Benutzer:Lara / Optimierungsprobleme - Funktionsscharen: Unterschied zwischen den Versionen
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Für welchen Wert von <math>t</math> liegt der Tiefpunkt der Funktionenschar am höchsten? | Für welchen Wert von <math>t</math> liegt der Tiefpunkt der Funktionenschar am höchsten? | ||
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{{Lösung versteckt|1 = Die zu optimierende Größe ist der Funktionswert am Tiefpunkt der Funktion. | |||
Berechne also zunächst den Tiefpunkt der Funktion in Abhängigkeit von t: | |||
Ableiten der Funktion ergibt: | |||
<math>f'(x)=2x-4</math> | |||
<math>f''(x)= 2</math> | |||
Für ein Minimum muss gelten: <math>f'(x)=0</math> und <math>f''(x)>0</math>. | |||
<math> f'(x)=0</math> | |||
<math><=> 2x-4=0 </math> | |||
<math><=> 2x=4</math> | |||
<math><=> x=2</math> | |||
<math>f''(2) = 2 > 0 =></math> Minimum | |||
Setze nun <math>x=2</math> in <math>f(x)</math> ein, um den Funktionswert am Minimum zu bestimmen: | |||
<math>f(2)=2^2-4*2-t^2-2t</math> | |||
<math><=> f(2)=4-8-t^2-2t</math> | |||
<math><=> f(2)=-4-t^2-2t</math> | |||
Bezeichnen wir den Funktionswert am Tiefpunkt mit einer neuen Gleichung <math>g</math>, so ergibt sich also: | |||
<math> g(t)=-4-t^2-2t</math>. | |||
Gesucht ist das <math>t</math>, für das der Funktionswert maximal ist, also das Maximum der Funktion <math>g(t)</math>. | |||
Bilde zunächst wieder die Ableitungen <math>g'(t)</math> und <math>g''(t)</math>: | |||
<math>g'(t)=-2t-2</math> | |||
<math>g''(t)=-2</math> | |||
Bei einem Maximum muss gelten: <math>g'(t)=0</math> und <math>g''(t)<0</math>. | |||
<math>g'(t)=0</math> | |||
<math><=>-2t-2=0</math> | |||
<math><=>-2t=2</math> | |||
<math><=>t=-1</math> | |||
<math>g''(-1)=-2<0 =></math> Maximum | |||
Der Funktionswert des Tiefpunktes ist also für <math>t=-1</math> maximal. | |||
|2 = Lösung|3 = Lösung}} | |||
Lösung: | Lösung: | ||
Version vom 17. April 2020, 11:29 Uhr
Einführung: Optimierungsprobleme
Optimierungsprobleme & Funktionenscharen
Die zu optimierende Größe ist der Funktionswert am Tiefpunkt der Funktion.
Berechne also zunächst den Tiefpunkt der Funktion in Abhängigkeit von t:
Ableiten der Funktion ergibt:
Für ein Minimum muss gelten: und .
Minimum
Setze nun in ein, um den Funktionswert am Minimum zu bestimmen:
Bezeichnen wir den Funktionswert am Tiefpunkt mit einer neuen Gleichung , so ergibt sich also:
.
Gesucht ist das , für das der Funktionswert maximal ist, also das Maximum der Funktion .
Bilde zunächst wieder die Ableitungen und :
Bei einem Maximum muss gelten: und .
Maximum
Der Funktionswert des Tiefpunktes ist also für maximal.Lösung:
Die zu optimierende Größe ist der Funktionswert am Tiefpunkt der Funktion.
Berechne also zunächst den Tiefpunkt der Funktion in Abhängigkeit von t:
Ableiten der Funktion ergibt:
Für ein Minimum muss gelten: und .
Minimum
Setze nun in ein, um den Funktionswert am Minimum zu bestimmen:
Bezeichnen wir den Funktionswert am Tiefpunkt mit einer neuen Gleichung , so ergibt sich also:
.
Gesucht ist das , für das der Funktionswert maximal ist, also das Maximum der Funktion .
Bilde zunächst wieder die Ableitungen und :
Bei einem Maximum muss gelten: und .
Maximum
Der Funktionswert des Tiefpunktes ist also für maximal.