Zwei lineare Gleichungen mit zwei Variablen bilden ein lineares Gleichungssystem. Ein Zahlenpaar, das beide lineare Gleichungen erfüllt, wird Lösung des linearen Gleichungssystems genannt.
Anzahl der Lösungen
Es gibt drei Fälle für die Lösungen linearer Gleichungssysteme:
Das Gleichungssystem hat keine Lösung.
Das Gleichungssystem hat eine Lösung.
Das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen.
Verfahren zur Lösung linearer Gleichungssyteme
Einführende Bemerkungen
Es gibt verschiedene Möglichkeiten, um lineare Gleichungssysteme zu lösen.
Das grafische Verfahren
Das Einsetzungsverfahren
Das Additionsverfahren
Das Gleichsetzungsverfahren
Ein Video als Überblick
Du lernst, wie man an einem Linearen Gleichungssystem sowohl graphisch als auch rechnerisch erkennt, ob es keine Lösung, genau eine Lösung oder unendlich viele Lösungen gibt.
Du kannst die Lösungen eines linearen Gleichungssystems zeichnerisch finden, indem du beide Gleichungen als lineare Funktionen auffasst und die zugehörigen Grafen in ein Koordinatensystem zeichnest. Der Schnittpunkt der beiden Geraden liefert die Lösung.
Video-Mathematrick
Susanne erklärt das grafische Lösen für alle drei Lösungsmöglichkeiten.
Der Name Einsetzungsverfahren kommt daher, dass man eine Gleichung nach einer Variablen umstellt und diese dann in die zweite Gleichung einsetzt.
Lösungsschritte beim Einsetzungsverfahren
Schritt 1: Wähle eine Gleichung aus, die du nach einer Variablen umformst. Schritt 2: Setze den Wert der Variable in die andere Gleichung ein. Schritt 3: Berechne die noch enthaltende Variable. Schritt 4: Setze die in Schritt 3 berechnete Variable in die Gleichung aus Schritt 1 ein und berechne so die übrig gebliebene Variable.
Probe: Setze die ermittelten Werte in die Gleichungen ein und überprüfe, ob die Gleichungen erfüllt sind.
Löse folgendes Gleichungssystem mit dem Einsetzungsverfahren
Ist eine der beiden Gleichungen bereits nach einer Variablen umgestellt.
Setze in der zweiten Gleichung für y die rechte Seite der 1. Gleichung ein.
Lösung des Gleichungssystems:
Das Additionsverfahren
Lösungsschritte beim Additionsverfahren
Schritt 1: Überlege dir, welche Variable du entfernen möchtest. Schritt 2: Multipliziere die Gleichungen mit Zahlen, sodass sich eine Variable gegenseitig aufhebt. Schritt 3: Addiere beide Gleichungen zusammen. Du erhältst damit eine neue Gleichung, die die gewählte Variable nicht mehr enthält. Schritt 4: Berechne die andere Variablen.
Probe: Setze die ermittelten Werte in die Gleichungen ein und überprüfe, ob die Gleichungen erfüllt sind.
Video einer Schülerin
In diesem Video erklärt eine Schülerin das Additionsverfahren.
In beiden Videos sind kleine Fehler enthalten, die aber nicht entscheidend für das Verständnis bzw. für die Lösung sind.
Aufgabe
Löse folgendes Gleichungssystem mit dem Additionsverfahren
Schau Dir die Gleichungen genau an. Fällt eventuell eine der beiden Variablen sofort heraus
Erweitere die zweite Gleichung mit -1.
Lösung des Gleichungssystems:
Das Gleichsetzungsverfahren
Begriffserklärung
Der Name Gleichsetzungsverfahren kommt daher, dass man auf jeweils einer Seite der beiden Gleichungen den gleichen Term hat bzw. nach einer Variablen oder einem Term umstellt und somit die beiden Gleichungen gleichsetzen kann.
Lösungsschritte beim Gleichsetzungsverfahren
Schritt 1: Forme beide Gleichungen nach derselben Variable um (z. B. x).
Schritt 2: Setze die Terme gleich.
Schritt 3: Löse die Gleichung nach der übrigen Variable (z. B. y) auf.
Schritt 4: Setze nun das Ergebnis aus Schritt 3 in eine der Gleichungen aus Schritt 1 ein. So berechnest du den Wert der anderen Variable (x).
Probe: Nun setzt du die ermittelten Werte in die ursprünglichen Gleichungen des linearen Gleichungssystems ein. Wenn die Gleichungen erfüllt sind, ist dein Ergebnis richtig.
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