Benutzer:Stoll-Gym10Erfurt/Mathematik9/Lineare Gleichungssysteme: Unterschied zwischen den Versionen

Aus ZUM Projektwiki
Markierung: 2017-Quelltext-Bearbeitung
 
(43 dazwischenliegende Versionen desselben Benutzers werden nicht angezeigt)
Zeile 1: Zeile 1:
==Allgemeines==
=== Allgemeines ===
{{Box-spezial
{{Box-spezial
|Titel= Einführung  
|Titel= Einführung  
Zeile 25: Zeile 25:
<br/>
<br/>
{{#ev:youtube|wEwn-ZKueaw}}<br />|Arbeitsmethode}}
{{#ev:youtube|wEwn-ZKueaw}}<br />|Arbeitsmethode}}
<br/>
<br />


===Grafisches Verfahren===
===Grafisches Verfahren===
Zeile 39: Zeile 39:
<br/>
<br/>
{{#ev:youtube|g2fov1JsDSk}}<br />|Arbeitsmethode}}
{{#ev:youtube|g2fov1JsDSk}}<br />|Arbeitsmethode}}
<br/>
<br />


=== Das Einsetzungsverfahren ===
===Das Einsetzungsverfahren===
{{Box-spezial
{{Box-spezial
|Titel= Begriffserklärung  
|Titel= Begriffserklärung  
Zeile 49: Zeile 49:
|Icon= <span class="brainy hdg-file02"></span>
|Icon= <span class="brainy hdg-file02"></span>
}}
}}
 
{{Box-spezial
|Titel= '''<u><big>Lösungsschritte beim Einsetzungsverfahren</big></u>'''
|Inhalt=
'''Schritt 1:''' Wähle eine Gleichung aus, die du nach einer Variablen umformst.<br/>
'''Schritt 2:''' Setze den Wert der Variable in die andere Gleichung ein.<br/>
'''Schritt 3:''' Berechne die noch enthaltende Variable.<br/>
'''Schritt 4:''' Setze die in Schritt 3 berechnete Variable in die Gleichung aus Schritt 1 ein und berechne so die übrig gebliebene Variable.<br/>
'''Probe:''' Setze die ermittelten Werte in die Gleichungen ein und überprüfe, ob die Gleichungen erfüllt sind.<br/>
|Farbe= #0077dd        
|Hintergrund= #A8DF4A
|Icon= <span class="brainy hdg-file02"></span>
}}
<br/>
{{Box|Video-Mathematrick|Susanne erklärt das Einsetzungsverfahren.
{{Box|Video-Mathematrick|Susanne erklärt das Einsetzungsverfahren.
<br/>
<br/>
{{#ev:youtube|glAEhc_UmvY}}<br />|Arbeitsmethode}}
{{#ev:youtube|glAEhc_UmvY}}<br />|Arbeitsmethode}}
<br/>
<br/>
 
{{Box-spezial
|Titel= Video - Einsetzungsverfahren 
|Inhalt= ''Eine Schülerin erklärt das Einsetzungsverfahren.''<br/>
{{#ev:youtube|q1qMbvpTpdI}}<br/>
|Farbe= #0077dd
|Hintergrund= #A8DF4A
|Icon= <span class="brainy hdg-exclamation"></span>
}}
{{Box|Aufgabe|2=
{{Box|Aufgabe|2=
Löse folgendes Gleichungssystem mit dem Einsetzungsverfahren<br/>
Löse folgendes Gleichungssystem mit dem Einsetzungsverfahren<br/>
# <math> y = -x + 2</math><br/>
#<math> y = -x + 2</math><br/>
#<math> 4x + 3y = 2</math>
#<math> 4x + 3y = 2</math>
{{Lösung versteckt|1= Ist eine der beiden Gleichungen bereits nach einer Variablen umgestellt.|2=Tipp 1|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1= Ist eine der beiden Gleichungen bereits nach einer Variablen umgestellt.|2=Tipp 1|3=schließen}}
Zeile 65: Zeile 84:


===Das Additionsverfahren===
===Das Additionsverfahren===
{{Box|Video 1|In diesem Video erklärt eine Schülerin das Additionsverfahren.<br />
{{Box-spezial
{{#ev:youtube|UIFr6GMcXJs}}<br />|Arbeitsmethode}}
|Titel= '''<u><big>Lösungsschritte beim Additionsverfahren</big></u>'''
<br />
|Inhalt=
 
'''Schritt 1:''' Überlege dir, welche Variable du entfernen möchtest.<br/>
{{Box|Video 2|In diesem Video erklärt eine Schülerin nochmals das Additionsverfahren.<br />
'''Schritt 2:''' Multipliziere die Gleichungen mit Zahlen, sodass sich eine Variable gegenseitig aufhebt.<br/>
{{#ev:youtube|0krITZnMoII}}<br />|Arbeitsmethode}}
'''Schritt 3:''' Addiere beide Gleichungen zusammen. Du erhältst damit eine neue Gleichung, die die gewählte Variable nicht mehr enthält.<br/>
<br />
'''Schritt 4:''' Berechne die andere Variablen.<br/>
'''Probe:''' Setze die ermittelten Werte in die Gleichungen ein und überprüfe, ob die Gleichungen erfüllt sind.<br/>
|Farbe= #0077dd        
|Hintergrund= #A8DF4A
|Icon= <span class="brainy hdg-file02"></span>
}}<br/>
{{Box-spezial
{{Box-spezial
|Titel= Bemerkung  
|Titel= Bemerkung  
|Inhalt= In beiden Videos sind kleine Fehler enthalten, die aber nicht entscheidend für das Verständnis bzw. für die Lösung sind.  
|Inhalt= In beiden nachfolgenden Videos sind kleine Fehler enthalten, die aber nicht entscheidend für das Verständnis bzw. für die Lösung sind. Sie wurden von zwei Schülerinnen zu Hause erstellt.  
|Farbe= #482998        
|Farbe= #482998        
|Hintergrund= #f1bbd6
|Hintergrund= #f1bbd6
|Icon= <span class="brainy hdg-file02"></span>
|Icon= <span class="brainy hdg-file02"></span>
}}
}}
 
{{Box-spezial
 
|Titel= Video - Additionsverfahren 
|Inhalt= ''Eine Schülerin erklärt das Additionsverfahren.''<br/>
{{#ev:youtube|NQR59WavOcA}}<br/>
|Farbe= #0077dd
|Hintergrund= #A8DF4A
|Icon= <span class="brainy hdg-exclamation"></span>
}}
{{Box-spezial
|Titel= Video - Additionsverfahren 
|Inhalt= ''Eine weitere Schülerin erklärt das Additionsverfahren mit ihren Worten.''<br/>
{{#ev:youtube|9zcuJo7sl1c}}<br/>
|Farbe= #0077dd
|Hintergrund= #A8DF4A
|Icon= <span class="brainy hdg-exclamation"></span>
}}
<br/>
{{Box|Aufgabe|2=
{{Box|Aufgabe|2=
Löse folgendes Gleichungssystem mit dem Additionsverfahren<br/>
Löse folgendes Gleichungssystem mit dem Additionsverfahren<br/>
Zeile 88: Zeile 127:
{{Lösung versteckt|1= Erweitere die zweite Gleichung mit -1.|2=Tipp 2|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1= Erweitere die zweite Gleichung mit -1.|2=Tipp 2|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Lösung des Gleichungssystems:<math>x = 2;y = 4</math>}}
{{Lösung versteckt|1=Lösung des Gleichungssystems:<math>x = 2;y = 4</math>}}
|3=Üben}}
===Das Gleichsetzungsverfahren===
{{Box-spezial
|Titel= Begriffserklärung
|Inhalt= Der Name ''Gleichsetzungsverfahren'' kommt daher, dass man auf jeweils einer Seite der beiden Gleichungen den gleichen Term hat bzw. nach einer Variablen oder einem Term umstellt und somit die beiden Gleichungen '''gleichsetzen''' kann.
|Farbe= #0077dd        
|Hintergrund= #A8DF4A
|Icon= <span class="brainy hdg-file02"></span>
}}
{{Box-spezial
|Titel= '''<u><big>Lösungsschritte beim Gleichsetzungsverfahren</big></u>'''
|Inhalt=
'''Schritt 1:''' Forme beide Gleichungen nach derselben Variable um (z. B. x).<br/>
'''Schritt 2:''' Setze die Terme gleich.<br/>
'''Schritt 3:''' Löse die Gleichung nach der übrigen Variable (z. B. y) auf.<br/>
'''Schritt 4:''' Setze nun das Ergebnis aus Schritt 3 in eine der Gleichungen aus Schritt 1 ein. So berechnest du den Wert der anderen Variable (x).<br/>
'''Probe:''' Nun setzt du die ermittelten Werte in die ursprünglichen Gleichungen des linearen Gleichungssystems ein. Wenn die Gleichungen erfüllt sind, ist dein Ergebnis richtig.<br/>
|Farbe= #0077dd        
|Hintergrund= #A8DF4A
|Icon= <span class="brainy hdg-file02"></span>
}}
{{Box|Video vom Cornelsen-Verlag.|Das Gleichsetzungsverfahren<br/>
{{#ev:youtube|hBtqpqLRkg4}}<br />|Arbeitsmethode}}
{{Box|Aufgabe|2=
Löse folgendes Gleichungssystem mit dem Gleichsetzungsverfahren<br/>
#<math> 3x = 10 – 5y</math><br/>
#<math> 3x = -2y + 13</math>
{{Lösung versteckt|1= Auf der linken Seite steht bereits in beiden Gleichungen das Gleiche.|2=Tipp 1|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1= Setze also die beiden rechten Seiten gleich.|2=Tipp 2|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Lösung des Gleichungssystems:<math>x = 5;y = -1</math>}}
|3=Üben}}
|3=Üben}}


=== Das Gleichsetzungsverfahren ===
 
 
 
 
===Übungen===
{{Box|Quiz zu allen Verfahren.
|
{{LearningApp|app=p5sti58et22|width=100%|height=400px}}
|Arbeitsmethode}}
<br/>
{{Box|Zuordnungsübung
|
{{LearningApp|app=6752701|width=100%|height=400px}}
|Arbeitsmethode}}
== Seite eines Schülers ==
{{Box| Das Thema von einem Schüler bearbeitet
|Diese Seite entstand in einer Projektwoche 2023.<br/>
[[Benutzer:HAG-S7| Zur Seite des Schülers]]
|Unterrichtsidee
}}
<br/>

Aktuelle Version vom 21. Dezember 2024, 16:09 Uhr

Allgemeines

Einführung
Zwei lineare Gleichungen mit zwei Variablen bilden ein lineares Gleichungssystem. Ein Zahlenpaar, das beide lineare Gleichungen erfüllt, wird Lösung des linearen Gleichungssystems genannt.


Anzahl der Lösungen

Es gibt drei Fälle für die Lösungen linearer Gleichungssysteme:

  1. Das Gleichungssystem hat keine Lösung.
  2. Das Gleichungssystem hat eine Lösung.
  3. Das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen.

Verfahren zur Lösung linearer Gleichungssyteme

Einführende Bemerkungen

Es gibt verschiedene Möglichkeiten, um lineare Gleichungssysteme zu lösen.

  1. Das grafische Verfahren
  2. Das Einsetzungsverfahren
  3. Das Additionsverfahren
  4. Das Gleichsetzungsverfahren


Ein Video als Überblick

Du lernst, wie man an einem Linearen Gleichungssystem sowohl graphisch als auch rechnerisch erkennt, ob es keine Lösung, genau eine Lösung oder unendlich viele Lösungen gibt.

Video laden
YouTube


Grafisches Verfahren

Erklärung
Du kannst die Lösungen eines linearen Gleichungssystems zeichnerisch finden, indem du beide Gleichungen als lineare Funktionen auffasst und die zugehörigen Grafen in ein Koordinatensystem zeichnest. Der Schnittpunkt der beiden Geraden liefert die Lösung.


Video-Mathematrick

Susanne erklärt das grafische Lösen für alle drei Lösungsmöglichkeiten.

Video laden
YouTube


Das Einsetzungsverfahren

Begriffserklärung
Der Name Einsetzungsverfahren kommt daher, dass man eine Gleichung nach einer Variablen umstellt und diese dann in die zweite Gleichung einsetzt.
Lösungsschritte beim Einsetzungsverfahren

Schritt 1: Wähle eine Gleichung aus, die du nach einer Variablen umformst.
Schritt 2: Setze den Wert der Variable in die andere Gleichung ein.
Schritt 3: Berechne die noch enthaltende Variable.
Schritt 4: Setze die in Schritt 3 berechnete Variable in die Gleichung aus Schritt 1 ein und berechne so die übrig gebliebene Variable.

Probe: Setze die ermittelten Werte in die Gleichungen ein und überprüfe, ob die Gleichungen erfüllt sind.


Video-Mathematrick

Susanne erklärt das Einsetzungsverfahren.

Video laden
YouTube


Video - Einsetzungsverfahren

Eine Schülerin erklärt das Einsetzungsverfahren.

Video laden
YouTube

Aufgabe

Löse folgendes Gleichungssystem mit dem Einsetzungsverfahren


Ist eine der beiden Gleichungen bereits nach einer Variablen umgestellt.
Setze in der zweiten Gleichung für y die rechte Seite der 1. Gleichung ein.
Lösung des Gleichungssystems:

Das Additionsverfahren

Lösungsschritte beim Additionsverfahren

Schritt 1: Überlege dir, welche Variable du entfernen möchtest.
Schritt 2: Multipliziere die Gleichungen mit Zahlen, sodass sich eine Variable gegenseitig aufhebt.
Schritt 3: Addiere beide Gleichungen zusammen. Du erhältst damit eine neue Gleichung, die die gewählte Variable nicht mehr enthält.
Schritt 4: Berechne die andere Variablen.

Probe: Setze die ermittelten Werte in die Gleichungen ein und überprüfe, ob die Gleichungen erfüllt sind.


Bemerkung
In beiden nachfolgenden Videos sind kleine Fehler enthalten, die aber nicht entscheidend für das Verständnis bzw. für die Lösung sind. Sie wurden von zwei Schülerinnen zu Hause erstellt.
Video - Additionsverfahren

Eine Schülerin erklärt das Additionsverfahren.

Video laden
YouTube

Video - Additionsverfahren

Eine weitere Schülerin erklärt das Additionsverfahren mit ihren Worten.

Video laden
YouTube


Aufgabe

Löse folgendes Gleichungssystem mit dem Additionsverfahren


Schau Dir die Gleichungen genau an. Fällt eventuell eine der beiden Variablen sofort heraus
Erweitere die zweite Gleichung mit -1.
Lösung des Gleichungssystems:

Das Gleichsetzungsverfahren

Begriffserklärung
Der Name Gleichsetzungsverfahren kommt daher, dass man auf jeweils einer Seite der beiden Gleichungen den gleichen Term hat bzw. nach einer Variablen oder einem Term umstellt und somit die beiden Gleichungen gleichsetzen kann.
Lösungsschritte beim Gleichsetzungsverfahren

Schritt 1: Forme beide Gleichungen nach derselben Variable um (z. B. x).
Schritt 2: Setze die Terme gleich.
Schritt 3: Löse die Gleichung nach der übrigen Variable (z. B. y) auf.
Schritt 4: Setze nun das Ergebnis aus Schritt 3 in eine der Gleichungen aus Schritt 1 ein. So berechnest du den Wert der anderen Variable (x).

Probe: Nun setzt du die ermittelten Werte in die ursprünglichen Gleichungen des linearen Gleichungssystems ein. Wenn die Gleichungen erfüllt sind, ist dein Ergebnis richtig.


Video vom Cornelsen-Verlag.

Das Gleichsetzungsverfahren

Video laden
YouTube


Aufgabe

Löse folgendes Gleichungssystem mit dem Gleichsetzungsverfahren


Auf der linken Seite steht bereits in beiden Gleichungen das Gleiche.
Setze also die beiden rechten Seiten gleich.
Lösung des Gleichungssystems:



Übungen

Quiz zu allen Verfahren.



Zuordnungsübung


Seite eines Schülers

Das Thema von einem Schüler bearbeitet

Diese Seite entstand in einer Projektwoche 2023.
Zur Seite des Schülers


Abgerufen von „https://projekte.zum.de/index.php?title=Benutzer:Stoll-Gym10Erfurt/Mathematik9/Lineare_Gleichungssysteme&oldid=100486“