Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Lineare Funktionen: Unterschied zwischen den Versionen
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# Bestimme mit Auflösung nach <math>b</math> den Wert <math>b =\frac{6}{5} </math>. Schließlich erhältst du, wenn du die Werte für <math>m</math> und <math>b</math> einsetzt, die Geradengleichung <math>f\left(x\right) = \frac{2}{3}\cdot x +\frac{6}{5}</math> ergibt. | # Bestimme mit Auflösung nach <math>b</math> den Wert <math>b =\frac{6}{5} </math>. Schließlich erhältst du, wenn du die Werte für <math>m</math> und <math>b</math> einsetzt, die Geradengleichung <math>f\left(x\right) = \frac{2}{3}\cdot x +\frac{6}{5}</math> ergibt. | ||
|2 = Lösung| 3 = Lösung schließen}} | |2 = Lösung| 3 = Lösung schließen}} | ||
|3=Arbeitsmethode}} | |3=Arbeitsmethode}} | ||
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{{Lösung versteckt|1= | {{Lösung versteckt|1= | ||
* Für den Höhenunterschied der Punkte berechnest du die <math>y</math>- bzw. <math>g\left(x\right)</math>-Koordinaten zweier Punkte der Wertetabelle. Wir wählen zum Beispiel die Punkte <math>P(-3|\frac{9}{4})</math> und <math>Q(1|1\frac{1}{4})</math>, da diese Brüche gleichnamig sind und die Subtraktion einfacher ist. Du kannst die Steigung aber auch mit den anderen Punkten bestimmen. Dann berechnen wie folgt: <math>g\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)=1 \frac{1}{4}-\frac{9}{4}=-1 </math> | * Für den Höhenunterschied der Punkte berechnest du die <math>y</math>- bzw. <math>g\left(x\right)</math>-Koordinaten zweier Punkte der Wertetabelle. Wir wählen zum Beispiel die Punkte <math>P\left(-3|\frac{9}{4}\right)</math> und <math>Q\left(1|1\frac{1}{4}\right)</math>, da diese Brüche gleichnamig sind und die Subtraktion einfacher ist. Du kannst die Steigung aber auch mit den anderen Punkten bestimmen. Dann berechnen wie folgt: <math>g\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)=1 \frac{1}{4}-\frac{9}{4}=-1 </math> | ||
* Für den Längenunterschied der Punkte verwendest du die <math>x</math>-Koordinaten der gleichen Punkte, die du beim Höhenunterschied gewählt hast. Wir benutzen also die Punkte <math>P(-3|\frac{9}{4})</math> und <math>Q(1|1\frac{1}{4})</math>. Dann rechnen wir wie folgt: <math>x_2-x_1=1-(-3)=4</math> | * Für den Längenunterschied der Punkte verwendest du die <math>x</math>-Koordinaten der gleichen Punkte, die du beim Höhenunterschied gewählt hast. Wir benutzen also die Punkte <math>P\left(-3|\frac{9}{4}\right)</math> und <math>Q\left(1|1\frac{1}{4}\right)</math>. Dann rechnen wir wie folgt: <math>x_2-x_1=1-(-3)=4</math> | ||
* Für die Steigung <math>m</math> der Geraden setzt du beide Werte in die folgende Gleichung ein: <math>\frac{g\left(x_2\right)-g\left(x_1\right)}{x_2-x_1}=\frac{1\frac{1}{4}-\frac{9}{4}}{1-(-3)}=-\frac{1}{4}</math> | * Für die Steigung <math>m</math> der Geraden setzt du beide Werte in die folgende Gleichung ein: <math>\frac{g\left(x_2\right)-g\left(x_1\right)}{x_2-x_1}=\frac{1\frac{1}{4}-\frac{9}{4}}{1-(-3)}=-\frac{1}{4}</math> | ||
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<br/><br/> | <br/><br/> | ||
'''a)''' <math>f(x)=-0{,}5x+2</math><br /> | '''a)''' <math>f(x)=-0{,}5x+2</math><br /> | ||
'''b)''' <math>g(x)= | '''b)''' <math>g(x)=5x+7</math><br /> | ||
'''c)''' <math>h(x)=-x-1{,}75</math><br /> | '''c)''' <math>h(x)=-x-1{,}75</math><br /> | ||
'''d)''' <math>j(x)=3</math> | '''d)''' <math>j(x)=3</math> | ||
Zeile 406: | Zeile 406: | ||
''Schritt 1'': Zeichne die Funktion in ein Koordinatensystem ein.<br/> | ''Schritt 1'': Zeichne die Funktion in ein Koordinatensystem ein.<br/> | ||
''Schritt 2'': Lies die Nullstelle ab. <br/> | ''Schritt 2'': Lies die Nullstelle ab. <br/> | ||
[[Datei:Lösung 8b.png|1000px|zentriert]] | [[Datei:Lösung 8b neu.png|1000px|zentriert]] | ||
<br /> | <br /> | ||
'''Rechnerische Lösung:'''<br/> | '''Rechnerische Lösung:'''<br/> | ||
''Schritt 1:'' Setze die Gleichung gleich <math>0</math>.<br/> | ''Schritt 1:'' Setze die Gleichung gleich <math>0</math>.<br/> | ||
<math> 0= | <math> 0=5x+7 </math><br /><br/> | ||
''Schritt 2: ''Löse nach <math>x</math> auf.<br/> | ''Schritt 2: ''Löse nach <math>x</math> auf.<br/> | ||
<math>0= | <math>0=5x+7 </math><br/> | ||
<math>\Leftrightarrow - | <math>\Leftrightarrow -7=5x </math><br/> | ||
<math>\Leftrightarrow - | <math>\Leftrightarrow -1{,}4=x</math><br/><br/> | ||
''Schritt 3:'' Gib die Nullstelle an.<br/> | ''Schritt 3:'' Gib die Nullstelle an.<br/> | ||
Die Nullstelle der Funktion <math>g(x)</math> liegt bei <math> N(- | Die Nullstelle der Funktion <math>g(x)</math> liegt bei <math> N(-1{,}4|0)</math>. | ||
|2=Lösung zu b)|3=Lösung zu b) schließen}} | |2=Lösung zu b)|3=Lösung zu b) schließen}} | ||
Zeile 558: | Zeile 558: | ||
| 3= Arbeitsmethode}} | | 3= Arbeitsmethode}} | ||
<br /><br /> | <br /><br /> | ||
{{Box | 1= Aufgabe 12: Handytarife | 2= Maria möchte im Internet surfen und begutachtet die Tarife A, B und C. <br/><br/> | {{Box | 1= Aufgabe 12: Handytarife | 2= Maria möchte im Internet surfen und begutachtet die Tarife A, B und C. <br/><br/> | ||
[[Datei:Iphone 4 blurred.jpg|mini|links| | [[Datei:Iphone 4 blurred.jpg|mini|links|170px]] | ||
'''Tarif A:''' Grundgebühr 5 € / Monat die ersten 5 Stunden frei, dann 1 | |||
'''Tarif B:''' Grundgebühr 10 € / Monat die ersten 10 Stunden frei, dann 0,8 | '''Tarif A:''' Grundgebühr 5 € / Monat die ersten 5 Stunden frei, dann 1 ct./min. <br/> | ||
'''Tarif B:''' Grundgebühr 10 € / Monat die ersten 10 Stunden frei, dann 0,8 ct./min. <br/> | |||
'''Tarif C:''' Flat–Rate 40 € / Monat. <br/><br/> | '''Tarif C:''' Flat–Rate 40 € / Monat. <br/><br/> | ||
Maria surft im Durchschnitt zwei Stunden am Tag (30 Tage / Monat). <br/> | Maria surft im Durchschnitt zwei Stunden am Tag (30 Tage / Monat). <br/> | ||
'''a)''' Stelle für jeden Tarif die Funktionsgleichung auf. | '''a)''' Stelle für jeden Tarif die '''Funktionsgleichung '''auf. | ||
{{Lösung versteckt|1=<br/> | {{Lösung versteckt|1=<br/> | ||
'''b)''' Zeichne die Funktionsgraphen in ein geeignetes Koordinatensystem. | Betrachte zunächst die Einheiten und versuche diese einheitlich umzuformen. <br/> | ||
Wenn du diesen Wert hast, kannst du eine vorübergehende Funktionsgleichung aufstellen. Dabei lasse einen Wert variabel um die freien Stunden einzubauen. In dieser Zeit muss nur die Grundgebühr bezahlt werden <br/> Welchen Punkt kennen wir deshalb bereits?<br/> | |||
|2=Tipp|3=Tipp schließen}} | |||
'''b)''' '''Zeichne '''die Funktionsgraphen in ein geeignetes Koordinatensystem. | |||
{{Lösung versteckt|1= <br/> | {{Lösung versteckt|1= <br/> | ||
'''c)''' Erkläre, | Um die Funktionsgleichung in ein Koordinatensystem zu übertragen, überlege dir zunächst welche Werte deine <math>x</math>- Achse und, welche Werte deine <math>y</math>-Achse angibst. <br/>Falls du mit dem Zeichnen von Graphen Schwierigkeiten hast, wiederhole das entsprechende Kapitel in diesem Lernpfad. Dort werden dir zwei Möglichkeiten einen Graphen zu zeichnen vorgestellt. <br/> | ||
Bedenke bei den Graphen von <math>f</math> und <math>h</math> jedoch, dass diese in einem bestimmten Bereich konstant sind. <br/> | |||
|2=Tipp|3=Tipp schließen}} | |||
'''c)''' Berechne <br/> | |||
# den '''günstigsten Tarif für Maria''' und <br/> | |||
# in welchem Punkt '''Kostengleichheit für Tarif A und B''' herrscht? | |||
Erkläre, wo du dies in den Graphen ablesen kannst. | |||
{{Lösung versteckt|1= | |||
{{Lösung versteckt|1= | {{Lösung versteckt|1= | ||
Lese zunächst aus der Aufgabe heraus, wie lange Maria am Tag surft und berechne dann den Wert für einen Monat. Nun überlege dir, an welcher Stelle du diesen Wert einsetzten kannst. | |||
|2=Tipp zu dem günstigsten Tarif|3=Tipp schließen}} | |||
{{Lösung versteckt|1= | {{Lösung versteckt|1= | ||
Kostengleichheit bedeutet, dass beide Tarife den gleichen Wert annehmen. | |||
{{Lösung versteckt|1= Du kannst die Funktionen gleichsetzten und nach <math>x</math> auflösen.|2=Tipp|3=Tipp schließen}} | |||
|2=Tipp zur Kostengleichheit|3=Tipp schließen}} | |||
{{Lösung versteckt|1= | {{Lösung versteckt|1= | ||
Falls du die Graphen alle in ein Koordinatensystem gezeichnet hast, kannst du einiges an diesem ablesen. Um die eben berechneten Punkte zu finden, überlege genau, welche Punkte du eben eingesetzt hast oder was Kostengleichheit nochmal bedeutet. | |||
|2=Tipp zum Ablesen am Graphen|3=Tipp schließen}} | |||
|2=Tipps |3=Tipps schließen}} | |||
|2= | |||
{{Lösung versteckt|1= | {{Lösung versteckt|1= | ||
{{Lösung versteckt|1= | {{Lösung versteckt|1= | ||
'''Tarif A:'''<br/> | '''Tarif A:'''<br/> | ||
Zunächst multipliziert man die 1 ct/min mit 60 min, um diesen Wert in ct/h zu haben. <math> 60</math> min <math>\cdot 1</math> | |||
Nun wandelst du diesen Wert in €/h um. <math>60</math> ct/h<math>= 0,6</math> €/h. Wir kennen jetzt schon einen Teil der Funktionsgleichung.<math> f_1(x)= 0{,}6x+ a</math>, wobei a ein noch unbekannter Wert ist. <br/> | Zunächst multipliziert man die <math>1</math> ct/min mit <math>60</math> min, um diesen Wert in ct/h zu haben. <math> 60</math> min <math>\cdot 1</math> ct/min <math>= 60</math> ct/h <br/> | ||
Wir wissen, dass die ersten 5 Stunden frei sind,d.h hier muss nur die Grundgebühr von 5€ bezahlt werden. Der Punkt <math> A (5|5) </math> muss also auf dem Graphen unserer Funktionsgleichung liegen. | |||
Nun wandelst du diesen Wert in €/h um. <math>60</math> ct/h<math>= 0,6</math> €/h. Wir kennen jetzt schon einen Teil der Funktionsgleichung. <math> f_1(x)= 0{,}6x+ a</math>, wobei <math>a</math> ein noch unbekannter Wert ist. <br/> | |||
Wir wissen, dass die ersten <math>5</math> Stunden frei sind, d.h. hier muss nur die Grundgebühr von 5€ bezahlt werden. Der Punkt <math> A (5|5) </math> muss also auf dem Graphen unserer Funktionsgleichung liegen. Wir können also diesen Punkt nun in die Funktionsgleichung von <math> f_1 </math> einsetzten und nach <math>a</math> auflösen, um die ganze Funktionsgleichung zu erhalten. <br/> | |||
<math> f_1(5)=0{,}6\cdot5+a=5 \Longleftrightarrow 3+a=5 \Longleftrightarrow a=2 </math>. <br/>Die Funktionsgleichung für Tarif A ist also <math> f(x)= 0{,}6x+2 </math>. Beachtet jedoch, dass die Funktion bis <math> x= 5 </math> konstant <math>5</math> ist. <br/> <br/> | <math> f_1(5)=0{,}6\cdot5+a=5 \Longleftrightarrow 3+a=5 \Longleftrightarrow a=2 </math>. <br/>Die Funktionsgleichung für Tarif A ist also <math> f(x)= 0{,}6x+2 </math>. Beachtet jedoch, dass die Funktion bis <math> x= 5 </math> konstant <math>5</math> ist. <br/> <br/> | ||
'''Tarif B:''' <br/> | '''Tarif B:''' <br/> | ||
Zunächst multipliziert man die 0,8 ct/min mit 60 min, um diesen Wert in ct/h zu haben. <math> 60</math> min <math>\cdot 0,8</math> | |||
Nun wandelst du diesen Wert in €/h um. <math>48 </math>ct/h<math>= 0{,}48</math> €/h. Wir kennen jetzt schon einen Teil der Funktionsgleichung.<math> g_1(x)= 0{,}48x+ b</math>, wobei | Zunächst multipliziert man die <math>0,8</math> ct/min mit <math>60</math> min, um diesen Wert in ct/h zu haben. <math> 60</math> min <math>\cdot 0,8</math> ct/min<math>= 48</math> ct/h <br/> | ||
Wir wissen, dass die ersten 10 Stunden frei sind, d.h hier muss nur die Grundgebühr von 10€ bezahlt werden. Der Punkt <math> B (10|10) </math> muss also auf dem Graphen unserer Funktionsgleichung liegen. | |||
Nun wandelst du diesen Wert in €/h um. <math>48 </math>ct/h<math>= 0{,}48</math> €/h. Wir kennen jetzt schon einen Teil der Funktionsgleichung. <math> g_1(x)= 0{,}48x+ b</math>, wobei <math>b</math> ein noch unbekannter Wert ist. <br/> | |||
Wir wissen, dass die ersten <math>10</math> Stunden frei sind, d.h hier muss nur die Grundgebühr von 10€ bezahlt werden. Der Punkt <math> B (10|10) </math> muss also auf dem Graphen unserer Funktionsgleichung liegen. Wir können diesen Punkt also nun in die Funktionsgleichung von <math> g_1 </math> einsetzten und nach <math>b</math> auflösen, um die ganze Funktionsgleichung zu erhalten. <br/> | |||
<math> g_1(10)=0{,}48\cdot10+b=10 \Longleftrightarrow 4{,}8+b=10 \Longleftrightarrow b=5{,}2 </math>. <br/>Die Funktionsgleichung für Tarif B ist also <math> g(x)= 0{,}48x+5,2 </math>. Beachtet jedoch, dass die Funktion bis <math> x= 10 </math> konstant <math>10</math> ist. <br/> <br/> | <math> g_1(10)=0{,}48\cdot10+b=10 \Longleftrightarrow 4{,}8+b=10 \Longleftrightarrow b=5{,}2 </math>. <br/>Die Funktionsgleichung für Tarif B ist also <math> g(x)= 0{,}48x+5,2 </math>. Beachtet jedoch, dass die Funktion bis <math> x= 10 </math> konstant <math>10</math> ist. <br/> <br/> | ||
'''Tarif C:''' <br/> | '''Tarif C:''' <br/> | ||
Da dies eine Flatrate ist, wird ein Wert für jeden Monat festgesetzt und dieser Wert verändert sich auch nicht wenn mehr oder weniger Stunden gesurft wird. Deshalb ist die Funktion eine Konstante. | Da dies eine Flatrate ist, wird ein Wert für jeden Monat festgesetzt und dieser Wert verändert sich auch nicht wenn mehr oder weniger Stunden gesurft wird. Deshalb ist die Funktion eine Konstante. | ||
<math> h(x)= 40 </math> ist die Funktionsgleichung zum Tarif C.<br/> | <math> h(x)= 40 </math> ist die Funktionsgleichung zum Tarif C.<br/> | ||
|2=Lösung zu a)|3=Lösung zu a) schließen}} | |2=Lösung zu a)|3=Lösung zu a) schließen}} | ||
{{Lösung versteckt|1= | {{Lösung versteckt|1= | ||
[[Datei:Handytarife.png|700px|zentriert]] | [[Datei:Handytarife.png|700px|zentriert]] | ||
|2=Lösung zu b)|3=Lösung | |||
{{Lösung versteckt|1= | |2=Lösung zu b)|3=Lösung schließen}} | ||
{{Lösung versteckt|1= | |||
{{Lösung versteckt|1= | {{Lösung versteckt|1= | ||
Zunächst bestimmen wir die Stundenzahl, welche Maria pro Monat fürs surfen nutzt. Maria surft <math>2</math> h/Tag. Da ein Monat <math>30</math> Tage hat, kann man, kann man <math>30</math> und <math>2</math> multiplizieren und erhält <math>60</math> h/Monat.<br/> | Zunächst bestimmen wir die Stundenzahl, welche Maria pro Monat fürs surfen nutzt. Maria surft <math>2</math> h/Tag. Da ein Monat <math>30</math> Tage hat, kann man, kann man <math>30</math> und <math>2</math> multiplizieren und erhält <math>60</math> h/Monat.<br/> | ||
Nun setzten wir die <math>60</math> h als <math>x</math>- Wert in die Funktionsgleichungen von <math>f(x)</math>, <math> g(x)</math> und <math>h(x)</math> ein und vergleichen das Ergebnis.<br/> | Nun setzten wir die <math>60</math> h als <math>x</math>- Wert in die Funktionsgleichungen von <math>f(x)</math>, <math> g(x)</math> und <math>h(x)</math> ein und vergleichen das Ergebnis.<br/> | ||
<math> f(60)= 0{,}6\cdot60+2 =36+2=38</math><br/> | <math> f(60)= 0{,}6\cdot60+2 =36+2=38</math><br/> | ||
<math> g(60)= 0{,}48\cdot60+5{,}2=28{,}8+5{,}2=34 </math><br/> | <math> g(60)= 0{,}48\cdot60+5{,}2=28{,}8+5{,}2=34 </math><br/> | ||
<math> h(60)= 40 </math><br/> | <math> h(60)= 40 </math><br/> | ||
Da Maria circa <math>60</math> h im Monat surft wäre der Tarif B mit <math>34</math> € am günstigsten für sie. | Da Maria circa <math>60</math> h im Monat surft wäre der Tarif B mit <math>34</math> € am günstigsten für sie. | ||
|2=Lösung zu | |||
|2=Lösung zu dem günstigsten Tarif für Maria|3=Lösung schließen}} | |||
{{Lösung versteckt|1= | {{Lösung versteckt|1= | ||
Hier ist nach dem Schnittpunkt von <math>f(x)</math> und <math>g(x)</math> gefragt. Dazu setzt man die Gleichungen gleich und löst sie nach <math>x</math> auf. | Hier ist nach dem Schnittpunkt von <math>f(x)</math> und <math>g(x)</math> gefragt. Dazu setzt man die Gleichungen gleich und löst sie nach <math>x</math> auf. | ||
<math> f(x)=g(x)\Longleftrightarrow 0{,}6x+2=0{,}48x+5{,}2 \Longleftrightarrow 0{,}12x+2= 5{,}2 \Longleftrightarrow 0{,}12x= 3{,}2 \Longleftrightarrow x= \frac{80}{3} \approx 26{,}6666666 </math> <br/> | <math> f(x)=g(x)\Longleftrightarrow 0{,}6x+2=0{,}48x+5{,}2 \Longleftrightarrow 0{,}12x+2= 5{,}2 \Longleftrightarrow 0{,}12x= 3{,}2 \Longleftrightarrow x= \frac{80}{3} \approx 26{,}6666666 </math> <br/> | ||
In dem Punkt <math> P\left(\frac{80}{3}|18\right)</math> sind die Tarife A und B kostengleich. | In dem Punkt <math> P\left(\frac{80}{3}|18\right)</math> sind die Tarife A und B kostengleich. | ||
|2=Lösung | |||
|2=Lösung zur Kostengleichheit|3=Lösung schließen}} | |||
{{Lösung versteckt|1= | {{Lösung versteckt|1= | ||
<math> f(x) | Der Punkt <math> E(26{,}67|18) </math> ist der Schnittpunkt der beiden Funktion <math>f(x)</math> und <math>g(x)</math>. Das heißt an diesem Punkt sind die Tarife für Maria gleich teuer. <br/> | ||
<math> g(x) | |||
Den günstigsten Tarif für Maria erkennt man, indem man die <math>60</math> h auf der <math>x</math>-Achse betrachtet und vergleicht welcher Graph am niedrigsten verläuft. Dies ist der Graph von Tarif B. | |||
|2=Lösung zu | |||
[[Datei:Handytarife Interpretation.png|700px|zentriert]]<br/> | |||
|2=Lösung zum Ablesen am Graphen|3=Lösung schließen}} | |||
|2=Lösung zu c)|3=Lösung schließen}}| | |||
2=Lösung|3=Lösung schließen}} | 2=Lösung|3=Lösung schließen}} | ||
| 3= Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe| grün| dunkel}}}} | | 3= Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe| grün| dunkel}}}} |
Aktuelle Version vom 16. Dezember 2020, 09:05 Uhr
Wiederholung: Was ist eine Funktion?
Lineare Funktionen erkennen
Graph einer linearen Funktion
Bestimmung von Funktionsgleichungen
Du hast in den letzten paar Aufgaben schon die Steigung der linearen Funktion benutzt, um ihren Graphen zu zeichnen, dem Graphen zu ihrer Funktion zu zuorden oder die Funktionsgleichung mithilfe der Steigung zu berechnen. Wie du konkret die Steigung aus zwei Punkten bestimmen kannst, kannst du dir im unteren Text durchlesen.
Graphen und ihre Punkte
Schnittpunkt mit der -Achse (Nullstelle)
Schnittpunkt von zwei linearen Funktionen
Anwendungsaufgaben
Löse die folgenden Aufgaben in deinem Heft.