Benutzer:Buss-Haskert/Zinseszins: Unterschied zwischen den Versionen
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{{Box|Übung 4 |Löse die | {{Box|Übung 4 |Löse die Aufgabe aus dem Buch. Notiere die gegebenen und gesuchten Größen, stelle die Formel für die Zinsrechnung nach der gesuchten Größe um und berechne. | ||
* S. 73 Nr. 3 | * S. 73 Nr. 3|Üben}} | ||
{{Lösung versteckt|1=a) geg:...<br> | {{Lösung versteckt|1=a) geg:...<br> | ||
ges: q; K<sub>n</sub><br> | ges: q; K<sub>n</sub><br> | ||
q = 1 + p% = 1 + 0,015 = 1,015<br> | q = 1 + p% = 1 + 0,015 = 1,015<br> | ||
K<sub>5</sub> = K<sub>0</sub> ∙ q<sup>5</sup> Setze die Werte ein und berechne mit dem Taschenrechner. | K<sub>5</sub> = K<sub>0</sub> ∙ q<sup>5</sup> Setze die Werte ein und berechne mit dem Taschenrechner.|2=Tipp zu Nr. 3a|3=Verbergen}} | ||
b) geg:...<br> | {{Lösung versteckt|1=b) geg:...<br> | ||
ges: p%; K<sub>n</sub><br> | ges: p%; K<sub>n</sub><br> | ||
p% = q - 1 = 1,035 - 1 = 0,035 = 3,5%<br> | p% = q - 1 = 1,035 - 1 = 0,035 = 3,5%<br> | ||
Berechne K<sub>n</sub> durch einsetzen der Werte in die Formel. | Berechne K<sub>n</sub> durch einsetzen der Werte in die Formel.|2=Tipp zu Nr. 3b|3=Verbergen}} | ||
c) geg: ...<br> | {{Lösung versteckt|1=c) geg: ...<br> | ||
ges: K<sub>0</sub>; p%<br> | ges: K<sub>0</sub>; p%<br> | ||
Stelle die Formel nach K<sub>0</sub> um und setze dann die gegebenen Werte ein.<br> | Stelle die Formel nach K<sub>0</sub> um und setze dann die gegebenen Werte ein.|2=Tipp zu Nr. 3c|3=Verbergen}} | ||
{{Lösung versteckt|1=d)geg: ...<br> | |||
ges: q und p%<br> | |||
Stelle die Formel nach q um und setzte die gegebene Größen ein. Bestimme so den Wert für q.<br> | |||
Berechne dann p% mit p% = q-1 (Wandel den Dezimalbruch in Prozent um.)|2=Tipp zu 3d|3=Verbergen}} | |||
{{Lösung versteckt|1=e) geg: ...<br> | |||
ges: q; n<br> | ges: q; n<br> | ||
q = 1 + p% = ...<br> | q = 1 + p% = ...<br> | ||
Bestimme n durch Probieren.<br> | Bestimme n durch Probieren.<br> | ||
Setze für n die Zahlen 1, 2, 3, ... ein und prüfe, für welchen Wert von n die Gleichung eine wahre Aussage ergibt.|2=Tipp zu Nr. | Setze für n die Zahlen 1, 2, 3, ... ein und prüfe, für welchen Wert von n die Gleichung eine wahre Aussage ergibt.|2=Tipp zu Nr. 3e|3=Verbergen}} | ||
{{Box|Übung 5 - Anwendungsaufgaben|Löse die Aufgaben aus dem Buch. Notiere die gegebenen und gesuchten Größen, stelle die Formel für die Zinsrechnung nach der gesuchten Größe um und berechne. | |||
* S. 73 Nr. 5 (**) | |||
* S. 79 Nr. 1 | |||
* S. 83 Nr. 10 | |||
* S. 87 Nr. 6 | |||
* S. 87 Nr. 7 | |||
|Üben}} | |||
{{Lösung versteckt|1=Rechne zunächst mit einem Betrag von z.B. K<sub>0</sub> = 1000€<br> | {{Lösung versteckt|1=Rechne zunächst mit einem Betrag von z.B. K<sub>0</sub> = 1000€<br> | ||
Version vom 15. Februar 2021, 08:49 Uhr
SEITE IM AUFBAU!!
Wachstum - Zinseszins
Vorwissen
1) Einstieg: Sparschwein
Sie lässt sich die Zinsen jedes Jahr auszahlen und spart sie in einem Sparschwein.
K = 1000€; p% = 5% = 0,05
| Jahre | Guthaben(€) |
| 0 | 1000 |
| 1 | 1050 |
| 2 | 1100 |
| 3 | 1150 |
| ... | ... |
| 18 | ... |
Sie lässt die Zinsen auf dem Sparbuch und fügt sie so jährlich dem Kapital zu.
K = 1000€; p% = 5% = 0,05
| Jahre | Guthaben(€) |
| 0 | 1000 |
| 1 | 1050 |
| 2 | 1102,50 |
| 3 | 1157,625 |
| ... | ... |
| 18 | ... |
Beispielrechnung mit p% = 2% = 0,02
Kannst du eine Formel angeben, mit der du den Endbetrag berechnen kannst?
K18 = ...
K18 = ...
nach Pöchtrager
Bei diesem Kapitalwachstum handelt es sich um ein sogenanntes exponentielles Wachstum.
geg:K = 7500€; p% = 1,5% = 0,015, also q = 1 + 0,015 =1,015; n = 5
K5 = K0 ∙ q5
= 7500 ∙ 1,0155
2) Umstellen der Zinseszinsformel
Formel umstellen nach K0 ("Wie hoch war das Startkapital...?):
Kn = K0 ∙ qn |:qn
= K0
Formel umstellen nach q ("Mit welchem Prozentsatz ...?):
Kn = K0 ∙ qn |:K0
= qn |
= q
Bestimme dann p% mit q = 1+ p%, also q-1 = p%.
Formel umstellen nach n ("Nach wie vielen Jahren...?"):
Das Umstellen der Formel nach n erfordert die Anwendung des Logarithmus. Dies lernst du erst später.
Löse hier also durch Probieren!
Setze für n verschiedene Zahlen ein und teste, für welchen Wert von n die Gleichung erfüllt wird.
a) geg:...
ges: q; Kn
q = 1 + p% = 1 + 0,015 = 1,015
b) geg:...
ges: p%; Kn
p% = q - 1 = 1,035 - 1 = 0,035 = 3,5%
c) geg: ...
ges: K0; p%
d)geg: ...
ges: q und p%
Stelle die Formel nach q um und setzte die gegebene Größen ein. Bestimme so den Wert für q.
e) geg: ...
ges: q; n
q = 1 + p% = ...
Bestimme n durch Probieren.
Rechne zunächst mit einem Betrag von z.B. K0 = 1000€
geg: K0 = 1000€; Kn = 2 ∙ 1000€ = 2000€; p% = 1,8% = 0,0018, q = 1 + 0,018 = 1,018
Vergleiche die beiden Angebote:
Angebot A:
geg: K0 = 10000€; p% = 2,25% = 0,0225, also q = 1,0225; n = 7 Jahre
ges: Kn
Kn = K0 ∙ qn Setze ein und berechne.
Angebot B:
geg: K0 = 10000€; p% = 1,5% = 0,015, also q = 1,015; n = 7 Jahre; auf das Kapital nach 7 Jahren K7 gibt es zusätzlich 10%.
Kn = K0 ∙ qn Setze ein und berechne.
Berechne dann das Endkapital, indem du auf K7 noch einmal einen Aufschlag von 10% rechnest:
Endkapital KEnde = K7 ∙ 1,1 ...
a) geg: K0 = 2800€; n = 5; K5 = 3607,75€;
ges: Zinssatz p% (Berechne zunächst q und damit dann p%).
b) K0 = 5000€; p% = 4,5 = 0,045, also q = 1,045; Kn = 2 ∙ 5000€ = 10000€ ("verdoppelt")
ges: n
Löse durch Probieren!
c) geg: n = 8 Jahre; p% = 5,25% = 0,0525, also q = 1 + 0,0525 = 1,0525; K8 = 6776,25€
ges: K0
Vergleiche deine Lösungen zu den Aufgaben oben (bunte Mischung)
K0 = 500€; K0 = 4500€
p% = 1,2%; p% = 1%; p% = 3,5%; p% = 5,2%;
q=1,015; q = 1,01; q =1,03
Kn=8079,63€; Kn = 11685,39€; Kn = 11098,45€
3) Berechnung von Zinseszinsen mit einer Tabellenkalkulation
Du kannst auch eine Tabellenkalkulation für die Berechnung der Zinseszinsen nutzen. Das Video zeigt dir eine Möglichkeit. Kannst du eine weitere Möglichkeit angeben? Dann schicke die Datei als Mailanhang an deine Mathelehrerin/deinen Mathelehrer.
