Benutzer:Stoll-Gym10Erfurt/Mathematik9/Lineare Gleichungssysteme: Unterschied zwischen den Versionen

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Version vom 31. März 2025, 16:05 Uhr

Allgemeines

Einführung
Zwei lineare Gleichungen mit zwei Variablen bilden ein lineares Gleichungssystem. Ein Zahlenpaar, das beide lineare Gleichungen erfüllt, wird Lösung des linearen Gleichungssystems genannt.
Anzahl der Lösungen

Es gibt drei Fälle für die Lösungen linearer Gleichungssysteme:

  1. Das Gleichungssystem hat keine Lösung.
  2. Das Gleichungssystem hat eine Lösung.
  3. Das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen.

Verfahren zur Lösung linearer Gleichungssysteme

Einführende Bemerkungen

Es gibt verschiedene Möglichkeiten, um lineare Gleichungssysteme zu lösen.

  1. Das grafische Verfahren
  2. Das Einsetzungsverfahren
  3. Das Additionsverfahren
  4. Das Gleichsetzungsverfahren
Ein Video als Überblick

Du lernst, wie man an einem Linearen Gleichungssystem sowohl graphisch als auch rechnerisch erkennt, ob es keine Lösung, genau eine Lösung oder unendlich viele Lösungen gibt.

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Grafisches Verfahren

Erklärung
Du kannst die Lösungen eines linearen Gleichungssystems zeichnerisch finden, indem du beide Gleichungen als lineare Funktionen auffasst und die zugehörigen Grafen in ein Koordinatensystem zeichnest. Der Schnittpunkt der beiden Geraden liefert die Lösung.
Video-Mathematrick
Susanne erklärt das grafische Lösen für alle drei Lösungsmöglichkeiten.
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Eine Zuordnungsübung


Das Einsetzungsverfahren

Begriffserklärung
Der Name Einsetzungsverfahren kommt daher, dass man eine Gleichung nach einer Variablen umstellt und diese dann in die zweite Gleichung einsetzt.
Lösungsschritte beim Einsetzungsverfahren

Schritt 1: Wähle eine Gleichung aus, die du nach einer Variablen umformst.
Schritt 2: Setze den Wert der Variable in die andere Gleichung ein.
Schritt 3: Berechne die noch enthaltende Variable.
Schritt 4: Setze die in Schritt 3 berechnete Variable in die Gleichung aus Schritt 1 ein und berechne so die übrig gebliebene Variable.

Probe: Setze die ermittelten Werte in die Gleichungen ein und überprüfe, ob die Gleichungen erfüllt sind.
Video-Mathematrick

Susanne erklärt das Einsetzungsverfahren.

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Video - Einsetzungsverfahren

Eine Schülerin erklärt das Einsetzungsverfahren.

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Aufgabe

Löse folgendes Gleichungssystem mit dem Einsetzungsverfahren.


Ist eine der beiden Gleichungen bereits nach einer Variablen umgestellt.
Setze in der zweiten Gleichung für y die rechte Seite der 1. Gleichung ein.
Lösung des Gleichungssystems:

Das Additionsverfahren

Lösungsschritte beim Additionsverfahren

Schritt 1: Überlege dir, welche Variable du entfernen möchtest.
Schritt 2: Multipliziere die Gleichungen mit Zahlen, sodass sich eine Variable gegenseitig aufhebt.
Schritt 3: Addiere beide Gleichungen zusammen. Du erhältst damit eine neue Gleichung, die die gewählte Variable nicht mehr enthält.
Schritt 4: Berechne die andere Variablen.

Probe: Setze die ermittelten Werte in die Gleichungen ein und überprüfe, ob die Gleichungen erfüllt sind.
Bemerkung
In beiden nachfolgenden Videos sind kleine Fehler enthalten, die aber nicht entscheidend für das Verständnis bzw. für die Lösung sind. Sie wurden von zwei Schülerinnen zu Hause erstellt.
Video - Additionsverfahren

Eine Schülerin erklärt das Additionsverfahren.

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Video - Additionsverfahren

Eine weitere Schülerin erklärt das Additionsverfahren mit ihren Worten.

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Aufgabe

Löse folgendes Gleichungssystem mit dem Additionsverfahren.


Schau Dir die Gleichungen genau an. Fällt eventuell eine der beiden Variablen sofort heraus
Erweitere die zweite Gleichung mit -1.
Lösung des Gleichungssystems:

Das Gleichsetzungsverfahren

Begriffserklärung
Der Name Gleichsetzungsverfahren kommt daher, dass man auf jeweils einer Seite der beiden Gleichungen den gleichen Term hat bzw. nach einer Variablen oder einem Term umstellt und somit die beiden Gleichungen gleichsetzen kann.
Lösungsschritte beim Gleichsetzungsverfahren

Schritt 1: Forme beide Gleichungen nach derselben Variable um (z. B. x).
Schritt 2: Setze die Terme gleich.
Schritt 3: Löse die Gleichung nach der übrigen Variable (z. B. y) auf.
Schritt 4: Setze nun das Ergebnis aus Schritt 3 in eine der Gleichungen aus Schritt 1 ein. So berechnest du den Wert der anderen Variable (x).

Probe: Nun setzt du die ermittelten Werte in die ursprünglichen Gleichungen des linearen Gleichungssystems ein. Wenn die Gleichungen erfüllt sind, ist dein Ergebnis richtig.
Video vom Cornelsen-Verlag

Das Gleichsetzungsverfahren

Video laden
YouTube
Aufgabe

Löse folgendes Gleichungssystem mit dem Gleichsetzungsverfahren


Auf der linken Seite steht bereits in beiden Gleichungen das Gleiche.
Setze also die beiden rechten Seiten gleich.
Lösung des Gleichungssystems:

Übungen

Quiz zu allen Verfahren.
Zuordnungsübung


Aufgabe unter Verwendung CAS-App

Bei einem Stromanbieter zahlt eine Familie 1228 € im Jahr bei einem Verbrauch von 3500 kWH. Ein Single zahlt 508 € bei einem Verbrauch von 1250 kWh. Ermittle die monatliche Grundgebühr und den Preis pro Kilowattstunde.

Zunächst zwei Gleichungen aufstellen. Dabei beachten, dass sich der Strompreis aus dem monatlichen Grundpreis und dem Preis für die Kilowattstunde zusammensetzt.

Lösung des Gleichungssystems:

Seite eines Schülers

Das Thema von einem Schüler bearbeitet

Diese Seite entstand in einer Projektwoche 2023.

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