit q = 1+p%

Beispiel:
geg: K₀ = 1000€ (Startkapital, null Jahre); p% = 5% = 0,05; q = 1 + p% = 1 + 0,05 = 1,05; n = 18 Jahre
ges: K_n (Kapital nach n Jahren)

K₁₈ = 1000 ∙ 1,05¹⁸
      = 2406,62 (€)

Nach 18 Jahren ist das Kapital auf 2406,62 € angewachsen.

Du nutzt folgende Taste beim Taschenrechner, um Exponenten größer als 3 einzugeben (hier z.B. n = 18):

Das nachfolgende Video erklärt noch einmal den Zusammenhang zwischen p% und q.

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Bei diesem Kapitalwachstum handelt es sich um ein sogenanntes exponentielles Wachstum.

Übung 1 (online)

Löse auf der Seite Aufgabenfuchs die Aufgaben

• 1 (Hier kannst du z.B. das Einstiegsbeispiel einstellen)
• 2 (Nutze die Zinseszinsformel K_n = K₀ ∙ qⁿ)
• 3 (Nutze die Zinseszinsformel K_n = K₀ ∙ qⁿ)

Du nutzt folgende Taste beim Taschenrechner, um Exponenten größer als 3 einzugeben (hier z.B. n = 8):

Übung 2

a) Ein Kapital von 2000€ wird zu einem Zinssatz von 2% angelegt. Berechne das Kapital nach 4 Jahren.

b) Ein Vermögen von 7500€ wird zu einem Zinssatz von 1,5% angelegt (mit Zinseszins). Berechne das Kapital nach 5 Jahren.

Vergleiche deine Lösung mit dem Beispiel a) auf S. 73 oben.

geg:K = 7500€; p% = 1,5% = 0,015, also q = 1 + 0,015 =1,015; n = 5
K₅ = K₀ ∙ q⁵
   = 7500 ∙ 1,015⁵

   = 8079,63 (€)

2) Umstellen der Zinseszinsformel

Formel umstellen nach K₀ ("Wie hoch war das Startkapital...?):

K_n = K₀ ∙ qⁿ  |:qⁿ
$\tfrac{K_n}{q^n}$= K₀


Formel umstellen nach q ("Mit welchem Prozentsatz ...?):

K_n = K₀ ∙ qⁿ  |:K₀
$\tfrac{K_n}{K^0}$ = qⁿ  |$\sqrt[n]{}$
$\sqrt[n]{\tfrac{K_n}{K_0}}$ = q

Bestimme dann p% mit q = 1+ p%, also q-1 = p%.

Die n-te Wurzel bestimmst du mit dem Taschenrechner mit der Tastenkombination im Bild

Formel umstellen nach n ("Nach wie vielen Jahren...?"):

Das Umstellen der Formel nach n erfordert die Anwendung des Logarithmus. Dies lernst du erst später.
Löse hier also durch Probieren!
Setze für n verschiedene Zahlen ein und teste, für welchen Wert von n die Gleichung erfüllt wird.

Hefteintrag: Beispiele

Übertrage die Beispielaufgaben und die Lösungen aus dem Video in dein Heft. Starte das Video und stoppe es nach jedem Beispiel a), b) und c). Notiere vollständig und übersichtlich in deinem Heft.

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Übung 3 (online)

Wähle aus den folgenden Aufgaben mindestens zwei Aufgaben aus und löse: Aufgaben auf der Seite Aufgabenfuchs

• 5
• 6
• 7
• 8
• 9

Übung 4

Löse die Aufgabe aus dem Buch. Notiere die gegebenen und gesuchten Größen, stelle die Formel für die Zinsrechnung nach der gesuchten Größe um und berechne.

• S. 73 Nr. 3

a) geg:...
ges: q; K_n
q = 1 + p% = 1 + 0,015 = 1,015

K₅ = K₀ ∙ q⁵ Setze die Werte ein und berechne mit dem Taschenrechner.

b) geg:...
ges: p%; K_n
p% = q - 1 = 1,035 - 1 = 0,035 = 3,5%

Berechne K_n durch einsetzen der Werte in die Formel.

c) geg: ...
ges: K₀; p%

Stelle die Formel nach K₀ um und setze dann die gegebenen Werte ein.

d)geg: ...
ges: q und p%
Stelle die Formel nach q um und setzte die gegebene Größen ein. Bestimme so den Wert für q.

Berechne dann p% mit p% = q-1 (Wandel den Dezimalbruch in Prozent um.)

e) geg: ...
ges: q; n
q = 1 + p% = ...
Bestimme n durch Probieren.

Setze für n die Zahlen 1, 2, 3, ... ein und prüfe, für welchen Wert von n die Gleichung eine wahre Aussage ergibt.

Übung 5 - Anwendungsaufgaben

Löse die Aufgaben aus dem Buch. Notiere die gegebenen und gesuchten Größen, stelle die Formel für die Zinsrechnung nach der gesuchten Größe um und berechne.

• S. 73 Nr. 5 (**)
• S. 79 Nr. 1
• S. 83 Nr. 10
• S. 87 Nr. 6
• S. 87 Nr. 7

Rechne zunächst mit einem Betrag von z.B. K₀ = 1000€
geg: K₀ = 1000€; K_n = 2 ∙ 1000€ = 2000€; p% = 1,8% = 0,0018, q = 1 + 0,018 = 1,018

Löse durch Probieren, für welchen Wert die Zinseszinsformel eine wahre Aussage ergibt oder K_n mehr als 2000€ beträgt.

Vergleiche die beiden Angebote:
Angebot A:
geg: K₀ = 10000€; p% = 2,25% = 0,0225, also q = 1,0225; n = 7 Jahre
ges: K_n
K_n = K₀ ∙ qⁿ Setze ein und berechne.

Angebot B:
geg: K₀ = 10000€; p% = 1,5% = 0,015, also q = 1,015; n = 7 Jahre; auf das Kapital nach 7 Jahren K₇ gibt es zusätzlich 10%.
K_n = K₀ ∙ qⁿ Setze ein und berechne.
Berechne dann das Endkapital, indem du auf K₇ noch einmal einen Aufschlag von 10% rechnest:
Endkapital K_Ende = K₇ ∙ 1,1 ...

denn p% = 10% = 0,1, also gilt q = 1,1.

a) geg: K₀ = 2800€; n = 5; K₅ = 3607,75€;
ges: Zinssatz p% (Berechne zunächst q und damit dann p%).
b) K₀ = 5000€; p% = 4,5 = 0,045, also q = 1,045; K_n = 2 ∙ 5000€ = 10000€ ("verdoppelt")
ges: n
Löse durch Probieren!
c) geg: n = 8 Jahre; p% = 5,25% = 0,0525, also q = 1 + 0,0525 = 1,0525; K₈ = 6776,25€
ges: K₀

Stelle die Zinseszinsformel nach K₀ um und setzte die gegebenen Werte ein.

Vergleiche deine Lösungen mit denen hinten im Buch. (Rückspiegelaufgaben)

Vergleiche deine Lösungen zu den Aufgaben oben (bunte Mischung)
K₀ = 500€; K₀ = 4500€
p% = 1,2%; p% = 1%; p% = 3,5%; p% = 5,2%;
q=1,015; q = 1,01; q =1,03
K_n=8079,63€; K_n = 11685,39€; K_n = 11098,45€

n = 10 Jahre; n = 39 Jahre; n = 16 Jahre

3) Berechnung von Zinseszinsen mit einer Tabellenkalkulation

Du kannst auch eine Tabellenkalkulation für die Berechnung der Zinseszinsen nutzen. Das Video zeigt dir eine Möglichkeit. Kannst du eine weitere Möglichkeit angeben? Dann schicke die Datei als Mailanhang an deine Mathelehrerin/deinen Mathelehrer.

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