Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Einfache Gleichungen: Unterschied zwischen den Versionen
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{{Box| Definitionen und Begriffe für ''Einfache Gleichungen''| | {{Box| Definitionen und Begriffe für ''Einfache Gleichungen''| | ||
{{Lösung versteckt|1={{Box| Variable |Variablen sind sogenannte '''Platzhalter''' in Gleichungen. Für diese Platzhalter können beliebige Zahlen | {{Lösung versteckt|1={{Box| Variable |Variablen sind sogenannte '''Platzhalter''' in Gleichungen. Für diese Platzhalter können beliebige Zahlen eingesetzt werden, für die die Gleichung korrekt bleibt. Die Platzhalter sind in den meisten Fällen Buchstaben, wie z. B. <math>x</math>, <math>b</math>, <math>a</math>, <math>h</math>, ... | Merksatz}}|2=Definition Variable|3=Definition verbergen}} | ||
{{Lösung versteckt|1={{Box| Term |Ein '''Term''' ist eine Kombination aus Variablen, Zahlen, mathematischen Verknüpfungen (<math>+</math>,<math>-</math>,...) und Klammern. | {{Lösung versteckt|1={{Box| Term |Ein '''Term''' ist eine Kombination aus Variablen, Zahlen, mathematischen Verknüpfungen (<math>+</math>,<math>-</math>,...) und Klammern. | ||
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Die Gleichung <math>5-x=3</math> lässt sich leicht lösen: <math>x=2</math>. Dann erhalten wir die Löungsmenge <math>\mathbb{L}=\{2\}</math>.| 3=Merksatz}}|2=Definition Lösungsmenge|3=Definition verbergen}} | Die Gleichung <math>5-x=3</math> lässt sich leicht lösen: <math>x=2</math>. Dann erhalten wir die Löungsmenge <math>\mathbb{L}=\{2\}</math>.| 3=Merksatz}}|2=Definition Lösungsmenge|3=Definition verbergen}} | ||
| Merksatz}} | | Merksatz}} | ||
===Alles in der Waage=== | ===Alles in der Waage=== | ||
{{Box | 1=Aufgabe 1: Waagschalenvergleich | | {{Box | 1=Aufgabe 1: Waagschalenvergleich | | ||
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'''a)''' Bringe die Waage ins Gleichgewicht. Wie gehst du vor? Wiederhole die Aufgabe für verschiedene Werte von <math>x</math>, indem du auf "neues <math>x</math>" klickst. | '''a)''' Bringe die Waage ins Gleichgewicht. Wie gehst du vor? Wiederhole die Aufgabe für verschiedene Werte von <math>x</math>, indem du auf "neues <math>x</math>" klickst. | ||
{{Lösung versteckt|1=Die Waage kann ins Gleichgewicht gebracht werden, indem auf der rechten Seite nach und nach Kugeln hinzugefügt oder entfernt werden bis die Waage ausgeglichen ist. Dann kannst du abzählen, wie viele Kugeln mehr auf der Seite ohne <math>x</math> sind. Diese Zahl ist das gesuchte <math>x</math>.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}} | {{Lösung versteckt|1=Die Waage kann ins Gleichgewicht gebracht werden, indem auf der rechten Seite nach und nach Kugeln hinzugefügt oder entfernt werden bis die Waage ausgeglichen ist. Dann kannst du abzählen, wie viele Kugeln mehr auf der Seite ohne <math>x</math> sind. Diese Zahl ist das gesuchte <math>x</math>.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}} | ||
'''b)''' Füge ein [zwei] weitere <math>x</math> zur linken Waagschale hinzu. Wie gehst du jetzt vor? | '''b)''' Die Waage steht immer noch im Gleichgewicht. Füge nun ein [zwei] weitere <math>x</math> zur linken Waagschale hinzu. Wie gehst du jetzt vor? | ||
{{Lösung versteckt|1=Fügst du ein [zwei] weiteres <math>x</math> zur linken Seite hinzu, so müssen doppelt [dreimal] so viele Kugeln zur rechten Seite hinzugefügt werden wie vorher. Wurden also bei einem <math>x</math> auf der linken Waagschale nur drei Kugeln hinzugefügt, sind es bei zwei <math>x</math> sechs Kugeln.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}} | {{Lösung versteckt|1=Fügst du ein [zwei] weiteres <math>x</math> zur linken Seite hinzu, so müssen doppelt [dreimal] so viele Kugeln zur rechten Seite hinzugefügt werden wie vorher. Wurden also bei einem <math>x</math> auf der linken Waagschale nur drei Kugeln hinzugefügt, sind es bei zwei <math>x</math> sechs Kugeln.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}} | ||
'''c)''' Bringe die Waage ins Gleichgewicht. Nimm dann auf beiden Seiten der Waage gleich viele Kugeln weg. Was kannst du beobachten? | '''c)''' Bringe die Waage ins Gleichgewicht. Nimm dann auf beiden Seiten der Waage gleich viele Kugeln weg. Was kannst du beobachten? | ||
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===Gleichungen lösen=== | ===Gleichungen lösen=== | ||
{{Box | 1=Aufgabe 2: Lösungsmenge bestimmen| | |||
2=Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung. Führe, wenn möglich, eine Probe durch. Denke daran: Eine Probe kann nur durchgeführt werden, wenn es mindestens eine Lösung für die Gleichung gibt. | |||
{{Lösung versteckt| 1={{Box | Beispiel 1: Richtig Gleichungen lösen | | {{Lösung versteckt| 1={{Box | Beispiel 1: Richtig Gleichungen lösen | | ||
2=Um eine Gleichung zu lösen, wird sie zunächst nach der Variable aufgelöst. Diese Variable soll am Ende isoliert, d.h. alleine, auf einer Seite der Gleichung stehen. Wir schauen uns ein Beispiel an: | 2=Um eine Gleichung zu lösen, wird sie zunächst nach der Variable aufgelöst. Diese Variable soll am Ende isoliert, d.h. alleine, auf einer Seite der Gleichung stehen. Wir schauen uns ein Beispiel an: | ||
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\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
Wir erhalten also die Lösungsmenge <math>\mathbb{L}=\{15\}</math>. | Wir erhalten also die Lösungsmenge <math>\mathbb{L}=\{15\}</math>.}}| 2=Beispiel anzeigen| 3=Beispiel verbergen|Farbe={{Farbe|orange}}}} | ||
| 2=Beispiel anzeigen| 3=Beispiel verbergen}} | {{Lösung versteckt|1=Wenn du nicht mehr weißt, was die Lösungsmenge ist, schau bei den Definitionen nach.|2=Tipp|3=Tipp 1 ausblenden}} | ||
'''a)''' Löse die Gleichung anschaulich mittels Skizzen von Waagen in deinem Heft: <math>x+3=5</math> | |||
{{Lösung versteckt|1= Überlege dir, wie die Waage im Gleichgewicht aussieht. |2=Tipp|3=Tipp 1 ausblenden}} | |||
{{Lösung versteckt|1= Beide Seiten der Gleichung sind gleichwertig. Also ist die Waage im Gleichgewicht. | |||
[[Datei:Waage1.jpg|mini|Waage im Gleichgewicht|center]] | |||
{ | Die Waage bleibt im Gleichgewicht wenn gleich viele Kugeln auf beiden Seiten ergänzt oder entfernt werden. Wir entfernen jeweils drei Kugeln. | ||
2= | [[Datei:Waage2.jpg|mini|Waage nach Durchführung einer Umformung|center]] | ||
{{ | <math>\begin{align} & & x+3 &=5 & &\mid -3\\ | ||
''' | \Leftrightarrow & & x &=2 | ||
\end{align}</math> | |||
Probe: | |||
<math>\begin{align} & & 2+3 &=5 \\ | |||
\Leftrightarrow & & 5 &=5 | |||
\end{align}</math> | |||
Wir erhalten die Lösungsmenge <math>\mathbb{L}=\{2\}</math>. | |||
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}} | |||
'''b)''' <math>a-64=5</math> | |||
{{Lösung versteckt|1= Versuche die Gleichung so umzustellen, dass auf der einen Seite des Gleichheitszeichens nur noch das <math>a</math> steht. |2=Tipp|3=Tipp 1 ausblenden}} | |||
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & a-64 &=5 & &\mid +64\\ | {{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & a-64 &=5 & &\mid +64\\ | ||
\Leftrightarrow & & a &=69 \\ | \Leftrightarrow & & a &=69 \\ | ||
Zeile 95: | Zeile 115: | ||
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}} | |2=Lösung|3=Lösung ausblenden}} | ||
''' | '''c)''' <math>3x+7=16</math> | ||
{{Lösung versteckt|1= Versuche zunächst die Gleichung so umzustellen, dass auf der einen Seite nur noch das <math>x</math> mit dem Faktor steht. |2=Tipp|3=Tipp 1 ausblenden}} | |||
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & 3x+7&=16 & &\mid -7\\ | {{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & 3x+7&=16 & &\mid -7\\ | ||
\Leftrightarrow & & 3x &=9 & &\mid :3\\ | \Leftrightarrow & & 3x &=9 & &\mid :3\\ | ||
Zeile 109: | Zeile 130: | ||
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}} | |2=Lösung|3=Lösung ausblenden}} | ||
''' | '''d)''' <math>d\cdot (d-5)=0</math> | ||
{{Lösung versteckt|1=Überlege dir, was für zwei Faktoren gilt, deren Produkt <math>0</math> ist.|2=Tipp |3=Tipp ausblenden}} | {{Lösung versteckt|1=Überlege dir, was für zwei Faktoren gilt, deren Produkt <math>0</math> ist.|2=Tipp |3=Tipp ausblenden}} | ||
{{Lösung versteckt|1=Ein Produkt ist dann <math>0</math>, wenn einer der Faktoren <math>0</math> ist. Deshalb kann man die Aufgabe so lösen: | {{Lösung versteckt|1=Ein Produkt ist dann <math>0</math>, wenn einer der Faktoren <math>0</math> ist. Deshalb kann man die Aufgabe so lösen: | ||
Zeile 131: | Zeile 152: | ||
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}} | |2=Lösung|3=Lösung ausblenden}} | ||
''' | '''e)''' <math>4(x+1)-4x-5=1</math> | ||
{{Lösung versteckt|1=Löse zuerst die Klammer auf.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}} | {{Lösung versteckt|1=Löse zuerst die Klammer auf.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}} | ||
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & 4(x+1)-4x-5 &=1\\ | {{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & 4(x+1)-4x-5 &=1\\ | ||
Zeile 142: | Zeile 163: | ||
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}} | |2=Lösung|3=Lösung ausblenden}} | ||
''' | '''f)''' <math>\frac{1}{2x}=0,5</math> | ||
{{Lösung versteckt|1=Versuche die Gleichung so umzustellen, dass du Brüche kürzen kannst.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}} | {{Lösung versteckt|1=Versuche die Gleichung so umzustellen, dass du Brüche kürzen kannst.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}} | ||
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & \frac{1}{2x} &=0,5 & & \mid \cdot 2x\\ | {{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & \frac{1}{2x} &=0,5 & & \mid \cdot 2x\\ | ||
Zeile 160: | Zeile 181: | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}} | |2=Lösung|3=Lösung ausblenden}} | ||
| Farbe={{Farbe|orange}} }} | |||
'''g)''' <math>\frac{3}{z+1}=-\frac{5}{2z-1}</math> | |||
{{Lösung versteckt|1=Versuche die Variablen mit Hilfe der Multiplikation aus dem Nenner zu bekommen.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}} | |||
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & \frac{3}{z+1} &= - \frac{5}{2z-1} & & \mid \cdot (z+1)\\ | |||
\Leftrightarrow & & \frac{3}{z+1} \cdot (z+1) &= - \frac{5 \cdot (z+1)}{2z-1} & & \mid \text{kürzen}\\ | |||
\Leftrightarrow & & 3 &= - \frac{5 \cdot (z+1)}{2z-1} & & \mid \cdot (2z-1)\\ | |||
\Leftrightarrow & & 3 \cdot (2z-1) &= - \frac{5 \cdot (z+1)}{2z-1} \cdot (2z-1) & & \mid \text{kürzen}\\ | |||
\Leftrightarrow & & 3 \cdot (2z-1) &= - 5 \cdot (z+1) & &\\ | |||
\Leftrightarrow & & 6z-3 &= -5z-5 & & \mid +5z\\ | |||
\Leftrightarrow & & 11z-3 &= -5 & & \mid +3\\ | |||
\Leftrightarrow & & 11z &= -2 & & \mid :11\\ | |||
\Leftrightarrow & & z &= - \frac{2}{11}\\ | |||
& & \mathbb{L}=\{-\frac{2}{11}\} | |||
\end{align}</math> | |||
Probe: | |||
<math>\begin{align} & & \frac{3}{- \frac{2}{11} +1} &= - \frac{5}{2 \cdot (- \frac{2}{11}) -1} & &\\ | |||
\Leftrightarrow & & \frac{3}{\frac{9}{11}} &= - \frac{5}{- \frac{4}{11} -1} & &\\ | |||
\Leftrightarrow & & \frac{3}{\frac{9}{11}} &= - \frac{5}{- \frac{15}{11}} & & \mid \text{mit dem Kehrwert mal nehmen}\\ | |||
\Leftrightarrow & & 3 \cdot \frac{11}{9} &= - 5 \cdot - \frac{11}{15} & &\\ | |||
\Leftrightarrow & & \frac{33}{9} &= \frac{55}{15} & & \mid \text{kürzen}\\ | |||
\Leftrightarrow & & \frac{11}{3} &= \frac{11}{3} | |||
\end{align}</math> | |||
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}} | |||
| 3=Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }} | |||
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===Rechnen mit Gleichungen im Sachzusammenhang=== | ===Rechnen mit Gleichungen im Sachzusammenhang=== | ||
{{Box | Aufgabe 5: | {{Box | Aufgabe 5: Zwei-Felder-Ball-Feld abstecken | | ||
[[Datei: | [[Datei:269A89E6-8A5A-4969-B953-21A412026976.jpg|200px|Zwei-Felder-Ball-Feld|rechts]]Nick und Tom sollen für ein Sportfest ein Zwei-Felder-Ball-Feld abstecken. Dafür sollen sie ein <math>66</math> m langes Seil und sechs Pfosten verwenden. Für das Umwickeln aller Pfosten werden insgesamt drei Meter Seil benötigt. Das Spielfeld soll aus zwei gleichgroßen quadratischen Flächen bestehen. Wie lang ist eine Seite von einer der quadratischen Flächen, wenn man davon ausgeht, dass Nick und Tom das gesamte Seil benutzen? | ||
{{Lösung versteckt|1=Um die Gleichung aufzustellen, benötigst du den Umfang des Spielfeldes.|2=Tipp 1|3=Tipp 1 ausblenden}} | {{Lösung versteckt|1=Um die Gleichung aufzustellen, benötigst du den Umfang des Spielfeldes.|2=Tipp 1|3=Tipp 1 ausblenden}} | ||
Zeile 265: | Zeile 311: | ||
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }} | | Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }} | ||
{{Box | Aufgabe 6: Getränkelager füllen | | |||
{{Box | Aufgabe 6: Getränkelager füllen | | |||
In einem Lager eines Restaurants sollen möglichst viele <math>35</math> cm hohe Getränkekisten übereinander gestapelt werden. Die Raumhöhe beträgt <math>2,20</math> m. | In einem Lager eines Restaurants sollen möglichst viele <math>35</math> cm hohe Getränkekisten übereinander gestapelt werden. Die Raumhöhe beträgt <math>2,20</math> m. | ||
'''a)''' Wie viele Getränkekisten können übereinander gestapelt werden? Stelle eine Gleichung auf und berechne. | '''a)''' Wie viele Getränkekisten können übereinander gestapelt werden? Stelle eine Gleichung auf und berechne. | ||
'''b)''' Eine Getränkekiste ist <math>40</math> cm lang und <math>40</math> cm breit. Das Lager hat eine Lagerfläche von <math>10</math> m <math>\cdot</math> <math>10</math> m. Wie viele Getränkekisten finden insgesamt im Lager Platz? | '''b)''' Eine Getränkekiste ist <math>40</math> cm lang und <math>40</math> cm breit. Das Lager hat eine Lagerfläche von <math>10</math> m <math>\cdot</math> <math>10</math> m. Wie viele Getränkekisten finden insgesamt im Lager Platz? | ||
{{Lösung versteckt|1=Beachte die Umrechnung der Einheiten.|2=allgemeiner Tipp|3=Tipp 1 ausblenden}} | {{Lösung versteckt|1=Beachte die Umrechnung der Einheiten.|2=allgemeiner Tipp|3=Tipp 1 ausblenden}} | ||
{{Lösung versteckt|1=Berechne zuerst, wie viele Getränkekisten auf dem Boden der Lagerfläche Platz finden.|2=Tipp zu b)|3=Tipp 2 ausblenden}} | {{Lösung versteckt|1=Berechne zuerst, wie viele Getränkekisten auf dem Boden der Lagerfläche Platz finden.|2=Tipp zu b)|3=Tipp 2 ausblenden}} | ||
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{{Lösung versteckt|1='''b)''' Zuerst legen wir den Boden der Lagerfläche mit Getränkekisten aus. Dazu stellen wir folgende Gleichung auf: | {{Lösung versteckt|1='''b)''' Zuerst legen wir den Boden der Lagerfläche mit Getränkekisten aus. Dazu stellen wir folgende Gleichung auf: | ||
<math>\begin{align} & & 10\cdot 10 &=0,4\cdot 0,4\cdot x & &\\ | <math>\begin{align} & & 10\cdot 10 &=0,4\cdot 0,4\cdot x & &\\ | ||
\Leftrightarrow & & 100 &=0,16\cdot x & &\mid :0,16\\ | \Leftrightarrow & & 100 &=0,16\cdot x & &\mid :0,16\\ | ||
\Leftrightarrow & & 625 &=x | \Leftrightarrow & & 625 &=x | ||
\end{align} </math> | \end{align} </math> | ||
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<math>\begin{align} & & 10\cdot 10&=0,4\cdot 0,4\cdot 625 & &\\ | <math>\begin{align} & & 10\cdot 10&=0,4\cdot 0,4\cdot 625 & &\\ | ||
\Leftrightarrow & & 100 &=0,16\cdot 625 & &\\ | \Leftrightarrow & & 100 &=0,16\cdot 625 & &\\ | ||
\Leftrightarrow & & 100 &=100 | \Leftrightarrow & & 100 &=100 | ||
\end{align} </math> | \end{align} </math> | ||
In dieser Gleichung gibt der Teil <math>10\cdot 10</math> die Grundfläche der Lagerfläche in m² an. Der Teil <math>0,4\cdot 0,4</math> berechnet die Grundfläche der Getränkekisten in m². Die Variable <math>x</math> bezeichnet die Anzahl der Getränkekisten. | In dieser Gleichung gibt der Teil <math>10\cdot 10</math> die Grundfläche der Lagerfläche in m² an. Der Teil <math>0,4\cdot 0,4</math> berechnet die Grundfläche der Getränkekisten in m². Die Variable <math>x</math> bezeichnet die Anzahl der Getränkekisten. | ||
Wir wissen nun also, dass <math>625</math> Getränkekisten auf dem Boden der Lagerfläche Platz finden. | Wir wissen nun also, dass <math>625</math> Getränkekisten auf dem Boden der Lagerfläche Platz finden. | ||
Aus Aufgabenteil '''a)''' wissen wir bereits, dass <math>6</math> Getränkekisten übereinander gestapelt werden können. Also bleibt zu berechnen: <math>625\cdot 6=3750</math>. | Aus Aufgabenteil '''a)''' wissen wir bereits, dass <math>6</math> Getränkekisten übereinander gestapelt werden können. Also bleibt zu berechnen: <math>625\cdot 6=3750</math>. | ||
Insgesamt finden demnach <math>3750</math> Getränkekisten auf der Lagerfläche Platz. | |||
|2=Lösung zu b)|3=Lösung ausblenden}} | |||
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }} |
Aktuelle Version vom 10. Dezember 2020, 21:58 Uhr
Die wichtigsten Definitionen und Begriffe in diesem Kapitel
Die wichtigsten Begriffe, die du zum Bearbeiten der Aufgaben benötigst, werden hier in Merkkästen erklärt. Sollten dir diese Begriffe schon vertraut sein, kannst du diesen Teil überspringen und mit den Aufgaben starten. Falls du während der Bearbeitung einer Aufgabe unsicher bist, kannst du immer in diesen Abschnitt zurückkehren und dir die Merkkästen erneut durchlesen.
Alles in der Waage
Gleichungen lösen
Zahlenrätsel
Rechnen mit Gleichungen im Sachzusammenhang