Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Lineare Funktionen: Unterschied zwischen den Versionen
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Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen: | Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen: | ||
* In Aufgaben, die '''<span style="color: | * In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F"> orange </span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen. | ||
* Aufgaben in '''<span style="color: | * Aufgaben in '''<span style="color: #5E43A5"> blauer</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''. | ||
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: # | * Und Aufgaben mit '''<span style="color: #89C64A">grünem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''. | ||
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Viel Spaß und Erfolg! | Viel Spaß und Erfolg! | ||
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==Wiederholung: Was ist eine Funktion?== | ==Wiederholung: Was ist eine Funktion?== | ||
{{Box |1=Aufgabe 1: | {{Box |1=Aufgabe 1: Was weißt du noch über Funktionen? |2=Zur Einführung in das Thema der linearen Funktionen wiederholen wir zunächst, was eine Funktion überhaupt ist. Versuche dazu, den folgenden '''Lückentext''' auszufüllen, indem du die Wörter unter dem Text mit der Maus an die passende Stelle im Text ziehst. Anschließend kannst du deine Antworten überprüfen. | ||
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<div class="lueckentext-quiz"> | <div class="lueckentext-quiz"> | ||
Eine '''Zuordnung''' <math>x \mapsto y </math> heißt <span style="color: orange">Funktion</span>, wenn '''jedem''' <math>x</math>-Wert '''genau ein''' <math>y</math>-Wert zugeordnet wird | Eine '''Zuordnung''' <math>x \mapsto y </math> heißt <span style="color: orange">Funktion</span>, wenn '''jedem''' <math>x</math>-Wert '''genau ein''' <math>y</math>-Wert zugeordnet wird.<br /> Durch eine Funktion <math>f</math> wird einer '''Variablen''' <math>x</math> ein '''Funktionswert''' <math>f(x)</math> zugeordnet. <br /> Wenn es einen Term zur Berechnung der Funktionswerte gibt, dann nennt man ihn den '''Funktionsterm'''und die zugehörige Gleichung heißt '''Funktionsgleichung'''. <br /> Stellt man die '''Zahlenpaare''' <math>(x,y)</math> als Punkte <math>P(x|y)</math> in einem Koordinatensystem dar, so erhält man den '''Graphen der Funktion'''. | ||
</div> | </div> | ||
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'''Überprüfe nun, ob die folgenden Zuordnungen eine Funktion beschreiben.''' | |||
{{Lösung versteckt|1=Überprüfe, ob bei der jeweiligen Zuordnung jedem <math>x</math>-Wert auch wirklich '''genau ein''' <math>y</math>-Wert zugeordnet wird. Bei den Fragen stellt jeweils das erste Wort der Zuordnung den <math>x</math>-Wert und das zweite Wort den <math>y</math>-Wert dar.|2=Tipp|3=Tipp schließen}} | |||
<div class="multiplechoice-quiz"> | <div class="multiplechoice-quiz"> | ||
''' | '''1.) Haus <math>\mapsto</math> Adresse''' | ||
(Ja, die Zuordnung beschreibt eine Funktion.) | (Ja, die Zuordnung beschreibt eine Funktion.) | ||
(!Nein, die Zuordnung beschreibt ''keine'' Funktion.) | (!Nein, die Zuordnung beschreibt ''keine'' Funktion.) | ||
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<div class="multiplechoice-quiz"> | <div class="multiplechoice-quiz"> | ||
''' | '''2.) Mutter <math>\mapsto</math> Kind''' | ||
(!Ja, die Zuordnung beschreibt eine Funktion.) | (!Ja, die Zuordnung beschreibt eine Funktion.) | ||
(Nein, die Zuordnung beschreibt ''keine'' Funktion.) | (Nein, die Zuordnung beschreibt ''keine'' Funktion.) | ||
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<div class="multiplechoice-quiz"> | <div class="multiplechoice-quiz"> | ||
''' | '''3.) Zahl <math>\mapsto</math> Quersumme der Zahl''' | ||
(Ja, die Zuordnung beschreibt eine Funktion.) | (Ja, die Zuordnung beschreibt eine Funktion.) | ||
(!Nein, die Zuordnung beschreibt ''keine'' Funktion.) | (!Nein, die Zuordnung beschreibt ''keine'' Funktion.) | ||
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</div> | </div> | ||
{{Lösung versteckt|1=Da ''jede natürliche Zahl'' also ''genau eine Quersumme'' hat, ist die Zuordnung eine Funktion.|2=Erklärung zu 3.)|3=Erklärung schließen}} | {{Lösung versteckt|1=Da ''jede natürliche Zahl'' also ''genau eine Quersumme'' hat, ist die Zuordnung eine Funktion.|2=Erklärung zu 3.)|3=Erklärung schließen}} | ||
|3= | |3=Arbeitsmethode| Farbe ={{Farbe|orange}}}} | ||
==Lineare Funktionen erkennen== | ==Lineare Funktionen erkennen== | ||
{{Box | 1=Merke: | {{Box | 1=Merke: Lineare Funktionen |2=Die Funktionsgleichung einer lineare Funktion ist dir vielleicht auch unter der Bezeichnung ''Geradengleichung'' bekannt. Wie dieser Name schon sagt, handelt es sich bei dem Graphen einer linearen Funktion um eine '''Gerade'''. Der Graph kann daher ''keine Kurven'' haben. | ||
<br \> <br \> Im Allgemeinen haben lineare Funktionen die '''Funktionsgleichung''' <math>f(x)=mx+b</math>. | <br \> <br \> Im Allgemeinen haben lineare Funktionen die '''Funktionsgleichung''' <math>f(x)=mx+b</math>. | ||
* Dabei ist <math>m</math> die '''Steigung''' der Geraden und <math>b</math> der '''<math>y</math>-Achsenabschnitt''', also der Schnittpunkt mit der <math>y</math>-Achse. | * Dabei ist <math>m</math> die '''Steigung''' der Geraden und <math>b</math> der '''<math>y</math>-Achsenabschnitt''', also der Schnittpunkt mit der <math>y</math>-Achse. | ||
* Das Vorzeichen der Steigung <math>m</math> gibt an, ob die Gerade fällt (negatives Vorzeichen) oder steigt (positives Vorzeichen). | * Das Vorzeichen der Steigung <math>m</math> gibt an, ob die Gerade fällt (negatives Vorzeichen) oder steigt (positives Vorzeichen). | ||
* Den Schnittpunkt mit der <math>x</math>-Achse, die sogenannte '''Nullstelle''' der Funktion, berechnest du, indem du <math>f(x)=0</math> setzt. Denn an dem Punkt, wo der Graph die <math>x</math>-Achse schneidet, ist der <math>y</math>-Wert gleich <math>0</math>. | * Den Schnittpunkt mit der <math>x</math>-Achse, die sogenannte '''Nullstelle''' der Funktion, berechnest du, indem du <math>f(x)=0</math> setzt. Denn an dem Punkt, wo der Graph die <math>x</math>-Achse schneidet, ist der <math>y</math>-Wert gleich <math>0</math>. | ||
<br \> Im Folgenden kannst du über die beiden Schieberegler die Steigung <math>m</math> und den <math>y</math>-Achsenabschnitt <math>b</math> verstellen und dir anschauen, wie sich der Graph der linearen Funktion verändert | <br \> Im Folgenden kannst du über die beiden Schieberegler die Steigung <math>m</math> und den <math>y</math>-Achsenabschnitt <math>b</math> verstellen und dir anschauen, wie sich der Graph der linearen Funktion verändert. | ||
<ggb_applet id="hpmvwczf" width=" | <ggb_applet id="hpmvwczf" width="1270" height="570" border="888888" />| 3=Merksatz}} | ||
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{{Box | 1=Aufgabe 2: | {{Box | 1=Aufgabe 2: Erkennst du sie?|2=Entscheide, ob die folgenden Funktionsgleichungen und Graphen lineare Funktionen sind, und ordne sie dem passenden Feld zu. <br \> Wenn du alle Funktionsgleichungen und Graphen zugeordnet hast, kannst du dein Ergebnis mit einem Klick auf den <span style="color: #5E43A5">blauen Haken</span> unten rechts überprüfen. | ||
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=pn2aqo3jk20}} | {{LearningApp|width=100%|height=500px|app=pn2aqo3jk20}} | ||
{{Lösung versteckt|1='''Funktionsgraph erkennen:''' Überlege dir, welche geometrische Form der Graph einer linearen Funktionen hat. | {{Lösung versteckt|1='''Funktionsgraph erkennen:''' Überlege dir, welche geometrische Form der Graph einer linearen Funktionen hat. | ||
<br \> '''Funktionsgleichung erkennen:''' Überlege dir, welche Form die allgemeine Funktionsgleichung einer linearen Funktion hat. |2= | <br \> '''Funktionsgleichung erkennen:''' Überlege dir, welche Form die allgemeine Funktionsgleichung einer linearen Funktion hat. |2=Wie erkenne ich eine lineare Funktion?|3=Tipp schließen}} | ||
{{Lösung versteckt|1=Überlege dir, ob ein <math>x</math>-Wert von einer Funktion mehrmals angenommen werden darf.|2= | {{Lösung versteckt|1=Überlege dir, ob ein <math>x</math>-Wert von einer Funktion mehrmals angenommen werden darf.|2=Ist es eine Funktion oder nicht?|3=Tipp schließen}} | ||
|3=Arbeitsmethode|Farbe ={{Farbe|orange}}}} | |3=Arbeitsmethode|Farbe ={{Farbe|orange}}}} | ||
==Graph einer linearen Funktion== | ==Graph einer linearen Funktion== | ||
{{Box | 1=Aufgabe 3: | {{Box | 1=Aufgabe 3: Zeichnen von Graphen | | ||
2= Zeichne die folgenden Graphen in dein Heft:[[Datei:Pencil.svg|rechts|200px]] | 2= Zeichne die folgenden Graphen in dein Heft:[[Datei:Pencil.svg|rechts|200px]] | ||
''' | '''a)''' <math>f(x)= 2x- 1</math> | ||
''' | '''b)''' <math>f(x) = -3x+ 3</math> | ||
''' | '''c)''' <math>f(x)= -\frac{5}{6}x+ 2{,}5</math> | ||
{{Lösung versteckt|1= Es gibt zwei mögliche Wege einen Graphen zu zeichnen. | {{Lösung versteckt|1= Es gibt zwei mögliche Wege einen Graphen zu zeichnen. | ||
Zeile 106: | Zeile 106: | ||
Bei dieser Lösungsmöglichkeit wählen wir zwei verschiedene <math>x</math>- Werte. | Bei dieser Lösungsmöglichkeit wählen wir zwei verschiedene <math>x</math>- Werte. | ||
Zunächst könnte man <math> x= 0 </math> in die Funktionsgleichung einsetzten und man erhält <math> f(0)=2\cdot0-1=-1 </math>, also den Punkt <math> A=(0|-1) </math>.<br/> | Zunächst könnte man <math> x= 0 </math> in die Funktionsgleichung einsetzten und man erhält <math> f(0)=2\cdot0-1=-1 </math>, also den Punkt <math> A=(0|-1) </math>.<br/> | ||
Als nächstes könnte man z.B. <math> x=\frac{1}{2} </math> wählen. Dann erhält man durch einsetzten in die Funktionsgleichung <math> f(\frac{1}{2})=2\cdot\frac{1}{2}-1= 1-1=0 </math>. Dies wäre dann der Punkt <math> B=(\frac{1}{2}|0) </math>.<br/> | Als nächstes könnte man z.B. <math> x=\frac{1}{2} </math> wählen. Dann erhält man durch einsetzten in die Funktionsgleichung <math> f\left(\frac{1}{2}\right)=2\cdot\frac{1}{2}-1= 1-1=0 </math>. Dies wäre dann der Punkt <math> B=\left(\frac{1}{2}|0\right) </math>.<br/> | ||
Nun verbindet man im letzten Schritt die beiden Punkte und erhält den Graphen der Funktion. | Nun verbindet man im letzten Schritt die beiden Punkte und erhält den Graphen der Funktion. | ||
Zeile 138: | Zeile 138: | ||
{{Box | 1= Aufgabe 4: | {{Box | 1= Aufgabe 4: Funktionsgleichungen und Graphen verbinden |2= Verbinde den Graphen mit der passenden Funktionsgleichung. Du kannst die Bilder durch einen Klick vergrößern. | ||
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=pwr17nz8k20}} | {{LearningApp|width=100%|height=500px|app=pwr17nz8k20}} | ||
{{Lösung versteckt| 1= Falls du keinen Ansatz findest, versuche zunächst den Schnittpunkt mit der <math>y</math>- Achse zu ermitteln. Wenn du die Funktionsgleichung <math> f(x)= mx+b</math> gegeben hast, ist <math> b</math> der Schnittpunkt. Durch <math> m</math> erfährst du ob und wie steil der Graph steigt. Falls du hierzu mehr lesen möchtest, schau bei Aufgabe 3 in die Möglichkeiten 1 und 2. | {{Lösung versteckt| 1= Falls du keinen Ansatz findest, versuche zunächst den Schnittpunkt mit der <math>y</math>- Achse zu ermitteln. Wenn du die Funktionsgleichung <math> f(x)= mx+b</math> gegeben hast, ist <math> b</math> der Schnittpunkt. Durch <math> m</math> erfährst du ob und wie steil der Graph steigt. Falls du hierzu mehr lesen möchtest, schau bei Aufgabe 3 in die Möglichkeiten 1 und 2. | ||
Zeile 146: | Zeile 146: | ||
==Bestimmung von Funktionsgleichungen== | ==Bestimmung von Funktionsgleichungen== | ||
{{Box |1=Aufgabe 5: | {{Box |1=Aufgabe 5: Funktionsgleichung mit Hilfe von einem Punkt und der Steigung bestimmen |2= In den folgenden Teilaufgaben ist dir jeweils die Steigung der Geraden und ein Punkt, der auf der Geraden liegt, gegeben. Bestimme die jeweilige Gleichung der Geraden in der Form <math>f\left(x\right) = m\cdot x + b</math> in deinem Heft. | ||
{{Lösung versteckt|1=Setze die gegebene Steigung und den Punkt in die Geradengleichung der Form <math>f(x) = mx + b </math> ein.|2= Tipp|3=Tipp schließen}} | {{Lösung versteckt|1=Setze die gegebene Steigung und den Punkt in die Geradengleichung der Form <math>f\left(x\right) = mx + b </math> ein.|2= Tipp|3=Tipp schließen}} | ||
''' | '''a)''' Die Steigung ist <math> m = 5 </math> und der Punkt <math>P\left(-1|-7\right)</math>. | ||
{{Lösung versteckt|1 = # Setze als erstes für die Steigung <math>m = 5</math> ein, sodass die Gleichung <math>f(x) = 5x + b</math> entsteht. | {{Lösung versteckt|1 = # Setze als erstes für die Steigung <math>m = 5</math> ein, sodass die Gleichung <math>f\left(x\right) = 5x + b</math> entsteht. | ||
# Nutze die Angabe des Punktes <math>P(-1|-7)</math>. Dann | # Nutze die Angabe des Punktes <math>P\left(-1|-7\right)</math>. Dann erhältst du mit <math>x = -1</math> und <math>f\left(x\right) = -7</math> die Gleichung <math>-7 = 5\cdot\left(-1\right) + b</math>. | ||
# Bestimme mit Auflösung nach <math>b</math> den Wert <math>b = -2</math>. Schließlich | # Bestimme mit Auflösung nach <math>b</math> den Wert <math>b = -2</math>. Schließlich erhältst du, wenn du die Werte für <math>m</math> und <math>b</math> einsetzt, die Geradengleichung <math>f\left(x\right) = 5x - 2</math> ergibt.|2 = Lösung|3 = Lösung schließen}} | ||
''' | '''b)''' Die Steigung ist <math>m = 4{,}5</math> und der Punkt <math>P\left(4|18{,}5\right)</math>. | ||
{{Lösung versteckt|1 = # Setze als erstes für die Steigung <math>m = 4,5</math> ein, sodass die Gleichung <math>f(x) = 4,5\cdot x + b</math> entsteht. | {{Lösung versteckt|1 = # Setze als erstes für die Steigung <math>m = 4{,}5</math> ein, sodass die Gleichung <math>f\left(x\right) = 4{,}5\cdot x + b</math> entsteht. | ||
# Nutze die Angabe des Punktes <math>P(4|18,5)</math>. Dann | # Nutze die Angabe des Punktes <math>P\left(4|18{,}5\right)</math>. Dann erhältst du mit <math>x = 4 </math> und <math>f\left(x\right) = 18{,}5 </math> die Gleichung <math> 18{,}5 = 4{,}5\cdot4 + b</math>. | ||
# Bestimme mit Auflösung nach <math>b</math> den Wert <math>b = 0,5 </math>. Schließlich | # Bestimme mit Auflösung nach <math>b</math> den Wert <math>b = 0{,}5 </math>. Schließlich erhältst du, wenn du die Werte für <math>m</math> und <math>b</math> einsetzt, die Geradengleichung <math>f\left(x\right) = 4{,}5\cdot x + 0{,}5 </math> ergibt.|2 = Lösung|3 = Lösung schließen}} | ||
''' | '''c)''' Die Steigung ist <math>m = \frac{2}{3}</math> und der Punkt <math>P\left(-3|-\frac{4}{5}\right)</math> | ||
{{Lösung versteckt|1 = # Setze als erstes für die Steigung <math> m = \frac {2}{3}</math> ein, sodass die Gleichung <math>f(x) = \frac{2}{3}\cdot x + b</math> entsteht. | {{Lösung versteckt|1 = # Setze als erstes für die Steigung <math> m = \frac {2}{3}</math> ein, sodass die Gleichung <math>f\left(x\right) = \frac{2}{3}\cdot x + b</math> entsteht. | ||
# Nutze die Angabe des Punktes <math>P(-3|-\frac{4}{5})</math>. Dann | # Nutze die Angabe des Punktes <math>P\left(-3|-\frac{4}{5}\right)</math>. Dann erhältst du mit <math>x = -3 </math> und <math>f\left(x\right) =-\frac{4}{5} </math> die Gleichung <math> -\frac{4}{5}= \frac{2}{3}\cdot\left(-3\right) + b</math>. | ||
# Bestimme mit Auflösung nach <math>b</math> den Wert <math>b =\frac{6}{5} </math>. Schließlich | # Bestimme mit Auflösung nach <math>b</math> den Wert <math>b =\frac{6}{5} </math>. Schließlich erhältst du, wenn du die Werte für <math>m</math> und <math>b</math> einsetzt, die Geradengleichung <math>f\left(x\right) = \frac{2}{3}\cdot x +\frac{6}{5}</math> ergibt. | ||
|2 = Lösung| 3 = Lösung schließen}} | |2 = Lösung| 3 = Lösung schließen}} | ||
|3=Arbeitsmethode}} | |3=Arbeitsmethode}} | ||
Du hast in den letzten paar Aufgaben schon die Steigung der linearen Funktion benutzt, um ihren Graphen zu zeichnen, dem Graphen zu ihrer Funktion zu zuorden oder die Funktionsgleichung mithilfe der Steigung zu berechnen. Wie du konkret die Steigung aus zwei Punkten bestimmen kannst, kannst du dir im unteren Text durchlesen. | |||
{{Box |1= Merke: | {{Box |1= Merke: Das Steigungsdreieck |2= | ||
Die '''Steigung ''' einer linearen Funktion erhältst du mithilfe des '''Steigungsdreiecks''', von welchem zwei Punkte auf dem Graphen liegen. Das Steigungsdreieck kennzeichnet, dass die Steigung dem Verhältnis des Höhen- und Längenunterschiedes beider Punkte entspricht. | Die '''Steigung ''' einer linearen Funktion erhältst du mithilfe des '''Steigungsdreiecks''', von welchem zwei Punkte auf dem Graphen liegen. Das Steigungsdreieck kennzeichnet, dass die Steigung dem Verhältnis des Höhen- und Längenunterschiedes beider Punkte entspricht. | ||
<br \> | <br \> | ||
Die Steigung '''berechnest '''du folgendermaßen: <br \> | Die Steigung '''berechnest '''du folgendermaßen: <br \> | ||
# Du suchst zwei beliebige Punkte <math>P(x_1|f(x_1))</math> und <math>Q(x_2|f(x_2))</math>, die auf dem Graphen der Funktion liegen.<br \> | # Du suchst zwei beliebige Punkte <math>P(x_1|f\left(x_1\right))</math> und <math>Q(x_2|f\left(x_2\right))</math>, die auf dem Graphen der Funktion liegen.<br \> | ||
# Um den '''Höhenunterschied ''' der Punkte zu bestimmen, benötigst du die ''' y-''' bzw. '''f(x)-Koordinaten''' der Punkte P und Q: Höhenunterschied: <math>f(x_2)-f(x_1)</math> <br \> | # Um den '''Höhenunterschied ''' der Punkte zu bestimmen, benötigst du die '''<math>y</math>-''' bzw. '''<math>f\left(x\right)</math>-Koordinaten''' der Punkte P und Q: Höhenunterschied: <math>f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)</math> <br \> | ||
# Um den '''Längenunterschied ''' der Punkte zu bestimmen, benötigst du die '''x-Koordinaten''' der Punkte P und Q: Längenunterschied: <math>x_2-x_1</math> <br \> | # Um den '''Längenunterschied ''' der Punkte zu bestimmen, benötigst du die '''<math>x</math>-Koordinaten '''der Punkte P und Q: Längenunterschied: <math>x_2-x_1</math> <br \> | ||
# Für die Steigung der Geraden gilt dann: <math>m=\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}</math> <br \> | # Für die Steigung der Geraden gilt dann: <math>m=\frac{f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)}{x_2-x_1}</math> <br \> | ||
<ggb_applet id="sgg5pwmv" width="1824" height="785" border="888888" /> | |||
In dieser Grafik kannst du die Steigung '''m ''' und den y-Achsenabschnitt '''b ''' | In dieser Grafik kannst du die Steigung '''<math>m</math>''' und den <math>y</math>-Achsenabschnitt '''<math>b</math>''' frei wählen. Dadurch siehst du, wie sich das Steigungsdreieck entsprechend verändert. | 3=Merksatz}} | ||
<br \> | <br \> | ||
{{Box | 1= Aufgabe 6: | {{Box | 1= Aufgabe 6: Funktionsgleichung mit Hilfe von zwei Punkten bestimmen | | ||
2 = Nutze die in den folgenden Teilaufgaben genannten Punkte, durch welche eine Gerade verläuft. Bestimme in deinem Heft die jeweilige Gleichung der Geraden in der Form <math> f(x)= m\cdot x+b</math>. <br \> | 2 = Nutze die in den folgenden Teilaufgaben genannten Punkte, durch welche eine Gerade verläuft. Bestimme in deinem Heft die jeweilige Gleichung der Geraden in der Form <math> f\left(x\right)= m\cdot x+b</math>. <br \> | ||
{{Lösung versteckt|1= | {{Lösung versteckt|1= | ||
Du kannst auf | Du kannst auf zwei unterschiedlichen Wegen die Funktionsgleichungen bestimmen. | ||
{{Lösung versteckt|1= | {{Lösung versteckt|1= | ||
# Berechne zuerst die Steigung <math>m</math>. Gehe dabei wie im Merkkasten zum Steigungsdreieck vor. | # Berechne zuerst die Steigung <math>m</math>. Gehe dabei wie im Merkkasten zum Steigungsdreieck vor. | ||
# Berechne dann den <math>y</math>-Achsenabschnitt <math>b</math>. | # Berechne dann den <math>y</math>-Achsenabschnitt <math>b</math>. Gehe so vor wie bei Aufgabe 5 und setze die Steigung und einen der beiden Punkte in die Geradengleichung <math>f\left(x\right) = mx + b</math> ein. | ||
|2=Steigung und | |2=Steigung und y-Achsenabschnitt nacheinander berechnen|3=Tipp schließen}} | ||
{{Lösung versteckt|1= | {{Lösung versteckt|1= | ||
Zeile 208: | Zeile 204: | ||
# Bestimme anschließend mit Hilfe des Steigungsdreiecks, welches oben im Merkkästchen nochmal erklärt worden ist, die Steigung <math>m</math>. | # Bestimme anschließend mit Hilfe des Steigungsdreiecks, welches oben im Merkkästchen nochmal erklärt worden ist, die Steigung <math>m</math>. | ||
# Lies den <math>y</math>-Achsenabschnitt <math>b</math> am Graphen ab. | # Lies den <math>y</math>-Achsenabschnitt <math>b</math> am Graphen ab. | ||
# Setze die Werte für <math>m</math> und <math>b</math> in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + b</math> ein. | # Setze die Werte für <math>m</math> und <math>b</math> in die Geradengleichung <math>f\left(x\right) = mx + b</math> ein. | ||
|2=Lösung mit Hilfe eines Graphen|3=Tipp schließen}} | |2=Lösung mit Hilfe eines Graphen|3=Tipp schließen}} | ||
|2=Tipp | |2=Tipp|3=Tipp schließen}} | ||
''' | '''a)''' Gegeben sind die Punkte <math> P(4|27)</math> und <math>Q(9|42) </math>. | ||
{{Lösung versteckt|1 = | {{Lösung versteckt|1 = | ||
Die Funktionsgleichung lautet <math>f(x) = 3x + 15.</math> | Die Funktionsgleichung lautet <math>f\left(x\right) = 3x + 15.</math> | ||
{{Lösung versteckt|1= | {{Lösung versteckt|1= | ||
* Für den Höhenunterschied der Punkte berechnest du die <math>y</math>- bzw. <math>f(x)</math>-Koordinaten der Punkte <math>P(4|27)</math> und <math>Q(9|42)</math> wie folgt: <math>f(x_2)-f(x_1)=42-27=15</math> | * Für den Höhenunterschied der Punkte berechnest du die <math>y</math>- bzw. <math>f\left(x\right)</math>-Koordinaten der Punkte <math>P(4|27)</math> und <math>Q(9|42)</math> wie folgt: <math>f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)=42-27=15</math> | ||
* Für den Längenunterschied der Punkte verwendest du die <math>x</math>-Koordinaten der Punkte <math>P(4|27)</math> und <math>Q(9|42)</math>. Dann rechnen wir wie folgt: <math>x_2-x_1=9-4=5</math> | * Für den Längenunterschied der Punkte verwendest du die <math>x</math>-Koordinaten der Punkte <math>P(4|27)</math> und <math>Q(9|42)</math>. Dann rechnen wir wie folgt: <math>x_2-x_1=9-4=5</math> | ||
Zeile 227: | Zeile 223: | ||
* Für die Steigung <math>m</math> der Geraden setzt du beide Werte in die folgende Gleichung ein: <math>m=\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}=\frac{15}{5}=3</math> | * Für die Steigung <math>m</math> der Geraden setzt du beide Werte in die folgende Gleichung ein: <math>m=\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}=\frac{15}{5}=3</math> | ||
* Für die Berechnung des <math>y</math>-Achsenabschnitts setzt du die Steigung <math>m =3</math> und einen der Punkte in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + b</math> ein. | * Für die Berechnung des <math>y</math>-Achsenabschnitts setzt du die Steigung <math>m =3</math> und einen der Punkte in die Geradengleichung <math>f\left(x\right) = mx + b</math> ein. | ||
* Wenn du als Punkt <math>P</math> gewählt hast, erhältst du <math>f(x) = mx + b \Leftrightarrow 27= 3 \cdot 4+ b \Leftrightarrow 27=12+ b \Leftrightarrow b= 15 </math> | * Wenn du als Punkt <math>P</math> gewählt hast, erhältst du <math>f\left(x\right) = mx + b \Leftrightarrow 27= 3 \cdot 4+ b \Leftrightarrow 27=12+ b \Leftrightarrow b= 15 </math> | ||
* Wenn du als Punkt <math>Q</math> gewählt hast, erhältst du <math>f(x) = mx + b \Leftrightarrow 42= 3 \cdot 9+ b \Leftrightarrow 42 =27 + b \Leftrightarrow b= 15 </math> | * Wenn du als Punkt <math>Q</math> gewählt hast, erhältst du <math>f\left(x\right) = mx + b \Leftrightarrow 42= 3 \cdot 9+ b \Leftrightarrow 42 =27 + b \Leftrightarrow b= 15 </math> | ||
* Zum Schluss setzt du <math>m = 3</math> und <math>b = 15</math> in die Geradengleichung <math> f(x) = mx + b</math> ein. | * Zum Schluss setzt du <math>m = 3</math> und <math>b = 15</math> in die Geradengleichung <math> f\left(x\right) = mx + b</math> ein. | ||
|2=Lösungsweg durch Berechnung der Steigung und anschließend des y-Achsenabschnitts|3=Lösungsweg schließen}} | |2=Lösungsweg durch Berechnung der Steigung und anschließend des y-Achsenabschnitts|3=Lösungsweg schließen}} | ||
Zeile 239: | Zeile 235: | ||
{{Lösung versteckt|1= | {{Lösung versteckt|1= | ||
[[Datei:Lösung der Aufgabe a.png|Graphischer Lösungsweg|800px|zentriert]] | |||
[[Datei:Aufgabe a.png|Graphischer Lösungsweg|800px|zentriert]] | |||
|2=Lösungsweg durch Nutzung eines Graphen|3=Lösungsweg schließen}} | |2=Lösungsweg durch Nutzung eines Graphen|3=Lösungsweg schließen}} | ||
Zeile 261: | Zeile 243: | ||
''' | '''b)''' Gegeben sind die Punkte <math> P(-3|-1)</math> und <math>Q(1|7) </math>. | ||
{{Lösung versteckt|1 = | {{Lösung versteckt|1 = | ||
Die Funktionsgleichung lautet <math> | Die Funktionsgleichung lautet <math>h\left(x\right) = 2x+5</math>. | ||
{{Lösung versteckt|1= | {{Lösung versteckt|1= | ||
* Für den Höhenunterschied der Punkte berechnest du die <math>y</math> bzw. <math> | * Für den Höhenunterschied der Punkte berechnest du die <math>y</math> bzw. <math>h\left(x\right)</math>-Koordinaten der Punkte <math>P(-3|-1)</math> und <math>Q(1|7)</math> wie folgt berechnen: <math>h\left(x_2\right)-h\left(x_1\right)=7-(-1)=8</math> | ||
* Für den Längenunterschied der Punkte verwendest du die <math>x</math>-Koordinaten der Punkte <math>P(-3|-1)</math> und <math>Q(1|7)</math>. Dann rechnen wir wie folgt: <math>x_2-x_1=1-(-3)=4</math> | * Für den Längenunterschied der Punkte verwendest du die <math>x</math>-Koordinaten der Punkte <math>P(-3|-1)</math> und <math>Q(1|7)</math>. Dann rechnen wir wie folgt: <math>x_2-x_1=1-(-3)=4</math> | ||
* Für die Steigung <math>m</math> der Geraden setzt du beide Werte in die folgende Gleichung ein: <math> m=\frac{ | * Für die Steigung <math>m</math> der Geraden setzt du beide Werte in die folgende Gleichung ein: <math> m=\frac{h(x_2)-h(x_1)}{x_2-x_1}=\frac{8}{4}=2</math> | ||
* Für die Berechnung des <math>y</math>-Achsenabschnitts setzt du die Steigung <math>m = 2 </math> und einen der Punkte in die Geradengleichung <math> | * Für die Berechnung des <math>y</math>-Achsenabschnitts setzt du die Steigung <math>m = 2 </math> und einen der Punkte in die Geradengleichung <math>h\left(x\right) = mx + b</math> ein. | ||
* Wenn du als Punkt <math>P</math> gewählt hast, erhältst du <math> | * Wenn du als Punkt <math>P</math> gewählt hast, erhältst du <math>h\left(x\right) = mx + b \Leftrightarrow -1= 2 \cdot -3+ b \Leftrightarrow -1=-6+ b \Leftrightarrow b= 5 </math> | ||
* Wenn du als Punkt <math>Q</math> gewählt hast, erhältst du <math> | * Wenn du als Punkt <math>Q</math> gewählt hast, erhältst du <math>h\left(x\right) = mx + b \Leftrightarrow 7= 2 \cdot 1+ b \Leftrightarrow 7=2 + b \Leftrightarrow b= 5 </math> | ||
* Zum Schluss setzt du <math>m = 2</math> und <math>b = 5 </math> in die Geradengleichung <math> | * Zum Schluss setzt du <math>m = 2</math> und <math>b = 5 </math> in die Geradengleichung <math> h\left(x\right) = mx + b</math> ein. | ||
|2=Lösungsweg durch Berechnung der Steigung und anschließend des y-Achsenabschnitts|3=Lösungsweg schließen}} | |2=Lösungsweg durch Berechnung der Steigung und anschließend des y-Achsenabschnitts|3=Lösungsweg schließen}} | ||
Zeile 287: | Zeile 269: | ||
{{Lösung versteckt|1= | {{Lösung versteckt|1= | ||
[[Datei:Lösung der Aufgabe b.png|Graphischer Lösungsweg|800px|zentriert]] | |||
[[Datei:Aufgabe b.png|Graphischer Lösungsweg|800px|zentriert]] | |||
|2=Lösungsweg durch Nutzung eines Graphen|3=Lösungsweg schließen}} | |2=Lösungsweg durch Nutzung eines Graphen|3=Lösungsweg schließen}} | ||
Zeile 309: | Zeile 277: | ||
''' | '''c)''' Gegeben sind die Punkte <math> P(-5|-12{,}5)</math> und <math>Q(10|11{,}5) </math>. | ||
{{Lösung versteckt|1 = | {{Lösung versteckt|1 = | ||
Die Funktionsgleichung lautet <math>f(x) = \frac{8}{5}x -4,5</math>. | Die Funktionsgleichung lautet <math>f\left(x\right) = \frac{8}{5}x -4{,}5</math>. | ||
{{Lösung versteckt|1= | {{Lösung versteckt|1= | ||
* Für den Höhenunterschied der Punkte berechnest du die <math>y</math>- bzw. <math>f(x)</math>-Koordinaten der Punkte <math>P(-5|-12,5)</math> und <math>Q(10|11,5)</math> wie folgt berechnen: <math>f(x_2)-f(x_1)=11,5-(-12,5)=24</math> | * Für den Höhenunterschied der Punkte berechnest du die <math>y</math>- bzw. <math>f\left(x\right)</math>-Koordinaten der Punkte <math>P(-5|-12{,}5)</math> und <math>Q(10|11{,}5)</math> wie folgt berechnen: <math>f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)=11{,}5-(-12{,}5)=24</math> | ||
* Für den Längenunterschied der Punkte verwendest du die <math>x</math>-Koordinaten der Punkte <math>P(-5|-12,5)</math> und <math>Q(10|11,5)</math> verwenden. Dann rechnen wir wie folgt: <math>x_2-x_1=10-(-5)=15</math> | * Für den Längenunterschied der Punkte verwendest du die <math>x</math>-Koordinaten der Punkte <math>P(-5|-12{,}5)</math> und <math>Q(10|11{,}5)</math> verwenden. Dann rechnen wir wie folgt: <math>x_2-x_1=10-(-5)=15</math> | ||
* Für die Steigung <math>m</math> der Geraden setzt du beide Werte in die folgende Gleichung ein: <math> m=\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}=\frac{24}{15}=\frac{8}{5}</math> | * Für die Steigung <math>m</math> der Geraden setzt du beide Werte in die folgende Gleichung ein: <math> m=\frac{f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)}{x_2-x_1}=\frac{24}{15}=\frac{8}{5}</math> | ||
* Für die Berechnung des <math>y</math>-Achsenabschnitts setzt du die Steigung <math>m = \frac{8}{5}</math> und einen der Punkte in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + b</math> ein. | * Für die Berechnung des <math>y</math>-Achsenabschnitts setzt du die Steigung <math>m = \frac{8}{5}</math> und einen der Punkte in die Geradengleichung <math>f\left(x\right) = mx + b</math> ein. | ||
* Wenn du als Punkt <math>P</math> gewählt hast, erhältst du <math>f(x) = mx + b \Leftrightarrow -12,5= \frac{8}{5} \cdot (-5)+ b \Leftrightarrow -12,5=8 + b \Leftrightarrow b= -4,5 </math> | * Wenn du als Punkt <math>P</math> gewählt hast, erhältst du <math>f\left(x\right) = mx + b \Leftrightarrow -12{,}5= \frac{8}{5} \cdot (-5)+ b \Leftrightarrow -12{,}5=8 + b \Leftrightarrow b= -4{,}5 </math>} | ||
* Wenn du als Punkt <math>Q</math> gewählt hast, erhältst du <math>f(x) = mx + b \Leftrightarrow 11,5= \frac{8}{5} \cdot 10+ b \Leftrightarrow 11,5 =16 + b \Leftrightarrow b= -4,5 </math> | * Wenn du als Punkt <math>Q</math> gewählt hast, erhältst du <math>f\left(x\right) = mx + b \Leftrightarrow 11{,}5= \frac{8}{5} \cdot 10+ b \Leftrightarrow 11{,}5 =16 + b \Leftrightarrow b= -4{,}5 </math> | ||
* Zum Schluss setzt du <math>m = \frac{8}{5}</math> und <math>b = -4,5 </math> in die Geradengleichung <math> f(x) = mx + b</math> ein. | * Zum Schluss setzt du <math>m = \frac{8}{5}</math> und <math>b = -4{,}5 </math> in die Geradengleichung <math> f\left(x\right) = mx + b</math> ein. | ||
|2=Lösungsweg durch Berechnung der Steigung und anschließend des y-Achsenabschnitts|3=Lösungsweg schließen}} | |2=Lösungsweg durch Berechnung der Steigung und anschließend des y-Achsenabschnitts|3=Lösungsweg schließen}} | ||
Zeile 335: | Zeile 303: | ||
{{Lösung versteckt|1= | {{Lösung versteckt|1= | ||
[[Datei:Lösung der Aufgabe c.png|Graphischer Lösungsweg|800px|zentriert]] | |||
[[Datei:Aufgabe c.png|Graphischer Lösungsweg|800px|zentriert]] | |||
|2=Lösungsweg durch Nutzung eines Graphen|3=Lösungsweg schließen}} | |2=Lösungsweg durch Nutzung eines Graphen|3=Lösungsweg schließen}} | ||
Zeile 357: | Zeile 311: | ||
''' | '''d)''' Betrachte die nachfolgende Wertetabelle.[[Datei:Wertetabelle von linearer Funktion.png|zentriert|370 px]] | ||
{{Lösung versteckt|1= | {{Lösung versteckt|1= | ||
Du kannst dir zwei beliebige Punkte aus der Wertetabelle auswählen. Jedoch ist es einfacher für dich, wenn du dir Zahlen, die ganze Zahlen sind, oder Brüche, die gleichnamig sind, aussuchst, damit sich die Rechnung für dich vereinfacht. | Du kannst dir zwei beliebige Punkte aus der Wertetabelle auswählen. Jedoch ist es einfacher für dich, wenn du dir Zahlen, die ganze Zahlen sind, oder Brüche, die gleichnamig sind, aussuchst, damit sich die Rechnung für dich vereinfacht. | ||
|2=Tipp | |2=Tipp|3=Tipp schließen}} | ||
{{Lösung versteckt|1 = | {{Lösung versteckt|1 = | ||
Die Funktionsgleichung lautet <math>g(x) = -\frac{1}{4}x + \frac{3}{2}</math>. | Die Funktionsgleichung lautet <math>g\left(x\right) = -\frac{1}{4}x + \frac{3}{2}</math>. | ||
{{Lösung versteckt|1= | {{Lösung versteckt|1= | ||
* Für den Höhenunterschied der Punkte berechnest du die <math>y</math>- bzw. <math>g(x)</math>-Koordinaten zweier Punkte der Wertetabelle. Wir wählen zum Beispiel die Punkte <math>P(-3|\frac{9}{4})</math> und <math>Q(1|1\frac{1}{4})</math>, da diese Brüche gleichnamig sind und die Subtraktion einfacher ist. Du kannst die Steigung aber auch mit den anderen Punkten bestimmen. Dann berechnen wie folgt: <math>g(x_2)-f(x_1)=1 \frac{1}{4}-\frac{9}{4}=-1 </math> | * Für den Höhenunterschied der Punkte berechnest du die <math>y</math>- bzw. <math>g\left(x\right)</math>-Koordinaten zweier Punkte der Wertetabelle. Wir wählen zum Beispiel die Punkte <math>P\left(-3|\frac{9}{4}\right)</math> und <math>Q\left(1|1\frac{1}{4}\right)</math>, da diese Brüche gleichnamig sind und die Subtraktion einfacher ist. Du kannst die Steigung aber auch mit den anderen Punkten bestimmen. Dann berechnen wie folgt: <math>g\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)=1 \frac{1}{4}-\frac{9}{4}=-1 </math> | ||
* Für den Längenunterschied der Punkte verwendest du die <math>x</math>-Koordinaten der gleichen Punkte, die du beim Höhenunterschied gewählt hast. Wir benutzen also die Punkte <math>P(-3|\frac{9}{4})</math> und <math>Q(1|1\frac{1}{4})</math>. Dann rechnen wir wie folgt: <math>x_2-x_1=1-(-3)=4</math> | * Für den Längenunterschied der Punkte verwendest du die <math>x</math>-Koordinaten der gleichen Punkte, die du beim Höhenunterschied gewählt hast. Wir benutzen also die Punkte <math>P\left(-3|\frac{9}{4}\right)</math> und <math>Q\left(1|1\frac{1}{4}\right)</math>. Dann rechnen wir wie folgt: <math>x_2-x_1=1-(-3)=4</math> | ||
* Für die Steigung <math>m</math> der Geraden setzt du beide Werte in die folgende Gleichung ein: <math>\frac{g(x_2)-g(x_1)}{x_2-x_1}=\frac{1\frac{1}{4}-\frac{9}{4}}{1-(-3)}=-\frac{1}{4}</math> | * Für die Steigung <math>m</math> der Geraden setzt du beide Werte in die folgende Gleichung ein: <math>\frac{g\left(x_2\right)-g\left(x_1\right)}{x_2-x_1}=\frac{1\frac{1}{4}-\frac{9}{4}}{1-(-3)}=-\frac{1}{4}</math> | ||
* Für die Berechnung des <math>y</math>-Achsenabschnitts setzt du die Steigung <math>m = -\frac{1}{4}</math> und einen der Punkte in die Geradengleichung <math>g(x) = mx + b</math> ein. | * Für die Berechnung des <math>y</math>-Achsenabschnitts setzt du die Steigung <math>m = -\frac{1}{4}</math> und einen der Punkte in die Geradengleichung <math>g\left(x\right) = mx + b</math> ein. | ||
* Wenn du als Punkt <math>P</math> gewählt hast, erhältst du <math>g(x) = mx + b \Leftrightarrow \frac{9}{4}= -\frac{1}{4} \cdot -3+ b \Leftrightarrow \frac{9}{4} =\frac{3}{4} + b \Leftrightarrow b= \frac{6}{4}=\frac{3}{2} </math> | * Wenn du als Punkt <math>P</math> gewählt hast, erhältst du <math>g\left(x\right) = mx + b \Leftrightarrow \frac{9}{4}= -\frac{1}{4} \cdot -3+ b \Leftrightarrow \frac{9}{4} =\frac{3}{4} + b \Leftrightarrow b= \frac{6}{4}=\frac{3}{2} </math> | ||
* Wenn du als Punkt <math>Q</math> gewählt hast, erhältst du <math>g(x) = mx + b \Leftrightarrow 1\frac{1}{4}= -\frac{1}{4} \cdot 1+ b \Leftrightarrow 1\frac{1}{4} =-\frac{1}{4} + b \Leftrightarrow b= 1\frac{2}{4}=\frac{3}{2} </math> | * Wenn du als Punkt <math>Q</math> gewählt hast, erhältst du <math>g\left(x\right) = mx + b \Leftrightarrow 1\frac{1}{4}= -\frac{1}{4} \cdot 1+ b \Leftrightarrow 1\frac{1}{4} =-\frac{1}{4} + b \Leftrightarrow b= 1\frac{2}{4}=\frac{3}{2} </math> | ||
* Zum Schluss setzt du <math>m = -\frac{1}{14}</math> und <math>b = \frac{3}{2}</math> in die Geradengleichung <math> g(x) = mx + b</math> ein. | * Zum Schluss setzt du <math>m = -\frac{1}{14}</math> und <math>b = \frac{3}{2}</math> in die Geradengleichung <math> g\left(x\right) = mx + b</math> ein. | ||
|2=Lösungsweg durch Berechnung der Steigung und anschließend des y-Achsenabschnitts|3=Lösungsweg schließen}} | |2=Lösungsweg durch Berechnung der Steigung und anschließend des y-Achsenabschnitts|3=Lösungsweg schließen}} | ||
{{Lösung versteckt|1= | {{Lösung versteckt|1= | ||
Zeile 413: | Zeile 353: | ||
==Graphen und ihre Punkte== | ==Graphen und ihre Punkte== | ||
{{Box | 1= Aufgabe 7: | {{Box | 1= Aufgabe 7: Liegen die Punkte auf dem Graphen? |2= '''Prüfe, ob die Punkte auf dem jeweiligen Graphen liegen.'''<br/><br/> In der Aufgabe siehst du in der obersten Zeile vier verschiedene Funktionsgleichungen. Zu Beginn ist die erste Funktionsgleichung <span style="color: #5E43A5">blau</span> hinterlegt. Hiermit kannst du starten. Wähle die zu dieser Gleichung gehörigen Punkte aus. Hast du alle passenden Punkte ausgewählt, klicke oben die nächste Funktionsgleichung an und wiederhole dein Vorgehen. <br/>Viel Spaß! | ||
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=p80yvhink20}} | {{LearningApp|width=100%|height=500px|app=p80yvhink20}} | ||
{{Lösung versteckt|1=Setze die Punkte in die oben ausgewählte Funktionsgleichung ein und prüfe, ob sie erfüllt ist.|2=Tipp|3=Tipp schließen}}| 3= Arbeitsmethode}} | {{Lösung versteckt|1=Setze die Punkte in die oben ausgewählte Funktionsgleichung ein und prüfe, ob sie erfüllt ist.|2=Tipp|3=Tipp schließen}}| 3= Arbeitsmethode}} | ||
==Schnittpunkt mit der <math>x</math>-Achse (Nullstelle)== | |||
{{Box |1= Merke: Die Nullstelle einer linearen Funktion |2= | {{Box |1= Merke: Die Nullstelle einer linearen Funktion |2= | ||
Die Nullstelle einer linearen Funktion ist der Schnittpunkt der Funktion mit der <math>x</math>-Achse. Die Berechnung ist daher oftmals leichter als die Berechnung des Schnittpunktes zweier linearer Funktionen, da der <math>y</math>-Wert bereits bekannt ist, dieser ist immer <math>0</math>. | Die Nullstelle einer linearen Funktion ist der Schnittpunkt der Funktion mit der <math>x</math>-Achse. Die Berechnung ist daher oftmals leichter als die Berechnung des Schnittpunktes zweier linearer Funktionen, da der <math>y</math>-Wert bereits bekannt ist, dieser ist immer <math>0</math>. | ||
Zeile 426: | Zeile 363: | ||
{{Box | 1= Aufgabe 8: Nullstelle bestimmen |2= '''Bestimme graphisch | {{Box | 1= Aufgabe 8: Nullstelle bestimmen |2= '''Bestimme graphisch ''oder'' rechnerisch im Heft die Nullstellen der folgenden Funktionen. Überlege dir jeweils, welche Vorgehensweise sinnvoller ist.''' | ||
<br/><br/> | <br/><br/> | ||
a) <math>f(x)=-0{,}5x+2</math><br /> | '''a)''' <math>f(x)=-0{,}5x+2</math><br /> | ||
b) <math>g(x)= | '''b)''' <math>g(x)=5x+7</math><br /> | ||
c) <math>h(x)=-x-1{,}75</math><br /> | '''c)''' <math>h(x)=-x-1{,}75</math><br /> | ||
d) <math>j(x)=3</math> | '''d)''' <math>j(x)=3</math> | ||
Zeile 469: | Zeile 406: | ||
''Schritt 1'': Zeichne die Funktion in ein Koordinatensystem ein.<br/> | ''Schritt 1'': Zeichne die Funktion in ein Koordinatensystem ein.<br/> | ||
''Schritt 2'': Lies die Nullstelle ab. <br/> | ''Schritt 2'': Lies die Nullstelle ab. <br/> | ||
[[Datei:Lösung 8b.png|1000px|zentriert]] | [[Datei:Lösung 8b neu.png|1000px|zentriert]] | ||
<br /> | <br /> | ||
'''Rechnerische Lösung:'''<br/> | '''Rechnerische Lösung:'''<br/> | ||
''Schritt 1:'' Setze die Gleichung gleich <math>0</math>.<br/> | ''Schritt 1:'' Setze die Gleichung gleich <math>0</math>.<br/> | ||
<math> 0= | <math> 0=5x+7 </math><br /><br/> | ||
''Schritt 2: ''Löse nach <math>x</math> auf.<br/> | ''Schritt 2: ''Löse nach <math>x</math> auf.<br/> | ||
<math>0= | <math>0=5x+7 </math><br/> | ||
<math>\Leftrightarrow - | <math>\Leftrightarrow -7=5x </math><br/> | ||
<math>\Leftrightarrow - | <math>\Leftrightarrow -1{,}4=x</math><br/><br/> | ||
''Schritt 3:'' Gib die Nullstelle an.<br/> | ''Schritt 3:'' Gib die Nullstelle an.<br/> | ||
Die Nullstelle der Funktion <math>g(x)</math> liegt bei <math> N(- | Die Nullstelle der Funktion <math>g(x)</math> liegt bei <math> N(-1{,}4|0)</math>. | ||
|2=Lösung zu b)|3=Lösung zu b) schließen}} | |2=Lösung zu b)|3=Lösung zu b) schließen}} | ||
Zeile 519: | Zeile 456: | ||
| 3=Arbeitsmethode}} | | 3=Arbeitsmethode}} | ||
==Schnittpunkt von zwei linearen Funktionen== | |||
{{Box |1= Merke: | {{Box |1= Merke: Schnittpunkte von linearen Funktionen |2= | ||
Lineare Funktionen haben immer einen Schnittpunkt mit der <math>y</math>-Achse, den <math>y</math>-Achsenabschnitt. Zusätzlich schneiden alle Funktionen, die nicht konstant sind, die <math>x</math>-Achse, dies ist die Nullstelle. Aber es können sich auch zwei lineare Funktionen in einem Punkt schneiden. Sie schneiden sich '''maximal in einem Punkt''', d.h. sie können sich auch in keinem Punkt schneiden. Voraussetzung für das Vorhandensein eines Schnittpunktes ist, dass die beiden Funktionsgleichungen eine '''unterschiedliche Steigung''' besitzen. | Lineare Funktionen haben immer einen Schnittpunkt mit der <math>y</math>-Achse, den <math>y</math>-Achsenabschnitt. Zusätzlich schneiden alle Funktionen, die nicht konstant sind, die <math>x</math>-Achse, dies ist die Nullstelle. Aber es können sich auch zwei lineare Funktionen in einem Punkt schneiden. Sie schneiden sich '''maximal in einem Punkt''', d.h. sie können sich auch in keinem Punkt schneiden. Voraussetzung für das Vorhandensein eines Schnittpunktes ist, dass die beiden Funktionsgleichungen eine '''unterschiedliche Steigung''' besitzen. | ||
Zeile 541: | Zeile 478: | ||
[[Datei:Schnittpunkt Beispiel.png|1000px|zentriert]] | [[Datei:Schnittpunkt Beispiel.png|1000px|zentriert]] | ||
|2= Graphischer Lösungsweg|3= Lösungsweg schließen}} | |2= Graphischer Lösungsweg|3= Lösungsweg schließen}} | ||
{{Lösung versteckt|1= Gehe folgendermaßen vor:<br /> | {{Lösung versteckt|1= Gehe folgendermaßen vor:<br /> | ||
''Schritt 1:'' Setze beide Funktionsgleichungen gleich.<br /> | ''Schritt 1:'' Setze beide Funktionsgleichungen gleich.<br /> | ||
Zeile 556: | Zeile 494: | ||
<math>f(x)</math> und <math>h(x)</math> schneiden sich im Punkt <math>S(1\mid4)</math>.<br /> | <math>f(x)</math> und <math>h(x)</math> schneiden sich im Punkt <math>S(1\mid4)</math>.<br /> | ||
|2= Rechnerischer Lösungsweg|3= Lösungsweg schließen}} | |2= Rechnerischer Lösungsweg|3= Lösungsweg schließen}} | ||
{{Lösung versteckt|1= Alternativ kannst du in dieser Aufgabe auch die <math>x</math>-Koordinate in beide Funktionen einsetzen und dann prüfen, ob der gleiche <math>y</math>-Wert herauskommt.<br/> | |||
So kannst du allerdings nur vorgehen, wenn du bereits Schnittpunkte vorgegeben hast. Ansonsten musst du einen anderen Lösungsweg wählen. | |||
|2= Alternativer Lösungsweg|3= Lösungsweg schließen}} | |||
|2=Beispiel|3=Beispiel schließen}} | |2=Beispiel|3=Beispiel schließen}} | ||
Zeile 564: | Zeile 507: | ||
'''Löse die folgenden Aufgaben in deinem Heft.''' | '''Löse die folgenden Aufgaben in deinem Heft.''' | ||
{{Box | 1= Aufgabe 10: | {{Box | 1= Aufgabe 10: Abbrennen einer Kerze |2= [[Datei:Kerze abbrennen.png|mini|rechts|220px]] Eine Kerze ist <math>1{,}5</math> Stunden nach dem Anzünden <math>12</math> cm und <math>3{,}5</math> Stunden nach dem Anzünden noch <math>6</math> cm hoch. | ||
''' | '''a)''' '''Zeichne''' den Graphen der Zuordnung Zeit <math>\mapsto</math> Länge der Kerze. | ||
<br/> ''' | <br/> '''b)''' '''Lies''' an deiner Zeichnung folgende Werte '''ab''': | ||
* Wie lang war die Kerze zu Beginn? | * Wie lang war die Kerze zu Beginn? | ||
* Nach welcher Brennzeit ist sie nur noch 1,5 cm hoch? | * Nach welcher Brennzeit ist sie nur noch <math>1{,}5</math> cm hoch? | ||
* Wann ist sie abgebrannt? | * Wann ist sie abgebrannt? | ||
''' | '''c)''' '''Bestimme''' die '''Änderungsrate''' und gib die '''Funktionsgleichung''' in der Form <math>f(x)=mx+b</math> an. Ermittle nun die gesuchten Werte aus '''b)''' mithilfe der Gleichung. | ||
<br/> | <br/> | ||
{{Lösung versteckt|1={{Lösung versteckt|1=Überlege dir, welche Punkte du aus der Aufgabenstellung erhälst. Zeichne sie in ein Koordinatensystem. Dabei befindet sich auf der <math>x</math>-Achse die Zeit und auf der <math>y</math>-Achse die Höhe der Kerze.|2=Tipp zu a)|3=Tipp zu a) schließen}} | {{Lösung versteckt|1={{Lösung versteckt|1=Überlege dir, welche Punkte du aus der Aufgabenstellung erhälst. Zeichne sie in ein Koordinatensystem. Dabei befindet sich auf der <math>x</math>-Achse die Zeit und auf der <math>y</math>-Achse die Höhe der Kerze.|2=Tipp zu a)|3=Tipp zu a) schließen}} | ||
{{Lösung versteckt|1=Die Änderungsrate ist die Steigung <math>m</math> der linearen Funktion. Erinnere dich, wie du mithilfe zweier Punkte die Steigung bestimmen kannst. <br/> Den <math>y</math>-Achsenabschnitt hast du schon in Teilaufgabe '''b)''' herausgefunden. Setze beide Werte in die Funktionsgleichung ein.|2=Tipp zu c)|3=Tipp zu c) schließen}} | {{Lösung versteckt|1=Die Änderungsrate ist ein anderes Wort für die Steigung <math>m</math> der linearen Funktion.|2=Was ist die Änderungsrate?|3=Tipp schließen}} | ||
{{Lösung versteckt|1=Erinnere dich, wie du mithilfe zweier Punkte die Steigung bestimmen kannst. <br/> Den <math>y</math>-Achsenabschnitt hast du schon in Teilaufgabe '''b)''' herausgefunden. Setze beide Werte in die Funktionsgleichung ein.|2=Tipp zu c)|3=Tipp zu c) schließen}} | |||
|2=Tipps|3=Tipps schließen}} | |2=Tipps|3=Tipps schließen}} | ||
{{Lösung versteckt|1={{Lösung versteckt|1=[[Datei:Graph Aufgabe 10.png|mini|rechts|200px]]Zeichne ein Koordinatensystem in dein Heft. Aus der Aufgabenstellung erhälst du die beiden Punkte <math>P(1,5|12)</math> und <math>Q(3,5|6)</math>. Zeichne diese in dein Koordinatensystem ein und verbinde sie durch eine Gerade, die über die beiden Punkte hinaus geht.<br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/>|2=Lösung zu a)|3=Lösung zu a) schließen}} | {{Lösung versteckt|1={{Lösung versteckt|1=[[Datei:Graph Aufgabe 10.png|mini|rechts|200px]]Zeichne ein Koordinatensystem in dein Heft. Aus der Aufgabenstellung erhälst du die beiden Punkte <math>P(1{,}5|12)</math> und <math>Q(3{,}5|6)</math>. Zeichne diese in dein Koordinatensystem ein und verbinde sie durch eine Gerade, die über die beiden Punkte hinaus geht.<br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/>|2=Lösung zu a)|3=Lösung zu a) schließen}} | ||
{{Lösung versteckt|1=[[Datei:Graph Aufgabe 10b).png|mini|rechts|200px]] | {{Lösung versteckt|1=[[Datei:Graph Aufgabe 10b).png|mini|rechts|200px]] | ||
* 'Zu Beginn' bedeutet, dass <math>x=0</math> ist. Also | * 'Zu Beginn' bedeutet, dass <math>x=0</math> ist. Also sollst du den <math>y</math>-Achsenabschnitt ablesen. Dieser ist <math>b=16{,}5</math>. Zu Beginn war die Kerze also <math>16{,}5</math> cm hoch.<br/><br/> | ||
* Die Brennzeit, bei der die Kerze noch 1, | * Die Brennzeit, bei der die Kerze noch <math>1{,}5</math> cm hoch ist, beträgt <math>5</math> Stunden. Diese erhältst du, indem du den <math>x</math>-Wert zum Wert <math>y=1{,}5</math> abliest. Dieser ist <math>x=5</math>. <br/><br/> | ||
*'Abgebrannt' bedeutet, dass die Höhe gleich <math>0</math> ist, also <math>y=0</math>. Du sollst also die Nullstelle ablesen. Diese ist <math>x=5,5</math>. Also ist die Kerze nach 5,5 Stunden abgebrannt. | *'Abgebrannt' bedeutet, dass die Höhe gleich <math>0</math> ist, also <math>y=0</math>. Du sollst also die Nullstelle ablesen. Diese ist <math>x=5{,}5</math>. Also ist die Kerze nach <math>5{,}5</math> Stunden abgebrannt. | ||
<br/><br/><br/><br/><br/><br/>|2=Lösung zu b)|3=Lösung zu b) schließen}} | <br/><br/><br/><br/><br/><br/>|2=Lösung zu b)|3=Lösung zu b) schließen}} | ||
{{Lösung versteckt|1=Die Änderungsrate ist die Steigung <math>m</math> der Geraden. Diese berechnest du mit den oben ermittelten Punkten <math>P(1,5|12)</math> und <math>Q(3,5|6)</math> wie folgt: <math>m=\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}=\frac{6-12}{3,5-1,5}=-\frac{6}{2}=-3</math>. <br/><br/> Den <math>y</math>-Achsenabschnitt hast du schon bei Teilaufgabe b) ermittelt. Dieser war <math>b=16,5</math>. <br/><br/> Setze <math>m</math> und <math>b</math> nun in die allgemeine Form <math>f(x)=mx+b</math> ein. Du erhältst dann: <math>f(x)=-3x+16,5</math>. | {{Lösung versteckt|1=Die Änderungsrate ist die Steigung <math>m</math> der Geraden. Diese berechnest du mit den oben ermittelten Punkten <math>P(1{,}5|12)</math> und <math>Q(3{,}5|6)</math> wie folgt: <math>m=\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}=\frac{6-12}{3{,}5-1{,}5}=-\frac{6}{2}=-3</math>. <br/><br/> Den <math>y</math>-Achsenabschnitt hast du schon bei Teilaufgabe b) ermittelt. Dieser war <math>b=16{,}5</math>. <br/><br/> Setze <math>m</math> und <math>b</math> nun in die allgemeine Form <math>f(x)=mx+b</math> ein. Du erhältst dann: <math>f(x)=-3x+16{,}5</math>. | ||
<br/><br/><br/> | <br/><br/><br/> | ||
*'Zu Beginn' bedeutet, dass <math>x=0</math> ist. Also <math>f(0)=-3\cdot0+16,5=16,5</math>. | *'Zu Beginn' bedeutet, dass <math>x=0</math> ist. Also <math>f(0)=-3\cdot0+16{,}5=16{,}5</math>. | ||
* Du weißt, dass die Höhe noch 1, | * Du weißt, dass die Höhe noch <math>1{,}5</math> cm beträgt. Setze also <math>f(x)=1{,}5</math>. Dann gilt: <br/> <math>1{,}5=-3x+16{,}5</math> <math>\Leftrightarrow -15=-3x</math> <math>\Leftrightarrow x=5</math>. | ||
* 'Abgebrannt' bedeutet, dass die Höhe gleich <math>0</math> ist. Setze also <math>f(x)=0</math>. Dann gilt: <br/><math>0=-3x+16,5</math> | * 'Abgebrannt' bedeutet, dass die Höhe gleich <math>0</math> ist. Setze also <math>f(x)=0</math>. Dann gilt: <br/><math>0=-3x+16{,}5</math> <math>\Leftrightarrow -16{,}5=-3x</math> <math>\Leftrightarrow x=5{,}5</math>.|2=Lösung zu c)|3=Lösung zu c) schließen}} | ||
|2=Lösungen|3=Lösungen schließen}} | |2=Lösungen|3=Lösungen schließen}} | ||
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<br /><br /> | <br /><br /> | ||
{{Box | 1= Aufgabe 11: | {{Box | 1= Aufgabe 11: Weg zum Training | 2= Johannes geht zu Fuß von zu Hause aus zur <math>6</math> km entfernten Sporthalle zum Fußballtraining. Er geht relativ konstant mit <math>4</math> km/h. Paul steht schon vor der Sporthalle. Er startet zur gleichen Zeit wie Johannes mit seinem Fahrrad und fährt ihm entgegen. Paul fährt mit einer konstanten Geschwindigkeit von <math>16</math> km/h. Beide nehmen den selben Weg. | ||
'''Wann und wo treffen sie sich? ''' | '''Wann und wo treffen sie sich? ''' | ||
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{{Lösung versteckt|1= Zeichne die Funktionsgleichungen in ein Koordinatensystem und untersuche, in welchem Punkt sich die Geraden schneiden. Damit du siehst, dass du richtig abgelesen hast, kannst du zur Kontolle den <math>x</math>-Wert in eine der Funktionsgleichungen setzen. | {{Lösung versteckt|1= Zeichne die Funktionsgleichungen in ein Koordinatensystem und untersuche, in welchem Punkt sich die Geraden schneiden. Damit du siehst, dass du richtig abgelesen hast, kannst du zur Kontolle den <math>x</math>-Wert in eine der Funktionsgleichungen setzen. | ||
{{Lösung versteckt|1=[[Datei:Johannes' und Pauls Weg.png|1000px]]|2=graphische Skizze |3= Skizze schließen}} |2=Tipp zur graphischen Lösung |3=Tipp schließen}} | {{Lösung versteckt|1=[[Datei:Johannes' und Pauls Weg.png|1000px]]|2=graphische Skizze |3= Skizze schließen}} |2=Tipp zur graphischen Lösung |3=Tipp schließen}} | ||
{{Lösung versteckt|1= Die Geschwindigkeiten der beiden Jungen stellen die Steigungen dar. Setze sie in die Funktionsgleichung <math>f(x)=mx+b</math> ein. Da Paul Johannes entgegenfährt, bedenke, dass dies eine Auswirkung auf die Steigung hat und der <math>y</math>-Achsenabschnitt mit der Entfernung zusammenhängt. |2= 1. Tipp zum Aufstellen der Funktionsgleichungen|3=Tipp schließen}} | {{Lösung versteckt|1= Die Geschwindigkeiten der beiden Jungen stellen die Steigungen dar. Setze sie in die Funktionsgleichung <math>f\left(x\right)=mx+b</math> ein. Da Paul Johannes entgegenfährt, bedenke, dass dies eine Auswirkung auf die Steigung hat und der <math>y</math>-Achsenabschnitt mit der Entfernung zusammenhängt. |2= 1. Tipp zum Aufstellen der Funktionsgleichungen|3=Tipp schließen}} | ||
{{Lösung versteckt|1=<math> f_P(x)=-16 \cdot x + 6 </math> (Pauls Weg) und <math> f_J(x)=4 \cdot x </math> (Johannes' Weg) sind die gesuchten Funktionsgleichungen.|2= 2. Tipp zur Lösung der Funktionsgleichungen|3=Tipp schließen}} | {{Lösung versteckt|1=<math> f_P\left(x\right)=-16 \cdot x + 6 </math> (Pauls Weg) und <math> f_J\left(x\right)=4 \cdot x </math> (Johannes' Weg) sind die gesuchten Funktionsgleichungen.|2= 2. Tipp zur Lösung der Funktionsgleichungen|3=Tipp schließen}} | ||
{{Lösung versteckt|1= Wenn du beide Funktionsgeichungen aufgestellt hast, setze diese gleich und berechne den <math>x</math>- Wert.|2= Tipp zum rechnerischen Vorgehen|3=Tipp schließen}} | {{Lösung versteckt|1= Wenn du beide Funktionsgeichungen aufgestellt hast, setze diese gleich und berechne den <math>x</math>- Wert.|2= Tipp zum rechnerischen Vorgehen|3=Tipp schließen}} | ||
|2= Tipp|3=Tipp schließen}} | |2= Tipp|3=Tipp schließen}} | ||
{{Lösung versteckt|1= Durch die oben genannten Daten stellst du die Funktionsgleichungen auf. Johannes' Geschwindigkeit <math>4</math> km/h stellt die Steigung m der Gleichung dar. Johannes ist auf dem Weg zur Trainigshalle, also ist sein Startpunkt bei <math>0</math> km. Somit | {{Lösung versteckt|1= Durch die oben genannten Daten stellst du die Funktionsgleichungen auf. Johannes' Geschwindigkeit <math>4</math> km/h stellt die Steigung m der Gleichung dar. Johannes ist auf dem Weg zur Trainigshalle, also ist sein Startpunkt bei <math>0</math> km. Somit erhältst du für Johannes die Gleichung <math>f_J\left(x\right)=4 \cdot x </math>, wobei <math>x</math> die Zeit in Stunden verkörpert. Paul fährt ihm mit <math>16</math> km/h entgegen. Da er in entgegengesetzter Richtung zu Johannes fährt, ist die Steigung der Gleichung negativ. Du bekommst die Gleichung <math> f_P\left(x\right)=-16 \cdot x + b </math>. Da Paul an der Sporthalle startet, ist der Wert <math>b=6</math> für den <math>y</math>-Achsenabschnitt. Somit erhält man die Gleichung <math> f_P\left(x\right)=-16 \cdot x + 6 </math>. | ||
Jetzt hast du zwei Möglichkeiten: <br/> | Jetzt hast du zwei Möglichkeiten: <br/> | ||
* Du setzt die Funktionsgleichungen <math> f_P(x)</math> und <math> f_J(x) </math> gleich: <math> -16 \cdot x + 6 = 4 \cdot x </math>. Nach Umformungen | * Du setzt die Funktionsgleichungen <math> f_P \left(x\right)</math> und <math> f_J\left(x\right) </math> gleich: <math> -16 \cdot x + 6 = 4 \cdot x </math>. Nach Umformungen erhältst du die Gleichung <math> 20 \cdot x= 6 </math>. Mit Auflösen nach <math>x</math> ergibt sich die Gleichung <math> x=\frac {6}{20}=\frac {3}{10}=0{,}3 </math>. Dieser <math>x</math>-Wert wird in eine der zwei Gleichungen eingesetzt. Setze <math>x=0,3</math> in <math>f_J\left(x\right)=4 \cdot x </math> ein und berechne das Produkt. Das ergibt <math>f_J(0{,}3)=1{,}2 </math>. | ||
* Du zeichnest beide Graphen und liest den Schnittpunkt der Geraden ab. | * Du zeichnest beide Graphen und liest den Schnittpunkt der Geraden ab. | ||
[[Datei:Johannes' und Pauls Schnittpunkt(1).png|1200px]]<br/> | [[Datei:Johannes' und Pauls Schnittpunkt(1).png|1200px]]<br/> | ||
Mit beiden Lösungwegen erhälst du die Werte <math>x=0,3</math> und <math>f(0,3)=1,2</math>. Daraus lässt sich schließen, dass sich die beiden in einer Entfernung von <math>1,2</math> km von Johannes' Startpunkt nach <math>0,3</math> h = <math>18 </math> min treffen. | Mit beiden Lösungwegen erhälst du die Werte <math>x=0{,}3</math> und <math>f(0{,}3)=1{,}2</math>. Daraus lässt sich schließen, dass sich die beiden in einer Entfernung von <math>1{,}2</math> km von Johannes' Startpunkt nach <math>0{,}3</math> h = <math>18 </math> min treffen. | ||
|2=Lösung|3=Lösung schließen}} | |2=Lösung|3=Lösung schließen}} | ||
| 3= Arbeitsmethode}} | | 3= Arbeitsmethode}} | ||
<br /><br /> | <br /><br /> | ||
[[Datei:Iphone 4 blurred.jpg|mini|links| | |||
'''Tarif A:''' Grundgebühr 5 € / Monat die ersten 5 Stunden frei, dann 1 | {{Box | 1= Aufgabe 12: Handytarife | 2= Maria möchte im Internet surfen und begutachtet die Tarife A, B und C. <br/><br/> | ||
'''Tarif B:''' Grundgebühr 10 € / Monat die ersten 10 Stunden frei, dann 0,8 | |||
[[Datei:Iphone 4 blurred.jpg|mini|links|170px]] | |||
'''Tarif A:''' Grundgebühr 5 € / Monat die ersten 5 Stunden frei, dann 1 ct./min. <br/> | |||
'''Tarif B:''' Grundgebühr 10 € / Monat die ersten 10 Stunden frei, dann 0,8 ct./min. <br/> | |||
'''Tarif C:''' Flat–Rate 40 € / Monat. <br/><br/> | '''Tarif C:''' Flat–Rate 40 € / Monat. <br/><br/> | ||
Maria surft im Durchschnitt zwei Stunden am Tag (30 Tage / Monat). <br/> | Maria surft im Durchschnitt zwei Stunden am Tag (30 Tage / Monat). <br/> | ||
'''a)''' Stelle für jeden Tarif die Funktionsgleichung auf. | '''a)''' Stelle für jeden Tarif die '''Funktionsgleichung '''auf. | ||
{{Lösung versteckt|1=<br/> | {{Lösung versteckt|1=<br/> | ||
'''b)''' Zeichne die Funktionsgraphen in ein geeignetes Koordinatensystem. | Betrachte zunächst die Einheiten und versuche diese einheitlich umzuformen. <br/> | ||
Wenn du diesen Wert hast, kannst du eine vorübergehende Funktionsgleichung aufstellen. Dabei lasse einen Wert variabel um die freien Stunden einzubauen. In dieser Zeit muss nur die Grundgebühr bezahlt werden <br/> Welchen Punkt kennen wir deshalb bereits?<br/> | |||
|2=Tipp|3=Tipp schließen}} | |||
'''b)''' '''Zeichne '''die Funktionsgraphen in ein geeignetes Koordinatensystem. | |||
{{Lösung versteckt|1= <br/> | {{Lösung versteckt|1= <br/> | ||
'''c)''' Erkläre, | Um die Funktionsgleichung in ein Koordinatensystem zu übertragen, überlege dir zunächst welche Werte deine <math>x</math>- Achse und, welche Werte deine <math>y</math>-Achse angibst. <br/>Falls du mit dem Zeichnen von Graphen Schwierigkeiten hast, wiederhole das entsprechende Kapitel in diesem Lernpfad. Dort werden dir zwei Möglichkeiten einen Graphen zu zeichnen vorgestellt. <br/> | ||
Bedenke bei den Graphen von <math>f</math> und <math>h</math> jedoch, dass diese in einem bestimmten Bereich konstant sind. <br/> | |||
|2=Tipp|3=Tipp schließen}} | |||
'''c)''' Berechne <br/> | |||
# den '''günstigsten Tarif für Maria''' und <br/> | |||
# in welchem Punkt '''Kostengleichheit für Tarif A und B''' herrscht? | |||
Erkläre, wo du dies in den Graphen ablesen kannst. | |||
{{Lösung versteckt|1= | |||
{{Lösung versteckt|1= | {{Lösung versteckt|1= | ||
Lese zunächst aus der Aufgabe heraus, wie lange Maria am Tag surft und berechne dann den Wert für einen Monat. Nun überlege dir, an welcher Stelle du diesen Wert einsetzten kannst. | |||
|2=Tipp zu dem günstigsten Tarif|3=Tipp schließen}} | |||
{{Lösung versteckt|1= | {{Lösung versteckt|1= | ||
Kostengleichheit bedeutet, dass beide Tarife den gleichen Wert annehmen. | |||
{{Lösung versteckt|1= Du kannst die Funktionen gleichsetzten und nach <math>x</math> auflösen.|2=Tipp|3=Tipp schließen}} | |||
|2=Tipp zur Kostengleichheit|3=Tipp schließen}} | |||
{{Lösung versteckt|1= | {{Lösung versteckt|1= | ||
Falls du die Graphen alle in ein Koordinatensystem gezeichnet hast, kannst du einiges an diesem ablesen. Um die eben berechneten Punkte zu finden, überlege genau, welche Punkte du eben eingesetzt hast oder was Kostengleichheit nochmal bedeutet. | |||
|2=Tipp zum Ablesen am Graphen|3=Tipp schließen}} | |||
|2=Tipps |3=Tipps schließen}} | |||
|2= | |||
{{Lösung versteckt|1= | {{Lösung versteckt|1= | ||
{{Lösung versteckt|1= | {{Lösung versteckt|1= | ||
'''Tarif A:'''<br/> | '''Tarif A:'''<br/> | ||
Zunächst multipliziert man die 1 ct/min mit 60 min, um diesen Wert in ct/h zu haben. <math> 60</math> min <math>\cdot 1</math> | |||
Nun wandelst du diesen Wert in €/h um. <math>60</math> ct/h<math>= 0,6</math> €/h. Wir kennen jetzt schon einen Teil der Funktionsgleichung.<math> f_1(x)= 0,6x+ a</math>, wobei a ein noch unbekannter Wert ist. <br/> | Zunächst multipliziert man die <math>1</math> ct/min mit <math>60</math> min, um diesen Wert in ct/h zu haben. <math> 60</math> min <math>\cdot 1</math> ct/min <math>= 60</math> ct/h <br/> | ||
Wir wissen, dass die ersten 5 Stunden frei sind,d.h hier muss nur die Grundgebühr von 5€ bezahlt werden. Der Punkt <math> A (5|5) </math> muss also auf dem Graphen unserer Funktionsgleichung liegen. | |||
<math> f_1(5)=0,6\cdot5+a=5 \Longleftrightarrow 3+a=5 \Longleftrightarrow a=2 </math>. <br/>Die Funktionsgleichung für Tarif A ist also <math> f(x)= 0,6x+2 </math>. Beachtet jedoch, dass die Funktion bis <math> x= 5 </math> konstant <math>5</math> ist. <br/> <br/> | Nun wandelst du diesen Wert in €/h um. <math>60</math> ct/h<math>= 0,6</math> €/h. Wir kennen jetzt schon einen Teil der Funktionsgleichung. <math> f_1(x)= 0{,}6x+ a</math>, wobei <math>a</math> ein noch unbekannter Wert ist. <br/> | ||
Wir wissen, dass die ersten <math>5</math> Stunden frei sind, d.h. hier muss nur die Grundgebühr von 5€ bezahlt werden. Der Punkt <math> A (5|5) </math> muss also auf dem Graphen unserer Funktionsgleichung liegen. Wir können also diesen Punkt nun in die Funktionsgleichung von <math> f_1 </math> einsetzten und nach <math>a</math> auflösen, um die ganze Funktionsgleichung zu erhalten. <br/> | |||
<math> f_1(5)=0{,}6\cdot5+a=5 \Longleftrightarrow 3+a=5 \Longleftrightarrow a=2 </math>. <br/>Die Funktionsgleichung für Tarif A ist also <math> f(x)= 0{,}6x+2 </math>. Beachtet jedoch, dass die Funktion bis <math> x= 5 </math> konstant <math>5</math> ist. <br/> <br/> | |||
'''Tarif B:''' <br/> | '''Tarif B:''' <br/> | ||
Zunächst multipliziert man die 0,8 ct/min mit 60 min, um diesen Wert in ct/h zu haben. <math> 60</math> min <math>\cdot 0,8</math> | |||
Nun wandelst du diesen Wert in €/h um. <math>48 </math>ct/h<math>= 0,48</math> €/h. Wir kennen jetzt schon einen Teil der Funktionsgleichung.<math> g_1(x)= 0,48x+ b</math>, wobei | Zunächst multipliziert man die <math>0,8</math> ct/min mit <math>60</math> min, um diesen Wert in ct/h zu haben. <math> 60</math> min <math>\cdot 0,8</math> ct/min<math>= 48</math> ct/h <br/> | ||
Wir wissen, dass die ersten 10 Stunden frei sind, d.h hier muss nur die Grundgebühr von 10€ bezahlt werden. Der Punkt <math> B (10|10) </math> muss also auf dem Graphen unserer Funktionsgleichung liegen. | |||
<math> g_1(10)=0,48\cdot10+b=10 \Longleftrightarrow 4,8+b=10 \Longleftrightarrow b=5,2 </math>. <br/>Die Funktionsgleichung für Tarif B ist also <math> g(x)= 0,48x+5,2 </math>. Beachtet jedoch, dass die Funktion bis <math> x= 10 </math> konstant <math>10</math> ist. <br/> <br/> | Nun wandelst du diesen Wert in €/h um. <math>48 </math>ct/h<math>= 0{,}48</math> €/h. Wir kennen jetzt schon einen Teil der Funktionsgleichung. <math> g_1(x)= 0{,}48x+ b</math>, wobei <math>b</math> ein noch unbekannter Wert ist. <br/> | ||
Wir wissen, dass die ersten <math>10</math> Stunden frei sind, d.h hier muss nur die Grundgebühr von 10€ bezahlt werden. Der Punkt <math> B (10|10) </math> muss also auf dem Graphen unserer Funktionsgleichung liegen. Wir können diesen Punkt also nun in die Funktionsgleichung von <math> g_1 </math> einsetzten und nach <math>b</math> auflösen, um die ganze Funktionsgleichung zu erhalten. <br/> | |||
<math> g_1(10)=0{,}48\cdot10+b=10 \Longleftrightarrow 4{,}8+b=10 \Longleftrightarrow b=5{,}2 </math>. <br/>Die Funktionsgleichung für Tarif B ist also <math> g(x)= 0{,}48x+5,2 </math>. Beachtet jedoch, dass die Funktion bis <math> x= 10 </math> konstant <math>10</math> ist. <br/> <br/> | |||
'''Tarif C:''' <br/> | '''Tarif C:''' <br/> | ||
Da dies eine Flatrate ist, wird ein Wert für jeden Monat festgesetzt und dieser Wert verändert sich auch nicht wenn mehr oder weniger Stunden gesurft wird. Deshalb ist die Funktion eine Konstante. | Da dies eine Flatrate ist, wird ein Wert für jeden Monat festgesetzt und dieser Wert verändert sich auch nicht wenn mehr oder weniger Stunden gesurft wird. Deshalb ist die Funktion eine Konstante. | ||
<math> h(x)= 40 </math> ist die Funktionsgleichung zum Tarif C.<br/> | <math> h(x)= 40 </math> ist die Funktionsgleichung zum Tarif C.<br/> | ||
|2=Lösung zu a)|3=Lösung zu a) schließen}} | |2=Lösung zu a)|3=Lösung zu a) schließen}} | ||
{{Lösung versteckt|1= | {{Lösung versteckt|1= | ||
[[Datei:Handytarife.png|700px|zentriert]] | [[Datei:Handytarife.png|700px|zentriert]] | ||
|2=Lösung zu b)|3=Lösung | |||
{{Lösung versteckt|1= | |2=Lösung zu b)|3=Lösung schließen}} | ||
{{Lösung versteckt|1= | |||
{{Lösung versteckt|1= | {{Lösung versteckt|1= | ||
Zunächst bestimmen wir die Stundenzahl, welche Maria pro Monat fürs surfen nutzt. Maria surft <math>2</math> h/Tag. Da ein Monat <math>30</math> Tage hat, kann man, kann man <math>30</math> und <math>2</math> multiplizieren und erhält <math>60</math> h/Monat.<br/> | Zunächst bestimmen wir die Stundenzahl, welche Maria pro Monat fürs surfen nutzt. Maria surft <math>2</math> h/Tag. Da ein Monat <math>30</math> Tage hat, kann man, kann man <math>30</math> und <math>2</math> multiplizieren und erhält <math>60</math> h/Monat.<br/> | ||
Nun setzten wir die <math>60</math> h als <math>x</math>- Wert in die Funktionsgleichungen von <math>f(x)</math>, <math> g(x)</math> und <math>h(x)</math> ein und vergleichen das Ergebnis.<br/> | Nun setzten wir die <math>60</math> h als <math>x</math>- Wert in die Funktionsgleichungen von <math>f(x)</math>, <math> g(x)</math> und <math>h(x)</math> ein und vergleichen das Ergebnis.<br/> | ||
<math> f(60)= 0,6\cdot60+2 =36+2=38</math><br/> | |||
<math> g(60)= 0,48\cdot60+5,2=28,8+5,2=34 </math><br/> | <math> f(60)= 0{,}6\cdot60+2 =36+2=38</math><br/> | ||
<math> g(60)= 0{,}48\cdot60+5{,}2=28{,}8+5{,}2=34 </math><br/> | |||
<math> h(60)= 40 </math><br/> | <math> h(60)= 40 </math><br/> | ||
Da Maria circa <math>60</math> h im Monat surft wäre der Tarif B mit <math>34</math> € am günstigsten für sie. | Da Maria circa <math>60</math> h im Monat surft wäre der Tarif B mit <math>34</math> € am günstigsten für sie. | ||
|2=Lösung zu | |||
|2=Lösung zu dem günstigsten Tarif für Maria|3=Lösung schließen}} | |||
{{Lösung versteckt|1= | {{Lösung versteckt|1= | ||
Hier ist nach dem Schnittpunkt von <math>f(x)</math> und <math>g(x)</math> gefragt. Dazu setzt man die Gleichungen gleich und löst sie nach <math>x</math> auf. | Hier ist nach dem Schnittpunkt von <math>f(x)</math> und <math>g(x)</math> gefragt. Dazu setzt man die Gleichungen gleich und löst sie nach <math>x</math> auf. | ||
<math> f(x)=g(x)\Longleftrightarrow 0,6x+2=0,48x+5,2 \Longleftrightarrow 0,12x+2= 5,2 \Longleftrightarrow 0,12x= 3,2 \Longleftrightarrow x= \frac{80}{3} \approx 26,6666666 </math> <br/> | |||
In dem Punkt <math> P( | <math> f(x)=g(x)\Longleftrightarrow 0{,}6x+2=0{,}48x+5{,}2 \Longleftrightarrow 0{,}12x+2= 5{,}2 \Longleftrightarrow 0{,}12x= 3{,}2 \Longleftrightarrow x= \frac{80}{3} \approx 26{,}6666666 </math> <br/> | ||
|2=Lösung | |||
In dem Punkt <math> P\left(\frac{80}{3}|18\right)</math> sind die Tarife A und B kostengleich. | |||
|2=Lösung zur Kostengleichheit|3=Lösung schließen}} | |||
{{Lösung versteckt|1= | {{Lösung versteckt|1= | ||
<math> f(x) | Der Punkt <math> E(26{,}67|18) </math> ist der Schnittpunkt der beiden Funktion <math>f(x)</math> und <math>g(x)</math>. Das heißt an diesem Punkt sind die Tarife für Maria gleich teuer. <br/> | ||
<math> g(x) | |||
Den günstigsten Tarif für Maria erkennt man, indem man die <math>60</math> h auf der <math>x</math>-Achse betrachtet und vergleicht welcher Graph am niedrigsten verläuft. Dies ist der Graph von Tarif B. | |||
|2=Lösung zu | |||
[[Datei:Handytarife Interpretation.png|700px|zentriert]]<br/> | |||
|2=Lösung zum Ablesen am Graphen|3=Lösung schließen}} | |||
|2=Lösung zu c)|3=Lösung schließen}}| | |||
2=Lösung|3=Lösung schließen}} | 2=Lösung|3=Lösung schließen}} | ||
| 3= Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe| grün| dunkel}}}} | | 3= Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe| grün| dunkel}}}} |
Aktuelle Version vom 16. Dezember 2020, 09:05 Uhr
Wiederholung: Was ist eine Funktion?
Lineare Funktionen erkennen
Graph einer linearen Funktion
Bestimmung von Funktionsgleichungen
Du hast in den letzten paar Aufgaben schon die Steigung der linearen Funktion benutzt, um ihren Graphen zu zeichnen, dem Graphen zu ihrer Funktion zu zuorden oder die Funktionsgleichung mithilfe der Steigung zu berechnen. Wie du konkret die Steigung aus zwei Punkten bestimmen kannst, kannst du dir im unteren Text durchlesen.
Graphen und ihre Punkte
Schnittpunkt mit der -Achse (Nullstelle)
Schnittpunkt von zwei linearen Funktionen
Anwendungsaufgaben
Löse die folgenden Aufgaben in deinem Heft.