Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Lineare Funktionen: Unterschied zwischen den Versionen
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| 3= Arbeitsmethode}} | | 3= Arbeitsmethode}} | ||
<br /><br /> | <br /><br /> | ||
{{Box | 1= Aufgabe 12: Handytarife | 2= Maria möchte im Internet surfen und begutachtet die Tarife A, B und C. <br/><br/> | {{Box | 1= Aufgabe 12: Handytarife | 2= Maria möchte im Internet surfen und begutachtet die Tarife A, B und C. <br/><br/> | ||
[[Datei:Iphone 4 blurred.jpg|mini|links|130px]] | [[Datei:Iphone 4 blurred.jpg|mini|links|130px]] | ||
'''Tarif A:''' Grundgebühr 5 € / Monat die ersten 5 Stunden frei, dann 1 | |||
'''Tarif B:''' Grundgebühr 10 € / Monat die ersten 10 Stunden frei, dann 0,8 | '''Tarif A:''' Grundgebühr 5 € / Monat die ersten 5 Stunden frei, dann 1 ct./min. <br/> | ||
'''Tarif B:''' Grundgebühr 10 € / Monat die ersten 10 Stunden frei, dann 0,8 ct./min. <br/> | |||
'''Tarif C:''' Flat–Rate 40 € / Monat. <br/><br/> | '''Tarif C:''' Flat–Rate 40 € / Monat. <br/><br/> | ||
Maria surft im Durchschnitt zwei Stunden am Tag (30 Tage / Monat). <br/> | Maria surft im Durchschnitt zwei Stunden am Tag (30 Tage / Monat). <br/> | ||
'''a)''' Stelle für jeden Tarif die Funktionsgleichung auf. | '''a)''' Stelle für jeden Tarif die Funktionsgleichung auf. | ||
{{Lösung versteckt|1=<br/> | {{Lösung versteckt|1=<br/> | ||
Betrachte zunächst die Einheiten und versuche diese umzuformen.<br/> | |||
Betrachte zunächst die Einheiten und versuche diese einheitlich umzuformen. <br/> | |||
Wenn du diesen Wert hast, kannst du eine vorübergehende Funktionsgleichung | |||
Wenn du diesen Wert hast, kannst du eine vorübergehende Funktionsgleichung aufstellen. Dabei lasse einen Wert variabel um die freien Stunden einzubauen. In dieser Zeit muss nur die Grundgebühr bezahlt werden <br/> Welchen Punkt kennen wir deshalb bereits?<br/> | |||
|2=Tipp zu a)|3=Tipp zu a) schließen}} | |2=Tipp zu a)|3=Tipp zu a) schließen}} | ||
'''b)''' Zeichne die Funktionsgraphen in ein geeignetes Koordinatensystem. | '''b)''' Zeichne die Funktionsgraphen in ein geeignetes Koordinatensystem. | ||
{{Lösung versteckt|1= <br/> | {{Lösung versteckt|1= <br/> | ||
Um die Funktionsgleichung in ein Koordinatensystem zu übertragen, überlege dir zunächst welche Werte deine <math>x</math>- Achse und, welche Werte deine <math>y</math>-Achse angibst. <br/> | |||
Um die Funktionsgleichung in ein Koordinatensystem zu übertragen, überlege dir zunächst welche Werte deine <math>x</math>- Achse und, welche Werte deine <math>y</math>-Achse angibst. <br/>Falls du mit dem Zeichnen von Graphen Schwierigkeiten hast, wiederhole das entsprechende Kapitel in diesem Lernpfad. Dort werden dir zwei Möglichkeiten einen Graphen zu zeichnen vorgestellt. <br/> | |||
Falls du mit dem Zeichnen von Graphen Schwierigkeiten hast, wiederhole das entsprechende Kapitel in diesem Lernpfad. | |||
Bedenke bei den Graphen von f und h jedoch, dass diese in einem bestimmten Bereich konstant sind. <br/> | Bedenke bei den Graphen von <math>f</math> und <math>h</math> jedoch, dass diese in einem bestimmten Bereich konstant sind. <br/> | ||
|2=Tipp zu b)|3=Tipp zu b) schließen}} | |2=Tipp zu b)|3=Tipp zu b) schließen}} | ||
'''c)''' Erkläre, | |||
'''c)''' Berechne den günstigsten Tarif für Maria. <br/> In welchem Punkt herrscht Kostengleichheit für Tarif A und B? | |||
Erkläre, wo du dies in den Graphen ablesen kannst. | |||
{{Lösung versteckt|1= | {{Lösung versteckt|1= | ||
Lese zunächst aus der Aufgabe heraus wie lange Maria am Tag surft und berechne den Wert für einen Monat. Nun überlege dir wo du diesen Wert einsetzten kannst. | |||
|2=Tipp zu dem günstigsten Tarif für Maria|3=Tipp zu dem günstigsten Tarif für Maria schließen}} | |||
{{Lösung versteckt|1= | {{Lösung versteckt|1= | ||
Kostengleichheit bedeutet, dass beide Tarife den gleichen Wert annehmen. Deshalb kannst du die Funktionen gleichsetzten und nach <math>x</math> auflösen. | |||
|2=Tipp zu der Kostengleichheit für Tarif A und B|3=Tipp zu der Kostengleichheit für Tarif A und B schließen}} | |||
{{Lösung versteckt|1= | {{Lösung versteckt|1= | ||
Falls du die Graphen alle in ein Koordinatensystem gezeichnet hast, kannst du einiges an diesen ablesen. Um die eben errechneten Punkte zu finden, überlege genau welche Punkte du eben eingesetzt hast oder was Kostengleichheit nochmal bedeutet. | |||
|2=Tipp zum Graphen ablesen|3=Tipp zum Graphen ablesen schließen}} | |||
{{Lösung versteckt|1= | {{Lösung versteckt|1= | ||
{{Lösung versteckt|1= | {{Lösung versteckt|1= | ||
'''Tarif A:'''<br/> | '''Tarif A:'''<br/> | ||
Zunächst multipliziert man die 1 ct/min mit 60 min, um diesen Wert in ct/h zu haben. <math> 60</math> min <math>\cdot 1</math> | |||
Nun wandelst du diesen Wert in €/h um. <math>60</math> ct/h<math>= 0,6</math> €/h. Wir kennen jetzt schon einen Teil der Funktionsgleichung.<math> f_1(x)= 0{,}6x+ a</math>, wobei a ein noch unbekannter Wert ist. <br/> | Zunächst multipliziert man die <math>1</math> ct/min mit <math>60</math> min, um diesen Wert in ct/h zu haben. <math> 60</math> min <math>\cdot 1</math> ct/min <math>= 60</math> ct/h <br/> | ||
Wir wissen, dass die ersten 5 Stunden frei sind,d.h hier muss nur die Grundgebühr von 5€ bezahlt werden. Der Punkt <math> A (5|5) </math> muss also auf dem Graphen unserer Funktionsgleichung liegen. | |||
Nun wandelst du diesen Wert in €/h um. <math>60</math> ct/h<math>= 0,6</math> €/h. Wir kennen jetzt schon einen Teil der Funktionsgleichung. <math> f_1(x)= 0{,}6x+ a</math>, wobei <math>a</math> ein noch unbekannter Wert ist. <br/> | |||
Wir wissen, dass die ersten <math>5</math> Stunden frei sind, d.h. hier muss nur die Grundgebühr von 5€ bezahlt werden. Der Punkt <math> A (5|5) </math> muss also auf dem Graphen unserer Funktionsgleichung liegen. Wir können also diesen Punkt nun in die Funktionsgleichung von <math> f_1 </math> einsetzten und nach <math>a</math> auflösen, um die ganze Funktionsgleichung zu erhalten. <br/> | |||
<math> f_1(5)=0{,}6\cdot5+a=5 \Longleftrightarrow 3+a=5 \Longleftrightarrow a=2 </math>. <br/>Die Funktionsgleichung für Tarif A ist also <math> f(x)= 0{,}6x+2 </math>. Beachtet jedoch, dass die Funktion bis <math> x= 5 </math> konstant <math>5</math> ist. <br/> <br/> | <math> f_1(5)=0{,}6\cdot5+a=5 \Longleftrightarrow 3+a=5 \Longleftrightarrow a=2 </math>. <br/>Die Funktionsgleichung für Tarif A ist also <math> f(x)= 0{,}6x+2 </math>. Beachtet jedoch, dass die Funktion bis <math> x= 5 </math> konstant <math>5</math> ist. <br/> <br/> | ||
'''Tarif B:''' <br/> | '''Tarif B:''' <br/> | ||
Zunächst multipliziert man die 0,8 ct/min mit 60 min, um diesen Wert in ct/h zu haben. <math> 60</math> min <math>\cdot 0,8</math> | |||
Nun wandelst du diesen Wert in €/h um. <math>48 </math>ct/h<math>= 0{,}48</math> €/h. Wir kennen jetzt schon einen Teil der Funktionsgleichung.<math> g_1(x)= 0{,}48x+ b</math>, wobei | Zunächst multipliziert man die <math>0,8</math> ct/min mit <math>60</math> min, um diesen Wert in ct/h zu haben. <math> 60</math> min <math>\cdot 0,8</math> ct/min<math>= 48</math> ct/h <br/> | ||
Wir wissen, dass die ersten 10 Stunden frei sind, d.h hier muss nur die Grundgebühr von 10€ bezahlt werden. Der Punkt <math> B (10|10) </math> muss also auf dem Graphen unserer Funktionsgleichung liegen. | |||
Nun wandelst du diesen Wert in €/h um. <math>48 </math>ct/h<math>= 0{,}48</math> €/h. Wir kennen jetzt schon einen Teil der Funktionsgleichung. <math> g_1(x)= 0{,}48x+ b</math>, wobei <math>b</math> ein noch unbekannter Wert ist. <br/> | |||
Wir wissen, dass die ersten <math>10</math> Stunden frei sind, d.h hier muss nur die Grundgebühr von 10€ bezahlt werden. Der Punkt <math> B (10|10) </math> muss also auf dem Graphen unserer Funktionsgleichung liegen. Wir können diesen Punkt also nun in die Funktionsgleichung von <math> g_1 </math> einsetzten und nach <math>b</math> auflösen, um die ganze Funktionsgleichung zu erhalten. <br/> | |||
<math> g_1(10)=0{,}48\cdot10+b=10 \Longleftrightarrow 4{,}8+b=10 \Longleftrightarrow b=5{,}2 </math>. <br/>Die Funktionsgleichung für Tarif B ist also <math> g(x)= 0{,}48x+5,2 </math>. Beachtet jedoch, dass die Funktion bis <math> x= 10 </math> konstant <math>10</math> ist. <br/> <br/> | <math> g_1(10)=0{,}48\cdot10+b=10 \Longleftrightarrow 4{,}8+b=10 \Longleftrightarrow b=5{,}2 </math>. <br/>Die Funktionsgleichung für Tarif B ist also <math> g(x)= 0{,}48x+5,2 </math>. Beachtet jedoch, dass die Funktion bis <math> x= 10 </math> konstant <math>10</math> ist. <br/> <br/> | ||
'''Tarif C:''' <br/> | '''Tarif C:''' <br/> | ||
Da dies eine Flatrate ist, wird ein Wert für jeden Monat festgesetzt und dieser Wert verändert sich auch nicht wenn mehr oder weniger Stunden gesurft wird. Deshalb ist die Funktion eine Konstante. | Da dies eine Flatrate ist, wird ein Wert für jeden Monat festgesetzt und dieser Wert verändert sich auch nicht wenn mehr oder weniger Stunden gesurft wird. Deshalb ist die Funktion eine Konstante. | ||
<math> h(x)= 40 </math> ist die Funktionsgleichung zum Tarif C.<br/> | <math> h(x)= 40 </math> ist die Funktionsgleichung zum Tarif C.<br/> | ||
|2=Lösung zu a)|3=Lösung zu a) schließen}} | |2=Lösung zu a)|3=Lösung zu a) schließen}} | ||
{{Lösung versteckt|1= | {{Lösung versteckt|1= | ||
[[Datei:Handytarife.png|700px|zentriert]] | [[Datei:Handytarife.png|700px|zentriert]] | ||
|2=Lösung zu b)|3=Lösung zu b) schließen}} | |2=Lösung zu b)|3=Lösung zu b) schließen}} | ||
{{Lösung versteckt|1= | |||
{{Lösung versteckt|1= | |||
{{Lösung versteckt|1= | {{Lösung versteckt|1= | ||
Zunächst bestimmen wir die Stundenzahl, welche Maria pro Monat fürs surfen nutzt. Maria surft <math>2</math> h/Tag. Da ein Monat <math>30</math> Tage hat, kann man, kann man <math>30</math> und <math>2</math> multiplizieren und erhält <math>60</math> h/Monat.<br/> | Zunächst bestimmen wir die Stundenzahl, welche Maria pro Monat fürs surfen nutzt. Maria surft <math>2</math> h/Tag. Da ein Monat <math>30</math> Tage hat, kann man, kann man <math>30</math> und <math>2</math> multiplizieren und erhält <math>60</math> h/Monat.<br/> | ||
Nun setzten wir die <math>60</math> h als <math>x</math>- Wert in die Funktionsgleichungen von <math>f(x)</math>, <math> g(x)</math> und <math>h(x)</math> ein und vergleichen das Ergebnis.<br/> | Nun setzten wir die <math>60</math> h als <math>x</math>- Wert in die Funktionsgleichungen von <math>f(x)</math>, <math> g(x)</math> und <math>h(x)</math> ein und vergleichen das Ergebnis.<br/> | ||
<math> f(60)= 0{,}6\cdot60+2 =36+2=38</math><br/> | <math> f(60)= 0{,}6\cdot60+2 =36+2=38</math><br/> | ||
<math> g(60)= 0{,}48\cdot60+5{,}2=28{,}8+5{,}2=34 </math><br/> | <math> g(60)= 0{,}48\cdot60+5{,}2=28{,}8+5{,}2=34 </math><br/> | ||
<math> h(60)= 40 </math><br/> | <math> h(60)= 40 </math><br/> | ||
Da Maria circa <math>60</math> h im Monat surft wäre der Tarif B mit <math>34</math> € am günstigsten für sie. | Da Maria circa <math>60</math> h im Monat surft wäre der Tarif B mit <math>34</math> € am günstigsten für sie. | ||
|2=Lösung zu | |||
|2=Lösung zu dem günstigsten Tarif für Maria|3=Lösung zu dem günstigsten Tarif für Maria schließen}} | |||
{{Lösung versteckt|1= | {{Lösung versteckt|1= | ||
Hier ist nach dem Schnittpunkt von <math>f(x)</math> und <math>g(x)</math> gefragt. Dazu setzt man die Gleichungen gleich und löst sie nach <math>x</math> auf. | Hier ist nach dem Schnittpunkt von <math>f(x)</math> und <math>g(x)</math> gefragt. Dazu setzt man die Gleichungen gleich und löst sie nach <math>x</math> auf. | ||
<math> f(x)=g(x)\Longleftrightarrow 0{,}6x+2=0{,}48x+5{,}2 \Longleftrightarrow 0{,}12x+2= 5{,}2 \Longleftrightarrow 0{,}12x= 3{,}2 \Longleftrightarrow x= \frac{80}{3} \approx 26{,}6666666 </math> <br/> | <math> f(x)=g(x)\Longleftrightarrow 0{,}6x+2=0{,}48x+5{,}2 \Longleftrightarrow 0{,}12x+2= 5{,}2 \Longleftrightarrow 0{,}12x= 3{,}2 \Longleftrightarrow x= \frac{80}{3} \approx 26{,}6666666 </math> <br/> | ||
In dem Punkt <math> P\left(\frac{80}{3}|18\right)</math> sind die Tarife A und B kostengleich. | In dem Punkt <math> P\left(\frac{80}{3}|18\right)</math> sind die Tarife A und B kostengleich. | ||
|2=Lösung | |||
|2=Lösung zur Kostengleichheit|3=Lösung zur Kostengleichheit}} | |||
{{Lösung versteckt|1= | {{Lösung versteckt|1= | ||
<math> f(x) | Der Punkt <math> E(26{,}67|18) </math> ist der Schnittpunkt der beiden Funktion <math>f(x)</math> und <math>g(x)</math>. Das heißt an diesem Punkt sind die Tarife für Maria gleich teuer. <br/> | ||
<math> g(x) | |||
Den günstigsten Tarif für Maria erkennt man, indem man die <math>60</math> h auf der x-Achse betrachtet und vergleicht welcher Graph am niedriegsten verläuft. Dies ist der Graph von Tarif B. | |||
|2=Lösung zu | |||
[[Datei:Handytarife Interpretation.png|700px|zentriert]] | |||
<br/> | |||
|2=Lösung zum Graphen ablesen|3=Lösung zum Graphen ablesen schließen}} | |||
|2=Lösung zu c)|3=Lösung zu c) schließen}}| | |||
2=Lösung|3=Lösung schließen}} | 2=Lösung|3=Lösung schließen}} | ||
| 3= Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe| grün| dunkel}}}} | | 3= Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe| grün| dunkel}}}} |
Version vom 15. Dezember 2020, 09:11 Uhr
Wiederholung: Was ist eine Funktion?
Lineare Funktionen erkennen
Graph einer linearen Funktion
Bestimmung von Funktionsgleichungen
Du hast in den letzten paar Aufgaben schon die Steigung der linearen Funktion benutzt, um ihren Graphen zu zeichnen, dem Graphen zu ihrer Funktion zu zuorden oder die Funktionsgleichung mithilfe der Steigung zu berechnen. Wie du konkret die Steigung aus zwei Punkten bestimmen kannst, kannst du dir im unteren Text durchlesen.
Graphen und ihre Punkte
Schnittpunkt mit der -Achse (Nullstelle)
Schnittpunkt von zwei linearen Funktionen
Anwendungsaufgaben
Löse die folgenden Aufgaben in deinem Heft.