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die Katheten immer kürzer als die Hypotenuse sind, daher ist der Quotient aus Gegenkathete:Hypotenuse immer kleiner als 1.|2=Tipp|3=Verbergen}} | die Katheten immer kürzer als die Hypotenuse sind, daher ist der Quotient aus Gegenkathete:Hypotenuse immer kleiner als 1.|2=Tipp|3=Verbergen}} | ||
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Die Werte der Seitenverhältnisse hängen ab vom Winkel. Ist in einem rechtwinkligen Dreieck (mit <math>\gamma</math>=90°) der Winkel <math>\alpha</math> = 10°, so ist das Seitenverhältnis sin <math>\alpha</math> = <math>\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}</math> immer gleich groß. Diesen Wert kannst du mit deinem Taschenrechner bestimmen. Die Bildreihenfolge zeigt dir, wie du z.B. den Sinuswert für den Winkel <math>\alpha</math> =38° mit bestimmst. | Die Werte der Seitenverhältnisse hängen ab vom Winkel. Ist in einem rechtwinkligen Dreieck (mit <math>\gamma</math>=90°) der Winkel <math>\alpha</math> = 10°, so ist das Seitenverhältnis sin <math>\alpha</math> = <math>\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}</math> immer gleich groß. Diesen Wert kannst du mit deinem Taschenrechner bestimmen. Die Bildreihenfolge zeigt dir, wie du z.B. den Sinuswert für den Winkel <math>\alpha</math> =38° mit bestimmst. | ||
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Du hast also sin 38° <math>\approx</math> 0,62 berechnet. Dies kannst du mit der Simulation oben überprüfen. | Du hast also sin 38° <math>\approx</math> 0,62 berechnet. Dies kannst du mit der Simulation oben überprüfen. | ||
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Ebenso berechnest du mit dem Taschenrechner die Werte für den Kosinus (mit der Taste "cos") und den Tangens (mit "tan"). | Ebenso berechnest du mit dem Taschenrechner die Werte für den Kosinus (mit der Taste "cos") und den Tangens (mit "tan"). | ||
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{{Box|Übung 5|Löse auf der Seite [https://www.aufgabenfuchs.de/mathematik/flaeche/dreieck/trigonometrie.shtml '''Aufgabenfuchs'''] die Aufgaben | |||
* 7|Üben}} | |||
{{Box|Übung | {{Box|Übung 6|Löse aus dem Buch | ||
* S. 91 Nr. 3 | * S. 91 Nr. 3 | ||
* S. 91 Nr. 4|Üben}} | * S. 91 Nr. 4|Üben}} | ||
{{Lösung versteckt|Prüfe deine Lösungen zu den Sinuswerten mithilfe der Simulation.|Tipp zu Nr. 3 und Nr. 4}} | |||
{{Lösung versteckt|Die Sinuswerte und Kosinuswerte sind in umgekehrter Reihenfolge gleich. Es gilt sin α = cos (90° – α).<br> | |||
Die Werte für tan α werden immer größer, je näher α dem Wert 90° ist.}} | |||
Version vom 9. Januar 2021, 17:35 Uhr
1) Sinus, Kosinus, Tangens - Seitenverhältnisse in rechtwinkligen Dreiecken
1.1 Steigung einer Straße
Der Einstieg ist angelehnt an das Material des Landesbildungsservers BW https://www.schule-bw.de/faecher-und-schularten/mathematisch-naturwissenschaftliche-faecher/mathematik/unterrichtsmaterialien/sekundarstufe1/geometrie/trig/trigors/lernumgebung/index.html Es wurde unter der Lizenz CC BY veröffentlicht
Es gibt mehrere Möglichkeiten, die Steigung einer Straße anzugeben:
1. Angabe in Prozent
Das Verkehrsschild gibt die Steigung einer Straße in Prozent an.
a) Was bedeutet die Angabe von 12% Steigung? Erkläre!
b) Gibt es eine Steigung, die größer als 100% ist?
2. Angabe mithilfe des Steigungsdreiecks und m
Die Steigung einer Geraden f(x) = mx + b gibt der Faktor m an. Dazu zeichnest du das Steigungsdreieck.
m = = 0,12
Boxmath>\alpha</math>
Das nachfolgende Applet zeigt diese drei Möglichkeiten noch einmal. Verändere die Steigung mithilfe des Schiebereglers und beobachte, was passiert.
Applet von holo2012
Versuche herauszufinden, welcher Zusammenhang zwischen den verschiedenen Darstellungsmöglichkeiten besteht.
1. Verändere die Höhe und beobachte die anderen Angaben zur Steigung.
2. Aktiviere das Kontrollkästchen "Steigung eines beliebigen Punktes auf der Straße" und verschiebe den Punkt P entlang der Straße.
Ergebnis: In den ähnlichen (rechtwinkligen) Dreiecken gilt:
Das Seitenverhältnis hängt nicht von der Größe der Dreiecke ab, sondern nur vom Winkel α.
Bewege die Punkte B1, B2 und C1 und beobachte die Seitenverhältnisse.
In einem rechtwinkligen Dreieck bezeichnet man die Katheten bezogen auf den Winkel (z.B. ) mit besonderen Namen:
Diese Figur besteht aus drei rechtwinkligen Drieecken:
Dreieck ABC, Dreieck BCD und Dreieck ACD.
Diese Figur besteht aus drei rechtwinkligen Dreiecken:
Dreieck ABC, Dreieck ABD und Dreieck ADC.
In den vorausgegangenen Übungen hast du jeweils die Seitenverhältnisse für Sinus, Kosinus und Tangens benannt.
Wenn du die Länge der Seiten kennst, kannst du den Wert dieser Seitenverhältnisse berechnen.
Dieser hängt ab vom Winkel, wie oben erarbeitet.
Schau dazu das folgende Video an:
sin = 0,47
cos = 0,88
usw.
Es fällt auf, dass der Sinuswert eines Winkels zwischen 0° und 90° immer kleiner als 1 ist, denn
Die Werte der Seitenverhältnisse hängen ab vom Winkel. Ist in einem rechtwinkligen Dreieck (mit =90°) der Winkel = 10°, so ist das Seitenverhältnis sin = immer gleich groß. Diesen Wert kannst du mit deinem Taschenrechner bestimmen. Die Bildreihenfolge zeigt dir, wie du z.B. den Sinuswert für den Winkel =38° mit bestimmst.
Du hast also sin 38° 0,62 berechnet. Dies kannst du mit der Simulation oben überprüfen.
Ebenso berechnest du mit dem Taschenrechner die Werte für den Kosinus (mit der Taste "cos") und den Tangens (mit "tan").
Materialsammlung: Übungen auf der Seite Aufgabenfuchs