Digitale Werkzeuge in der Schule/Wie Funktionen funktionieren 2.0/Quadratische Funktionen: Unterschied zwischen den Versionen
Aus ZUM Projektwiki
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[[Datei:Fosbury.gif|mini]] | [[Datei:Fosbury.gif|mini]] | ||
In der Leichtathletik nennt man die momentan praktizierte Technik beim Hochsprung den sogenannten Fosbury-Flop. Der Springer schwingt sich hierbei rückwärts über die Latte. Dabei beschreibt die Flugbahn des Körperschwerpunktes eine Parabel. Wenn man aufrecht steht liegt der Körperschwerpunkt bei etwa 60% der Körpergröße. Bei der letzten Leichtathletik-Weltmeisterschaft in Doha diesen Jahres konnten bei einem Sprung eines männlich Sportlers (ca. 1,92cm groß) folgende Werte seiner Flugbahn aufgezeichnet werden: <math>D=(0|1 | In der Leichtathletik nennt man die momentan praktizierte Technik beim Hochsprung den sogenannten Fosbury-Flop. Der Springer schwingt sich hierbei rückwärts über die Latte. Dabei beschreibt die Flugbahn des Körperschwerpunktes eine Parabel. Wenn man aufrecht steht liegt der Körperschwerpunkt bei etwa 60% der Körpergröße. Bei der letzten Leichtathletik-Weltmeisterschaft in Doha diesen Jahres konnten bei einem Sprung eines männlich Sportlers (ca. 1,92cm groß) folgende Werte seiner Flugbahn aufgezeichnet werden: <math>D=(0|1,15), \, E=(0,2|1,5), \, F=(1,2|1,75)</math>. Dabei beschreibt der x-Wert die Entfernung des Springers vom Absprungsort und der y-Wert die Höhe des Springers (jeweils in Meter). | ||
'''a)''' Bestimme die dazugehörige Flugparabel <math>g(x)=ax^2+bx+c</math>. | '''a)''' Bestimme die dazugehörige Flugparabel <math>g(x)=ax^2+bx+c</math>. | ||
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<math> | <math> | ||
\begin{array}{rlll} | \begin{array}{rlll} | ||
&&I. &a\cdot0^2&+&b\cdot0&+&c &=& 1 | &&I. &a\cdot0^2&+&b\cdot0&+&c &=& 1,15 \\ | ||
&& II. &a\cdot0 | && II. &a\cdot0,2^2&+&b\cdot0,2&+&c &=& 1,5 \\ | ||
&&III. &a\cdot1 | &&III. &a\cdot1,2^2&+&b\cdot1,2&+&c &=& 1,75 \\ | ||
&& \\ | && \\ | ||
&&I. &&&&&c &=& 1 | &&I. &&&&&c &=& 1,15 \\ | ||
&&II. &0 | &&II. &0,04a&+&0,2b&+&1,15 &=& 1,5 \\ | ||
&&III. &1 | &&III. &1,44a&+&1,2b&+&1,15 &=& 1,75 \\ | ||
\end{array} | \end{array} | ||
</math> | </math> | ||
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<math> | <math> | ||
\begin{array}{rlll} | \begin{array}{rlll} | ||
&& 0 | && 0,04a+0,2b+1,15 &=& 1,5 &\mid -1,15 \\ | ||
&\Leftrightarrow& 0 | &\Leftrightarrow& 0,04a+0,2b &=& 0,35 &\mid -0,2b \\ | ||
&\Leftrightarrow& 0 | &\Leftrightarrow& 0,04a &=& 0,35-0,2b &\mid :0,04 \\ | ||
&\Leftrightarrow& a &=& \frac{0 | &\Leftrightarrow& a &=& \frac{0,35}{0,04}-\frac{0,2b}{0,04} \\ | ||
&\Leftrightarrow& a &=& 8 | &\Leftrightarrow& a &=& 8,75-5b | ||
\end{array} | \end{array} | ||
</math> | </math> | ||
3) <math>a=8 | 3) <math>a=8,75-5b</math> in die dritte Gleichung einsetzen und nach <math>b</math> auflösen | ||
<br /><br /> | <br /><br /> | ||
<math> | <math> | ||
\begin{array}{rlll} | \begin{array}{rlll} | ||
&& 1 | && 1,44(8,75-5b)+1,2b+1,15 &=& 1,75 &\mid \, \text{ausmultiplizieren} \, \text{und} \, \text{zusammenfassen} \\ | ||
&\Leftrightarrow& -6b+13 | &\Leftrightarrow& -6b+13,75 &=& 1,75 &\mid \, -13,75 \\ | ||
&\Leftrightarrow& -6b &=& -12 &\mid \, :(-6) \\ | &\Leftrightarrow& -6b &=& -12 &\mid \, :(-6) \\ | ||
&\Leftrightarrow& b &=& 2 \\ | &\Leftrightarrow& b &=& 2 \\ | ||
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4) <math>b=2</math> in die Gleichung <math>a=8 | 4) <math>b=2</math> in die Gleichung <math>a=8,75-5b</math> einsetzen | ||
<br /><br /> | <br /><br /> | ||
<math> | <math> | ||
\begin{array}{rlll} | \begin{array}{rlll} | ||
&\Rightarrow& a=-1 | &\Rightarrow& a=-1,25 \\ | ||
\end{array} | \end{array} | ||
</math> | </math> | ||
Zeile 375: | Zeile 375: | ||
<math> | <math> | ||
\begin{array}{rlll} | \begin{array}{rlll} | ||
&\Rightarrow& g(x)=-1 | &\Rightarrow& g(x)=-1,25x^2+2x+1,15 \\ | ||
\end{array} | \end{array} | ||
</math> | </math> | ||
Zeile 384: | Zeile 384: | ||
'''b)''' Wie hoch springt der Sportler? Und in welcher Entfernung vom Absprungspunkt erreicht er seinen höchsten Punkt? | '''b)''' Wie hoch springt der Sportler? Und in welcher Entfernung vom Absprungspunkt erreicht er seinen höchsten Punkt? | ||
{{Lösung versteckt| 1=Du möchtest den Punkt berechnen, an dem der Körperschwerpunkt des Sportlers am höchsten ist. Die angegebene Funktion beschreibt eine nach unten geöffnete Parabel. Überlege dir, wo sich der höchste Punkt einer solchen Parabel befindet und wie man ihn berechnet. {{Lösung versteckt| 1=Der Körperschwerpunkt des Sportlers erreicht seinen höchsten Punkt am Scheitelpunkt der Funktion. Um den Scheitelpunkt einer quadratischen Funktion ablesen zu können, musst du diese in die Scheitelpunktform bringen. Du hast Probleme, die Funktion in die Scheitelpunktform umzuwandeln? Aufgabe | {{Lösung versteckt| 1=Du möchtest den Punkt berechnen, an dem der Körperschwerpunkt des Sportlers am höchsten ist. Die angegebene Funktion beschreibt eine nach unten geöffnete Parabel. Überlege dir, wo sich der höchste Punkt einer solchen Parabel befindet und wie man ihn berechnet. {{Lösung versteckt| 1=Der Körperschwerpunkt des Sportlers erreicht seinen höchsten Punkt am Scheitelpunkt der Funktion. Um den Scheitelpunkt einer quadratischen Funktion ablesen zu können, musst du diese in die Scheitelpunktform bringen. Du hast Probleme, die Funktion in die Scheitelpunktform umzuwandeln? Aufgabe 4 zeigt dir genau, wie es funktioniert. | 2=Tipp 2 | 3=Schließen}} | 2=Tipp 1 | 3=Schließen}} | ||
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<math> | <math> | ||
\begin{array}{rlll} | \begin{array}{rlll} | ||
g(x) &=& -1 | g(x) &=& -1,25x^2+2x+1,15 &\mid -1,25 \, \text{ausklammern} \\ | ||
&=& -1 | &=& -1,25(x^2-1,6x-0,92) &\mid \, \text{quadratische} \, \text{Ergänzung} \\ | ||
&=& -1 | &=& -1,25(x^2-1,6x+0,64-0,64-0,92) &\mid \, \text{binomische} \, \text{Formel} \, \text{anwenden} \, \text{und} \, \text{zusammenfassen} \\ | ||
&=& -1 | &=& -1,25[(x-0,8)^2-1,56] &\mid \, \text{ausmultiplizieren} \\ | ||
&=& -1 | &=& -1,25(x-0,8)^2+1,95 \\ | ||
\end{array} | \end{array} | ||
</math> | </math> | ||
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Der Scheitelpunkt der Funktion ist <math>S=(0 | Der Scheitelpunkt der Funktion ist <math>S=(0,8|1,95)</math>. | ||
3) Interpretieren im Anwendungskontext | 3) Interpretieren im Anwendungskontext | ||
Nach <math>0 | Nach <math>0,8m</math> erreicht der Sportler seinen höchsten Punkt. Er befindet sich dann auf einer Höhe von <math>1,95m</math>. | ||
|2=Lösung | 3=Schließen}} | |2=Lösung | 3=Schließen}} | ||
Zeile 415: | Zeile 415: | ||
'''c)''' Hinter der Latte befindet sich eine <math>15cm</math> hohe Matte. In welcher Entfernung zum Absprungsort landet der Sportler auf der Matte? | '''c)''' Hinter der Latte befindet sich eine <math>15cm</math> hohe Matte. In welcher Entfernung zum Absprungsort landet der Sportler auf der Matte? | ||
{{Lösung versteckt| 1=Überlege dir an welcher Stelle du die <math>15cm</math> in deine Funktionsgleichung einsetzen musst. Und welche Variable musst du jetzt noch berechnen? {{Lösung versteckt| 1=Die <math>15cm</math> beschreiben einen Funktionswert, also <math>g(x)=0 | {{Lösung versteckt| 1=Überlege dir an welcher Stelle du die <math>15cm</math> in deine Funktionsgleichung einsetzen musst. Und welche Variable musst du jetzt noch berechnen? {{Lösung versteckt| 1=Die <math>15cm</math> beschreiben einen Funktionswert, also <math>g(x)=0,15</math>. Um herauszufinden, an welchem Punkt der Sportler auf der Matte landet, musst du die Gleichung nun nach <math>x</math> auflösen. | 2=Tipp 2 | 3=Schließen}}| 2=Tipp 1 | 3=Schließen}} | ||
{{Lösung versteckt| 1= 1) Quadratische Funktion mit <math>y=0 | {{Lösung versteckt| 1= 1) Quadratische Funktion mit <math>y=0,15</math> gleichsetzen und nach <math>x</math> auflösen | ||
<br /><br /> | <br /><br /> | ||
<math> | <math> | ||
\begin{array}{rlll} | \begin{array}{rlll} | ||
&& g(x) &=& 0 | && g(x) &=& 0,15 \\ | ||
&\Leftrightarrow& -1 | &\Leftrightarrow& -1,25(x-0,8)^2+1,95 &=& 0,15 &\mid \, -1,95 \\ | ||
&\Leftrightarrow& -1 | &\Leftrightarrow& -1,25(x-0,8)^2 &=& -1,8 &\mid \, :(-1,25) \\ | ||
&\Leftrightarrow& (x-0 | &\Leftrightarrow& (x-0,8)^2 &=& 1,44 &\mid \, \pm\sqrt{} \\ | ||
\end{array} | \end{array} | ||
</math> | </math> | ||
Zeile 432: | Zeile 432: | ||
<math> | <math> | ||
\begin{array}{rlll} | \begin{array}{rlll} | ||
&\Rightarrow&(x_1-0 | &\Rightarrow&(x_1-0,8)=1,2& \textrm{sowie}& (x_2-0,8)=-1,2\\ | ||
\end{array} | \end{array} | ||
</math> | </math> | ||
<br /><br /> | <br /><br /> | ||
Also folgt <math>x_1=2</math> und <math>x_2=-0 | Also folgt <math>x_1=2</math> und <math>x_2=-0,4</math>. | ||
<br /><br /> | <br /><br /> | ||
Zeile 446: | Zeile 446: | ||
'''d)''' Bei einem optimalen Sprung liegt der Scheitelpunkt genau über der Latte. Der Abstand zur Latte muss mindestens <math>5cm</math> betragen, damit diese nicht gerissen wird. Wir gehen davon aus, dass unser Sportler einen optimalen Sprung getätigt hat, d.h. die Latte war <math>0 | '''d)''' Bei einem optimalen Sprung liegt der Scheitelpunkt genau über der Latte. Der Abstand zur Latte muss mindestens <math>5cm</math> betragen, damit diese nicht gerissen wird. Wir gehen davon aus, dass unser Sportler einen optimalen Sprung getätigt hat, d.h. die Latte war <math>0,8m</math> vom Absprungsort entfernt und hatte eine Höhe von <math>1,88m</math>. Hätte der Sportler es auch noch über die Latte geschafft, ohne sie zu reißen, wenn er <math>0,2m</math> früher abgesprungen wäre? | ||
{{Lösung versteckt| 1=Überlege dir, was die <math>0 | {{Lösung versteckt| 1=Überlege dir, was die <math>0,2m</math> für den von dir aufgestellten Funktionsterm bedeuten. Musst du jetzt nochmal einen neuen Funktionsterm aufstellen oder kannst du deinen alten vielleicht geschickt anpassen? {{Lösung versteckt| 1=Du willst den Funktionsgraphen deines Funktionsterms entlang der x-Achse um <math>0,2</math> nach links verschieben. Was musst du hierfür tun? | 2=Tipp 2 | 3=Schließen}} |2=Tipp 1 | 3=Schließen}} | ||
{{Lösung versteckt| 1= 1) Verschiebung der quadratischen Funktion an der x-Achse um <math>0 | {{Lösung versteckt| 1= 1) Verschiebung der quadratischen Funktion an der x-Achse um <math>0,2</math> nach links | ||
<br /><br /> | <br /><br /> | ||
<math> | <math> | ||
\begin{array}{rlll} | \begin{array}{rlll} | ||
&\Rightarrow& g(x)=-1 | &\Rightarrow& g(x)=-1,25(x+0,2)^2+2(x+0,2)+1,15 \\ | ||
\end{array} | \end{array} | ||
</math> | </math> | ||
2) Für <math>x</math> den Wert <math>0 | 2) Für <math>x</math> den Wert <math>0,8</math> einsetzen | ||
<br /><br /> | <br /><br /> | ||
<math> | <math> | ||
\begin{array}{rlll} | \begin{array}{rlll} | ||
g(0.8) &=& -1 | g(0.8) &=& -1,25(0,8+0,2)^2+2(0,8+0,2)+1,15 &\mid \, \text{ausmultiplizieren} \, \text{und} \, \text{zusammenfassen} \\ | ||
&=& 1 | &=& 1,9 \\ | ||
\end{array} | \end{array} | ||
</math> | </math> | ||
Zeile 472: | Zeile 472: | ||
Wenn der Sportler <math>0 | Wenn der Sportler <math>0,2m</math> früher abgesprungen wäre, hätte er bloß einen Abstand von <math>2cm</math> zur Latte gehabt und hätte sie damit gerissen. | ||
|2=Lösung | 3=Schließen}} | |2=Lösung | 3=Schließen}} | ||
Zeile 479: | Zeile 479: | ||
'''e)''' Zeichne beide Flugbahnen des Sportlers in dein Heft. | '''e)''' Zeichne beide Flugbahnen des Sportlers in dein Heft. | ||
{{Lösung versteckt| 1=Kennst du nicht bereits Punkte, die auf dem Graphen der ursprünglichen Funktion liegen? Überlege dir, welche Punkte du bereits berechnet hast und welche du aus den beiden Darstellungsformen der Funktion (Normalform und Scheitelpunktform) ablesen kannst. {{Lösung versteckt| 1=Zeichne zunächst den Scheitelpunkt <math>S=(d|e)</math>, den y-Achsenabschnitt <math>Y=(0|c)</math> und den Schnittpunkt mit der Matte <math>N=(x_1|0 | {{Lösung versteckt| 1=Kennst du nicht bereits Punkte, die auf dem Graphen der ursprünglichen Funktion liegen? Überlege dir, welche Punkte du bereits berechnet hast und welche du aus den beiden Darstellungsformen der Funktion (Normalform und Scheitelpunktform) ablesen kannst. {{Lösung versteckt| 1=Zeichne zunächst den Scheitelpunkt <math>S=(d|e)</math>, den y-Achsenabschnitt <math>Y=(0|c)</math> und den Schnittpunkt mit der Matte <math>N=(x_1|0,15)</math> der ersten Funktion ein. | ||
Lege danach eine Wertetabelle an und berechne weitere Punkte des Funktionsgraphen. {{Lösung versteckt| 1=Überlege dir was sich bei der zweiten Flugbahn verändert hat und was das für die zwei Funktionsgraphen bedeutet. |2=Tipp 3 | 3=Schließen}} | 2=Tipp 2 | 3=Schließen}} | 2=Tipp 1 | 3=Schließen}} | Lege danach eine Wertetabelle an und berechne weitere Punkte des Funktionsgraphen. {{Lösung versteckt| 1=Überlege dir was sich bei der zweiten Flugbahn verändert hat und was das für die zwei Funktionsgraphen bedeutet. |2=Tipp 3 | 3=Schließen}} | 2=Tipp 2 | 3=Schließen}} | 2=Tipp 1 | 3=Schließen}} | ||
Zeile 490: | Zeile 490: | ||
Beachte, dass die Flugbahn erst mit dem Absprung des Sportlers beginnt und mit dem Auftreffen des Sportlers auf der Matte endet. | Beachte, dass die Flugbahn erst mit dem Absprung des Sportlers beginnt und mit dem Auftreffen des Sportlers auf der Matte endet. | ||
Auf der x-Achse trägst du die Sprungweite des Sportlers in Metern ab, auf der y-Achse die Höhe des Sportlers in Metern. | Auf der x-Achse trägst du die Sprungweite des Sportlers in Metern ab, auf der y-Achse die Höhe des Sportlers in Metern. | ||
Der zweite Funktionsgraph ist lediglich um 0 | Der zweite Funktionsgraph ist lediglich um 0,2 nach links verschoben. Ansonsten stimmt er komplett mit dem ersten Funktionsgraphen überein. | ||
| 2=Lösung | 3=Schließen}} | | 2=Lösung | 3=Schließen}} | ||
Version vom 14. November 2019, 16:09 Uhr
Scheitelpunktform
Umwandlung Scheitelpunktform und Normalform
Bisher hast du dich intensiv mit der Scheitelpunktform beschäftigt. Quadratische Funktionen können jedoch auch in der Normalform geschrieben werden. In diesem Abschnitt kannst du dein bisheriges Wissen über die Umwandlung von einer Form in die andere Form wiederholen, auffrischen und üben.
Nullstellen
Anwendungsaufgaben