Maria möchte im Internet surfen und begutachtet die Tarife A, B und C.
Tarif A: Grundgebühr 5 € / Monat die ersten 5 Stunden frei, dann 1 Ct./min.
Tarif B: Grundgebühr 10 € / Monat die ersten 10 Stunden frei, dann 0,8 Ct./min.
Tarif C: Flat–Rate 40 € / Monat.
Maria surft im Durchschnitt zwei Stunden am Tag. (30 Tage /Monat).
a) Stellen Sie für jeden Tarif die Funktionsgleichung auf.
b) Zeichnen Sie die Funktionsgraphen in ein geeignetes Koordinatensystem.
c) Erklären Sie, was alles aus den Graphen ablesbar ist (Interpretation).
d) Berechnen Sie den günstigsten Tarif für Maria.
Versuche zunächst die Einheiten zu normen, also entscheide dich entweder für min. oder h., bzw. ct. oder € .
Es ist üblich eher in € / h zu rechnen. Den ct/ min Wert könntest du dann mit 60 min multiplizieren um auf ct/h zu kommen.
Wie könnte dieser Wert dann in € / h umgewandelt werden?
Nun kannst du eine vorübergehende Funktionsgleichung mit f(x)= dem Wert € /h x+ a (einen noch unbekannten Wert) aufstellen.
Dann überlege dir, was die Freistunden bedeuten?!
Wenn du 5 Stunden frei hast heißt dies, dass du in den 5 Stunden nur die Grundgebühr bezahlen musst.
Welchen Punkt erhalten wir dadurch?
Versuche dies in die Funktionsgleichung mit einzubauen indem du den Punkt einsetzt und die Gleichung auflöst.
Um die Funktionsgleichung in ein Koordinatensystem zu übertragen, überlege dir zunächst welche Werte deine x- Achse und, welche Werte deine y-Achse angibst.
Probiere einen geeigneten Maßstab zu wählen indem du vorher einige Werte (auch höhere) in die Funktionsgleichung eingibst.
Falls du mit dem Zeichnen von Graphen Schwierigkeiten hast, wiederhole das entsprechende Kapitel in diesem Lernpfad. Da werden dir zwei Möglichkeiten einen Graphen zu zeichnen vorgestellt.
Bedenke bei den Graphen von f und h jedoch, dass diese in einem bestimmten Bereich konstant sind.
Falls du die Graphen alle in ein Koordinatensystem gezeichnet hast, kannst du einiges an diesen ablesen.
Zum Beispiel welcher Tarif wann am billigsten ist oder wann die Tarife gleich sind. Schaue dir dazu die Schnittpunkte genauer an und probiere diese zu interpretieren.
Um den günstigen Tarif für Maria zu berechnen, müssen wir zunächst aus der Aufgabe herauslesen wie lange Maria im Monat surft.
Sie surft 2h am Tag. Diesen Wert muss man jetzt noch auf den Monat umrechnen. Wie viele Stunden surft Maria in 30 Tagen(einem Monat)?
Nun kannst du den Stunden Wert in die verschiedenen Funktionsgleichungen für x einsetzten, da die x- Achse die Stundenzahl angibt. Wenn du alle Werte der verschiedenen Funtionsgleichungen hast vergleiche diese.
Diesen Punkt kannst du sowohl im Koordinatensystem ablesen (allerdings ist dies sehr ungenau), als auch rechnerisch bestimmen. Ein Schnittpunkt zweier Graphen ist ein Punkt, wo beide den gleichen Wert annehmen. Deshalb kannst du die Funktionen gleichsetzten und nach x auflösen.
Dazu kannst du entweder in das Koordinatensystem schauen, um abzulesen wann die Graphen der anderen Funktionen größer sind als die von Tarif C. Oder du findest dies rechnerisch heraus indem du die Schnittpunkte der Funktionen von f(x) und g(x) mit h(x) bestimmst.
Tarif A=
Zunächst multipliziert man die 1ct/min mit 60 min, um diesen Wert in ct/h zu haben.
Nun wandelst du diesen Wert in €/h um. . Wir kennen jetzt schon einen Teil der Funktionsgleichung., wobei a ein noch unbekannter Wert ist.
Wir wissen, dass die ersten 5 Stunden frei sind,d.h hier muss nur die Grundgebühr von 5€ bezahlt werden. Der Punkt muss also auf dem Graphen unserer Funktionsgleichung liegen. D.h. wir können diesen Punkt nun in die Funktionsgleichung von einsetzten und nach a auflösen, um die ganze Funktionsgleichung zu erhalten.
.
Die Funktionsgleichung für Tarif A ist also . Beachtet jedoch, dass die Funktion bis konstant 5 ist.
Tarif B=
Zunächst multipliziert man die 0,8ct/min mit 60 min, um diesen Wert in ct/h zu haben.
Nun wandelst du diesen Wert in €/h um. . Wir kennen jetzt schon einen Teil der Funktionsgleichung., wobei a ein noch unbekannter Wert ist.
Wir wissen, dass die ersten 10 Stunden frei sind,d.h hier muss nur die Grundgebühr von 10€ bezahlt werden. Der Punkt muss also auf dem Graphen unserer Funktionsgleichung liegen. D.h. wir können diesen Punkt nun in die Funktionsgleichung von einsetzten und nach b auflösen, um die ganze Funktionsgleichung zu erhalten.
.
Die Funktionsgleichung für Tarif B ist also . Beachtet jedoch, dass die Funktion bis konstant 10 ist.
Tarif C=
Da dies eine Flatrate ist, wird ein Wert für jeden Monat festgesetzt und dieser Wert verändert sich auch nicht wenn mehr oder weniger Stunden gesurft wird. Deshalb ist die Funktion eine Konstante.
ist die Funktionsgleichung zum Tarif C.
In dieser Grafik entspricht
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und
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Der Schnittpunkt sagt aus, dass der Tarif A selbst wenn man gar keine Zeit im Internet surft man dennoch 5 € bezahlen muss.
Der Punkt ist uns bereits aus dem Teil a bekannt. Bis zu diesem Punkt läuft der Graph konstant, da die ersten 5 Stunden frei sind, danach verläuft die Funktion linear.
Der Punkt ist beim Tarif B der Schnittpunkt mit der y-Achse. Auch hier gilt also, dass selbst wenn Maria gar nicht im Internet surft sie dennoch 10 € bezahlen muss.
Den Punkt kennen wir schon aus dem Teil a dieser Aufgabe. Bis zu diesem Punkt läuft die Funktion des Tarifs B konstant, da die ersten 10 Stunden frei sind.
Der Punkt ist der Schnittpunkt der beiden Funktion f(x) und g(x). Das heißt an diesem Punkt sind die Tarife für Maria gleich teuer.
Der Punkt ist der Schnittpunkt der Funktionen f(x) und h(x). An diesem Punkt sind die beiden Tarife A und C also gleich teuer für Maria.
Der Punkt
ist der Schnittpunkt der Funktionen g(x) und h(x). Die beiden Tarife sind in diesem Punkt gleich teuer.
Zunächst bestimmen wir die Stundenzahl, welche Maria pro Monat fürs surfen nutzt. Maria surft 2h/Tag. Da ein Monat 30 Tage hat, kann man, kann man 30 und 2 multiplizieren und erhält 60 h/Monat.
Nun setzten wir die 60 h als x- Wert in die Funktionsgleichungen von f(x),g(x) und h(x) ein und vergleichen das Ergebnis.
Da Maria circa 60h im Monat surft wäre der Tarif B mit 34€ am günstigsten für sie.
Hier ist nach dem Schnittpunkt von f(x) und g(x) gefragt. Dazu setzt man die Gleichungen gleich und löst sie nach x auf.
In den Punkt x= 26,66666666 sind die Tarife A und B kostengleich.
Um dies herauszufinden brauchen wir die Schnittpunkte der Funktionsgleichungen f(x),g(x) mit h(x), da f und g danach größer als h sind und somit h (also der Tarif C) dann der günstigste wäre.
Man kann also sehen, dass der Tarif A bereits bei circa 64 h teurer wird als Tarif C. Der Tarif B ist bei 72,5h gleich teuer wie Tarif C. Also ab circa 73 h Internet Nutzung ist der Tarif C der günstigste.