Benutzer:Johanna WWU-5/Anwendung

Anwendungsaufgaben

8. Frösche sind wahre Sprungkünstler

Das Geheimnis der bemerkenswerten Sprungkraft von Fröschen liegt in den Sehnen ihrer Hinterbeine, die zunächst durch Muskelkraft gespannt werden und den Frosch dann explosiv vorwärts katapultieren können. Frösche können damit ein Vielfaches ihrer Körpergröße weit springen. So kann der Grasfrosch beispielsweise bis zu 1 Meter weit springen. In den Rieselfeldern in Münster wurde vor ein paar Tagen der Sprung eines solchen Grasfrosches beobachtet. Er ist von einem 18cm hohen Stein am Ufer eines Teichs ins Wasser gesprungen. Die Flugbahn des Frosches lässt sich näherungsweise durch folgende quadratische Funktion beschreiben:$f(x)=-\frac{1}{50}x^2+\frac{8}{5}x+18,$ wobei $x$ die Entfernung des Frosches vom Ufer des Teichs und $f(x)$ die Höhe des Frosches (jeweils in cm) beschreibt.

a) Wie hoch springt der Frosch? Und nach wie vielen Zentimetern erreicht der Frosch seinen höchsten Punkt?

Du möchtest den Punkt berechnen, an dem der Frosch am höchsten ist. Die angegebene Funktion beschreibt eine nach unten geöffnete Parabel. Überlege dir, wo sich der höchste Punkt einer solchen Parabel befindet und wie man ihn berechnet.

Der Frosch erreicht seinen höchsten Punkt am Scheitelpunkt der Funktion. Um den Scheitelpunkt einer quadratischen Funktion ablesen zu können, musst du diese in Scheitelpunktform bringen. Du hast Probleme, die Funktion in Scheitelpunktform umzuwandeln? Aufgabe 4 zeigt dir genau, wie es funktioniert.

1) Umwandlung in Scheitelpunktform

$\begin{array}{rlll} f(x) &=& -\frac{1}{50}x^2+\frac{8}{5}x+18 &\mid -\frac{1}{50} \, \text{ausklammern} \\ &=& -\frac{1}{50}(x^2-80x-900) &\mid \, \text{quadratische} \, \text{Ergänzung} \\ &=& -\frac{1}{50}(x^2-80x+1600-1600-900) &\mid \, \text{binomische} \, \text{Formel} \, \text{anwenden} \, \text{und} \, \text{zusammenfassen} \\ &=& -\frac{1}{50}[(x-40)^2-2500] &\mid \, \text{ausmultiplizieren} \\ &=& -\frac{1}{50}(x-40)^2+50 \end{array}$

2) Scheitelpunkt ablesen

Der Scheitelpunkt der Funktion ist $S=(40|50)$.

3) Interpretieren im Anwendungskontext

Nach $40cm$ erreicht der Frosch seinen höchsten Punkt. Er befindet sich dann $50cm$ über der Wasseroberfläche. Da der Frosch vor seinem Sprung auf einem $18cm$ hohen Stein saß, ist er folglich $32cm$ hoch gesprungen.

b) In welcher Entfernung vom Ufer des Teichs taucht der Frosch ins Wasser ein?

Überlege dir auf welcher Höhe der Frosch ins Wasser taucht.

Bei diesem Aufgabenteil werden die Nullstellen der Funktion gesucht. An einer dieser Nullstellen taucht der Frosch nämlich ins Wasser ein. Überlege dir, welche Nullstelle im Anwendungskontext Sinn ergibt. Falls du Probleme hast, die Nullstellen einer quadratischen Funktion zu bestimmen, sieh dir Aufgabe 6 an.

1) Nullstellen berechnen durch quadratische Ergänzung

$\begin{array}{rlll} && f(x) &&=&& 0 \\ &\Leftrightarrow& -\frac{1}{50}\cdot(x-40)^2+50 &&=&& 0 &\mid \cdot(-50)\\ &\Leftrightarrow& (x-40)^2-2500 &&=&& 0 &\mid +2500 \\ &\Leftrightarrow& (x-40)^2 &&=&& 2500 &\mid \pm\sqrt{} \\ \end{array}$

$\begin{array}{rlll} &\Rightarrow&(x_1-40)=50& \textrm{sowie}& (x_2-40)=-50\\ \end{array}$

Also folgt $x_1=90$ und $x_2=-10$.

2) Nullstellen berechnen mit der p-q-Formel

$\begin{array}{rlll} && f(x) &&=&& 0 \\ &\Leftrightarrow& -\frac{1}{50}x^2+\frac{8}{5}x+18 &&=&& 0 &\mid \cdot(-50)\\ &\Leftrightarrow& x^2-80x-900 &&=&& 0 &\mid +2500 \\ \end{array}$

$\begin{array}{rlll} &\Rightarrow&x_1=40+\sqrt{40^2+900}& \textrm{sowie}& x_2=40-\sqrt{2500}\\ &\Rightarrow&x_1=90& \textrm{sowie}& x_2=-10\\ \end{array}$

Also folgt $x_1=90$ und $x_2=-10$.

Damit hat die Funktion also zwei Nullstellen. Da wir jedoch davon ausgehen, dass der Frosch nach vorne in den Teich springt, beträgt die Sprungweite $90cm$.

c) Zeichne die Flugbahn des Frosches in dein Heft.

Kennst du nicht bereits Punkte, die auf dem Graphen der Funktion liegen? Überlege dir, welche Punkte du bereits berechnet hast und welche du aus den beiden Darstellungsformen der Funktion (Normalform und Scheitelpunktform) ablesen kannst.

Zeichne zunächst den Scheitelpunkt $S=(d|e)$, den y-Achsenabschnitt $Y=(0|c)$ und die Nullstelle $N=(x_1|0)$ ein.

Lege danach eine Wertetabelle an und berechne weitere Punkte des Funktionsgraphen.

Beachte, dass die Flugbahn erst mit dem Absprung des Frosches beginnt und mit dem Auftreffen des Frosches auf der Wasseroberfläche endet.

Auf der x-Achse trägst du die Sprungweite des Frosches in Zentimetern ab, auf der y-Achse die Höhe des Frosches in Zentimetern.

9. Hochsprung

In der Leichtathletik nennt man die momentan praktizierte Technik beim Hochsprung den sogenannten Fosbury-Flop. Der Springer schwingt sich hierbei rückwärts über die Latte. Dabei beschreibt die Flugbahn des Körperschwerpunktes eine Parabel. Wenn man aufrecht steht liegt der Körperschwerpunkt bei etwa 60% der Körpergröße. Bei der letzten Leichtathletik-Weltmeisterschaft in Doha diesen Jahres konnten bei einem Sprung eines männlich Sportlers (ca. 1,92cm groß) folgende Werte seiner Flugbahn aufgezeichnet werden: $D=(0|1.15), \, E=(0.2|1.5), \, F=(1.2|1.75)$. Dabei beschreibt der x-Wert die Entfernung des Springers vom Absprungsort und der y-Wert die Höhe des Springers (jeweils in Meter).

a) Bestimme die dazugehörige Flugparabel $g(x)=ax^2+bx+c$.

Überlege dir, was du benötigst, um eine quadratische Funktion aufstellen zu können.

Stelle mithilfe der angegebenen Punkte drei quadratische Gleichungen ($ax^2+bx+c=d$) auf, indem du die Punkte in die allgemeine Form einsetzt! Welche von den Variablen $a, b, c$ kannst du bereits ablesen? Und wie könntest du die anderen beiden Variablen berechnen?

1) Lineares Gleichungssystem aufstellen

$\begin{array}{rlll} &&I. &a\cdot0^2&+&b\cdot0&+&c &=& 1.15 \\ && II. &a\cdot0.2^2&+&b\cdot0.2&+&c &=& 1.5 \\ &&III. &a\cdot1.2^2&+&b\cdot1.2&+&c &=& 1.75 \\ && \\ &&I. &&&&&c &=& 1.15 \\ &&II. &0.04a&+&0.2b&+&1.15 &=& 1.5 \\ &&III. &1.44a&+&1.2b&+&1.15 &=& 1.75 \\ \end{array}$

2) Zweite Gleichung nach $a$ auflösen

$\begin{array}{rlll} && 0.04a+0.2b+1.15 &=& 1.5 &\mid -1.15 \\ &\Leftrightarrow& 0.04a+0.2b &=& 0.35 &\mid -0.2b \\ &\Leftrightarrow& 0.04a &=& 0.35-0.2b &\mid :0.04 \\ &\Leftrightarrow& a &=& \frac{0.35}{0.04}-\frac{0.2b}{0.04} \\ &\Leftrightarrow& a &=& 8.75-5b \end{array}$

3) $a=8.75-5b$ in die dritte Gleichung einsetzen und nach $b$ auflösen

$\begin{array}{rlll} && 1.44(8.75-5b)+1.2b+1.15 &=& 1.75 &\mid \, \text{ausmultiplizieren} \, \text{und} \, \text{zusammenfassen} \\ &\Leftrightarrow& -6b+13.75 &=& 1.75 &\mid \, -13.75 \\ &\Leftrightarrow& -6b &=& -12 &\mid \, :(-6) \\ &\Leftrightarrow& b &=& 2 \\ \end{array}$

4) $b=2$ in die Gleichung $a=8.75-5b$ einsetzen

$\begin{array}{rlll} &\Rightarrow& a=-1.25 \\ \end{array}$

5) Quadratische Funktion $g(x)=ax^2+bx+c$ aufstellen

$\begin{array}{rlll} &\Rightarrow& g(x)=-1.25x^2+2x+1.15 \\ \end{array}$

b) Wie hoch springt der Sportler? Und in welcher Entfernung vom Absprungspunkt erreicht er seinen höchsten Punkt?

Du möchtest den Punkt berechnen, an dem der Körperschwerpunkt des Sportlers am höchsten ist. Die angegebene Funktion beschreibt eine nach unten geöffnete Parabel. Überlege dir, wo sich der höchste Punkt einer solchen Parabel befindet und wie man ihn berechnet.

Der Körperschwerpunkt des Sportlers erreicht seinen höchsten Punkt am Scheitelpunkt der Funktion. Um den Scheitelpunkt einer quadratischen Funktion ablesen zu können, musst du diese in Scheitelpunktform bringen. Du hast Probleme, die Funktion in Scheitelpunktform umzuwandeln? Aufgabe … zeigt dir genau, wie es funktioniert.

1) Umwandlung in Scheitelpunktform

$\begin{array}{rlll} g(x) &=& -1.25x^2+2x+1.15 &\mid -1.25 \, \text{ausklammern} \\ &=& -1.25(x^2-1.6x-0.92) &\mid \, \text{quadratische} \, \text{Ergänzung} \\ &=& -1.25(x^2-1.6x+0.64-0.64-0.92) &\mid \, \text{binomische} \, \text{Formel} \, \text{anwenden} \, \text{und} \, \text{zusammenfassen} \\ &=& -1.25[(x-0.8)^2-1.56] &\mid \, \text{ausmultiplizieren} \\ &=& -1.25(x-0.8)^2+1.95 \\ \end{array}$

2) Scheitelpunkt ablesen

Der Scheitelpunkt der Funktion ist $S=(0.8|1.95)$.

3) Interpretieren im Anwendungskontext

Nach $0.8m$ erreicht der Sportler seinen höchsten Punkt. Er befindet sich dann auf einer Höhe von $1.95m$.

c) Hinter der Latte befindet sich eine $15cm$ hohe Matte. In welcher Entfernung zum Absprungsort landet der Sportler auf der Matte?

Überlege dir an welcher Stelle du die $15cm$ in deine Funktionsgleichung einsetzen musst. Und welche Variable musst du jetzt noch berechnen?

Die $15cm$ beschreiben einen Funktionswert, also $g(x)=0.15$. Um herauszufinden, an welchem Punkt der Sportler auf der Matte landet, musst du die Gleichung nun nach $x$ auflösen.

1) Quadratische Funktion mit $y=0.15$ gleichsetzen und nach $x$ auflösen

$\begin{array}{rlll} && g(x) &=& 0.15 \\ &\Leftrightarrow& -1.25(x-0.8)^2+1.95 &=& 0.15 &\mid \, -1.95 \\ &\Leftrightarrow& -1.25(x-0.8)^2 &=& -1.8 &\mid \, :(-1.25) \\ &\Leftrightarrow& (x-0.8)^2 &=& 1.44 &\mid \, \pm\sqrt{} \\ \end{array}$

$\begin{array}{rlll} &\Rightarrow&(x_1-0.8)=1.2& \textrm{sowie}& (x_2-0.8)=-1.2\\ \end{array}$

Also folgt $x_1=2$ und $x_2=-0.4$.

2) Interpretieren im Anwendungskontext

Da wir davon ausgehen können, dass der Sportler nach vorne springt, ergibt nur $x_1=2$ Sinn. Der Sportler landet also in einer Entfernung von $2m$ zum Absprungspunkt auf der Matte.

d) Bei einem optimalen Sprung liegt der Scheitelpunkt genau über der Latte. Der Abstand zur Latte muss mindestens $5cm$ betragen, damit diese nicht gerissen wird. Wir gehen davon aus, dass unser Sportler einen optimalen Sprung getätigt hat, d.h. die Latte war $0.8m$ vom Absprungsort entfernt und hatte eine Höhe von $1.88m$. Hätte der Sportler es auch noch über die Latte geschafft, ohne sie zu reißen, wenn er $0.2m$ früher abgesprungen wäre?

Überlege dir, was die $0.2m$ für den von dir aufgestellten Funktionsterm bedeuten. Musst du jetzt nochmal einen neuen Funktionsterm aufstellen oder kannst du deinen alten vielleicht geschickt anpassen?

Du willst den Funktionsgraphen deines Funktionsterms entlang der x-Achse um $0.2$ nach links verschieben. Was musst du hierfür tun?

1) Verschiebung der quadratischen Funktion an der x-Achse um $0.2$ nach links

$\begin{array}{rlll} &\Rightarrow& g(x)=-1.25(x+0.2)^2+2(x+0.2)+1.15 \\ \end{array}$

2) Für $x$ den Wert $0.8$ einsetzen

$\begin{array}{rlll} g(0.8) &=& -1.25(0.8+0.2)^2+2(0.8+0.2)+1.15 &\mid \, \text{ausmultiplizieren} \, \text{und} \, \text{zusammenfassen} \\ &=& 1.9 \\ \end{array}$

3) Interpretieren im Anwendungskontext

Wenn der Sportler $0.2m$ früher abgesprungen wäre, hätte er bloß einen Abstand von $2cm$ zur Latte gehabt und hätte sie damit gerissen.

e) Zeichne beide Flugbahnen des Sportlers in dein Heft.

Kennst du nicht bereits Punkte, die auf dem Graphen der ursprünglichen Funktion liegen? Überlege dir, welche Punkte du bereits berechnet hast und welche du aus den beiden Darstellungsformen der Funktion (Normalform und Scheitelpunktform) ablesen kannst.

Zeichne zunächst den Scheitelpunkt $S=(d|e)$, den y-Achsenabschnitt $Y=(0|c)$ und den Schnittpunkt mit der Matte $N=(x_1|0.15)$ der ersten Funktion ein.

Lege danach eine Wertetabelle an und berechne weitere Punkte des Funktionsgraphen.

Überlege dir was sich bei der zweiten Flugbahn verändert hat und was das für die zwei Funktionsgraphen bedeutet.

Beachte, dass die Flugbahn erst mit dem Absprung des Sportlers beginnt und mit dem Auftreffen des Sportlers auf der Matte endet. Auf der x-Achse trägst du die Sprungweite des Sportlers in Metern ab, auf der y-Achse die Höhe des Sportlers in Metern.

Der zweite Funktionsgraph ist lediglich um 0.2 nach links verschoben. Ansonsten stimmt er komplett mit dem ersten Funktionsgraphen überein.