Benutzer:Stoll-Gym10Erfurt/Mathematik8/Terme und Gleichungen/Bruchgleichungen: Unterschied zwischen den Versionen

Aktuelle Version vom 15. Februar 2025, 16:34 Uhr

Einführung

Erklärung

In einer Bruchgleichung kommt mindestens ein Bruch vor, wobei die unbekannte Variable im Nenner steht. Um die Gleichung zu lösen, formen wir diese Gleichung nach dieser Variablen um. Bei der Lösung ist zu beachten, dass der Nenner nicht Null werden darf. Dies bedeutet, dass solche Lösungen entfallen, für die der Nenner Null wird.

Video: Bruchgleichungen einfach erklärt

Susanne gibt einen kurzen Einstieg in das Lösen.

Bruchgleichungen lösen

Beispiele

Hier sind zunächst nur ein paar Beispiele aufgelistet:

$\frac{4}{x}=2$
$\frac{x+5}{3x}=12$
$\frac{3x-1}{x-1}=2$

Vorgehen

Folgende Schritte musst Du durchlaufen beim Lösen von Bruchgleichungen

Definitionsmenge bestimmen
mit Nenner multiplizieren (evtl. auch Hauptnenner bestimmen)
Gleichungen lösen
Lösungsmenge bestimmen
Lösungsmenge mit Definitionsmenge vergleichen
Probe

Übungen

Beispiel vorrechnen

Hier wird das erste Beispiel von oben vorgerechnet, ohne alle Lösungsschritte tatsächlich zu durchlaufen.

$\frac{4}{x}=2$
$\frac{4}{x}=2 | \cdot x$
$4 = 2 \cdot x | : 2$
$2 = x \qquad bzw. \qquad x = 2$

Jetzt muss man noch überprüfen, ob beim Einsetzen der Lösung der Nenner ungleich Null ist. Was hier der Fall ist.

2. Beispiel vorrechnen

Hier wird das zweite Beispiel von oben vorgerechnet. Diesmal durchlaufen wir alle Schritte.
$\qquad$ Beispiel: $\qquad \frac{x+5}{3x}=12$

Definitionsmenge bestimmen:

$\qquad$ Der Nenner ist $3x$ , d.h. wir dürfen nicht x = 0 einsetzen, dann würde der Nenner 0 sein.
$\qquad$ Daraus folgt: D = $\Q \setminus \{0 \}$

mit Nenner multiplizieren

$\qquad \frac{x+5}{3x}=12 | \cdot 3x \qquad \Longrightarrow \qquad x+5 = 36 \cdot x$

Gleichungen lösen

$\qquad x+5 = 36x | -x \qquad \Longrightarrow \qquad 5= 35x$
$\qquad 5 = 35x | :35 \qquad \Longrightarrow \qquad \frac{5}{35}=x \qquad \Longrightarrow \qquad \frac{1}{7}=x$

Lösung mit Definitionsmenge vergleichen

$\qquad \frac{1}{7}$ gehört zur Definitionsmenge

Lösungsmenge bestimmen bzw. angeben

$\qquad L = \{ \frac{1}{7} \}$

Probe

$\qquad$ Linke Seite: $\qquad \frac{\frac{1}{7} +5}{3 \cdot \frac{1}{7}} = \frac{\frac{36}{7}} {\frac{3}{7}} = \frac{36 \cdot 7} {7 \cdot 3} = \frac{36}{3} = 12$ $\qquad$ Rechte Seite: $12$

Aufgaben

Übung 1

Löse die Gleichungen.

$\frac{5}{7-x} = 1$
$\frac{7}{17-x} = \frac{7}{17+x}$
$\frac{5}{2x}+\frac{3}{8x}=-2$

Lösungen

1. 2
2. 0
3.

-\frac{23}{16}

Übung 2

Definitionsmenge bestimmen

Übung 3

Schrittfolge üben

Übung 4

Termumformungen

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+|Inhalt= <big> ''In einer Bruchgleichung kommt mindestens ein Bruch vor, wobei die unbekannte Variable im Nenner steht. Um die Gleichung zu lösen, formen wir diese Gleichung nach dieser Variablen um. Bei der Lösung ist zu beachten, dass der Nenner nicht Null werden darf. Dies bedeutet, dass solche Lösungen entfallen, für die der Nenner Null wird. ''</big><br/>
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 * '''Probe'''
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 #<math>\frac{7}{17-x} = \frac{7}{17+x}</math><br/><br/>
 #<math>\frac{5}{2x}+\frac{3}{8x}=-2</math><br/><br/>
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