Benutzer:Johanna WWU-5/Anwendung

Anwendungsaufgaben

{{Box|10. Frösche sind wahre Sprungkünstler|Das Geheimnis der bemerkenswerten Sprungkraft von Fröschen liegt in den Sehnen ihrer Hinterbeine, die zunächst durch Muskelkraft gespannt werden und den Frosch dann explosiv vorwärts katapultieren können. Frösche können damit ein Vielfaches ihrer Körpergröße weit springen. So kann der Grasfrosch beispielsweise bis zu 1 Meter weit springen. In den Rieselfeldern in Münster wurde vor ein paar Tagen der Sprung eines solchen Grasfrosches beobachtet. Er ist von einem 18cm hohen Stein am Ufer eines Teichs ins Wasser gesprungen. Die Flugbahn des Frosches lässt sich näherungsweise durch folgende quadratische Funktion beschreiben: $f(x)=-\frac{1}{50}x^2+\frac{8}{5}x+18,$ wobei $x$ die Entfernung des Frosches vom Ufer des Teichs und $f(x)$ die Höhe des Frosches (jeweils in cm) beschreibt.

a) Wie hoch springt der Frosch? Und nach wie vielen Zentimetern erreicht der Frosch seinen höchsten Punkt?

Du möchtest den Punkt berechnen, an dem der Forsch am höchsten ist. Die angegebene Funktion beschreibt eine nach unten geöffnete Parabel. Überlege dir, wo sich der höchste Punkt einer solchen Parabel befindet und wie man ihn berechnet.

Der Frosch erreicht seinen höchsten Punkt am Scheitelpunkt der Funktion. Um den Scheitelpunkt einer quadratischen Funktion ablesen zu können, musst du diese in Scheitelpunktform bringen. Du hast Probleme, die Funktion in Scheitelpunktform umzuwandeln? Aufgabe … zeigt dir genau, wie es funktioniert.

Du musst zunächst die Nullstellen der Funktion $g(x)$ bestimmen. An einer dieser Nullstellen trifft der Stein auf die Wasseroberfläche.

$\begin{array}{rlll} & f(x) &=& -\frac{1}{50}x^2+\frac{8}{5}x+18 &\mid -\frac{1}{50} \textrm{ausklammern} \\ &&=& -\frac{1}{50}(x^2-80x-900) &\mid \textrm{quadratische Ergänzung} \\ &&=& -\frac{1}{50}(x^2-80x+1600-1600-900) &\mid \textrm{binomische Formel anwenden und zusammenfassen} \\ &&=& -\frac{1}{50}[(x-40)^2-2500] &\mid ausmultiplizieren \\ &&=& -\frac{1}{50}(x-40)^2+50 & \end{array}$

$\begin{array}{rlll} &\Rightarrow&(x_1-3) = -5& \textrm{sowie}& (x_2-3)=5\\ \end{array}$

Also folgt $x_1=-2$ und $x_2=8$. Damit haben wir zwei Nullstellen.

Da wir jedoch davon ausgehen, dass Jonas den Stein nach vorne in den See wirft, beträgt die Wurfweite 8 m.

1) Umwandlung in Scheitelpunktform

$\begin{array}{rllll} & f(x) &=& -\frac{1}{50}x^2+\frac{8}{5}x+18 &\mid -\frac{1}{50} \textrm{ausklammern} \\ &&=& -\frac{1}{50}(x^2-80x-900) &\mid \textrm{quadratische Ergänzung} \\ &&=& -\frac{1}{50}(x^2-80x+1600-1600-900) &\mid \textrm{binomische Formel anwenden und zusammenfassen} \\ &&=& -\frac{1}{50}[(x-40)^2-2500] &\mid ausmultiplizieren \\ &&=& -\frac{1}{50}(x-40)^2+50 & \end{array}$

Arbeitsmethode}}