Quelltext der Seite Herta-Lebenstein-Realschule/Ähnlichkeit und Strahlensätze/2) Ähnlichkeit

[[Datei:Schullogo HLR.jpg|rechts|rahmenlos|80x80px]]
{{Fortsetzung|vorher=zurück zur Seite der Herta-Lebenstein-Realschule|vorherlink=Herta-Lebenstein-Realschule}}


{{Navigation|[[Herta-Lebenstein-Realschule/Ähnlichkeit und Strahlensätze/1) Vergrößern und Verkleinern|1) Vergrößern und Verkleinern]]
[[Herta-Lebenstein-Realschule/Ähnlichkeit und Strahlensätze/2) Ähnlichkeit|2) Ähnlichkeit]]<br>
[[Herta-Lebenstein-Realschule/Ähnlichkeit und Strahlensätze/3) Strahlensätze|3) Strahlensätze]]}}
===2) Ähnliche Figuren===

Schreibe den Merksatz in dein Heft:

{{Box|Ähnliche Figuren|Wird eine Figur maßstäbliches vergrößert oder verkleinert, heißen die Figuren <b>zueinander ähnlich</b>.

Dabei müssen zwei Bedingungen gelten:

-      Alle Winkel sind gleich groß.

-      Alle Strecken müssen im gleichen Maßstab vergrößert bzw. verkleinert sein.|Merksatz}}

{{#ev:youtube|Sm8DnMbQD00|400|center|||start=0&end=67}}


{{Box|Übung 1|Welche Dreiecke sind ähnlich? Öffne das GeoGebra-Applet und gib die richtige Antwort ein.|Üben}}

<ggb_applet id="tR8DmPab" width="800" height="610" />

<br />

{{Box|Aufgabe 2|Sucht in eurer Umgebung im geometrischen Sinn ähnliche Figuren, macht ein Foto und ladet es im Gruppenorder Mathematik hoch.|Üben}}

{{Box|1=Beispiel: Ähnliche Dreiecke konstruieren|2=Konstruiere das Dreieck ABC mit a=4cm; b=5cm und c=6cm. Konstruiere dann das dazu ähnliche Dreieck A'B'C' mit a'=6cm.|3=Arbeitsmethode}}
1. Schritt: Konstruiere das Dreieck ABC mit a=4cm; b=5cm und c=6cm.
Erinnerung: Kongruenzsatz SSS
In der nachfolgenden App sind die Schritte zur Konstruktion dargestellt, du musst sie in die richtige Reihenfolge bringen. Übertrage danach die Konstruktion in dein Heft.
{{LearningApp|app=p16u152nj20|width=100%|height=800px}}
{{Lösung versteckt|Das verlinkte GeoGebra-Datei zeigt die die Konstruktion mit den Kongruenzsatz SSS noch einmal Schritt für Schritt: https://www.geogebra.org/m/CCQrYPXZ|Wiederholung Konstruktion mit dem Kongruenzsatz SSS|Verbergen}}
2. Schritt:
Berechne den Vergrößerungsfaktor k und damit dann b' und c'.
{{Lösung versteckt|1=k=<math>\tfrac{a'}{a}</math>=<math>\tfrac{6}{4}</math>=1,5; also gilt
<math>\tfrac{b'}{b}</math>=1,5

<math>\tfrac{b'}{5}</math>=1,5

b'=1,5·5

b'=7,5 [cm];

ebenso gilt c'=1,5·c = 1,5·6 = 9[cm]|2=Lösung anzeigen|3=Verbergen}}
3. Schritt:
Konstruiere das Dreieck A'B'C' (Konstruktion mit SSS wie oben).

[[Datei:Dreieck A'B'C'.png|555x555px]]

{{Lösung versteckt|[[Datei:Hefteintrag zum Beispiel.png|Hefteintrag zum Beispiel.png]]|Hilfe:So müsste dein Hefteintrag aussehen|Verbergen}}

{{Box|1=Übung 3: Ähnliche Dreiecke - Berechnungen|2=Löse zunächst die folgende LearningApp und mit derselben ausführlichen Schreibweise S. 97 Nr. 2. Kontrolliere deine Ergebnisse mit dem nachfolgenden GeoGebra-Applet.|3=Üben}}
{{LearningApp|app=p0oommxqn20|width=100%|height=600px}} 

Prüfe deine Lösungen zu S. 97 Nr. 2: Stelle k so ein, dass die jeweiligen Seitenlängen zur Aufgabe passen. Dann lies k und die fehlenden Seitenlängen ab. 
<ggb_applet id="atph52nb" width="800" height="710" />


{{Box|Übung 4: Konstruktion ähnlicher Dreiecke|Löse schrittweise (wie im Beispiel oben)
S. 97 Nr. 1 a), d) und
S. 97 Nr. 3. 
Prüfe deine Lösungen mit dem zugehörigen GeoGebra-Applet.|Üben}}
{{Lösung versteckt|{{Lösung versteckt|1=k=<math>\tfrac{a'}{a}</math>=<math>\tfrac{8}{4}</math>=2; also gilt 

<math>\tfrac{b'}{b}</math>=2

<math>\tfrac{b'}{5}</math>=2

b'=2·5

b'=10 [cm];

ebenso gilt c'=2·c = 2·6 = 10[cm]|2=Tipp zu a)|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=k=<math>\tfrac{b'}{b}</math>=<math>\tfrac{6}{5}</math>=1,2; also gilt

<math>\tfrac{a'}{a}</math>=1,2

<math>\tfrac{a'}{4}</math>=1,2

a'=1,2·4

a'=4,8 [cm];

ebenso gilt c'=1,2·c = 1,2·6 = 7,2[cm]|2=Tipp zu d)|3=Verbergen}}|Tipps zu S.97 Nr.1}}
Prüfe deine Lösung von S. 97 Nr. 1 a,d:
<ggb_applet id="wshyybyn" width="800" height="610"></ggb_applet>Prüfe deine Lösung von S. 97 Nr. 3

<ggb_applet id="czznt9y4" width="800" height="610"></ggb_applet>

{{Box|Übung 5: Vermischte Übungen|Löse S. 97 Nr. 4, 5, 6, 7 und 8 im Heft.|Üben}}
{{Lösung versteckt|1=Berechne jeweils das Verhältnis der Bildstreckenlängen zu den Originallängen. Es muss immer gleich sein, wenn die Dreiecke ähnlich sind (nämlich k). Gilt <math>\tfrac{a'}{a}</math>=<math>\tfrac{b'}{b}</math>=<math>\tfrac{c'}{c}</math>|2=Tipp zu Nr. 4|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Bestimme zunächst den Ähnlichkeitsfaktor k=<math>\tfrac{a'}{a}</math>, denn nur von diesen beiden Seiten kennst du die Bild- und Originalstreckenlänge. Dann kannst du die fehlenden Längen von b' und c durch Umstellen der Formel k=<math>\tfrac{b'}{b}</math> nach b' und k=<math>\tfrac{c'}{c}</math> nach c berechnen. {{Lösung versteckt|1=Umstellen der Formel nach b' 
k=<math>\tfrac{b'}{b}</math> I∙b 
also gilt k∙b = b' (einsetzen und ausrechen)|2=Umstellen der Formel nach b|3=Verbergen}}{{Lösung versteckt|1=Umstellen der Formel  c 
k=<math>\tfrac{c'}{c}</math>  I∙c

k∙c = c' I:k

c = <math>\tfrac{c'}{k}</math> (einsetzen und ausrechnen)|2=Umstellen der Formel nach c|3=Verbergen}}
|2=Tipp zu Nr. 5|3=Verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=zu a) Es gilt k=<math>\tfrac{2}{3}</math>.
zu b) Die Dreiecke sind ähnlich, also stimmen in drei Winkeln überein. Sie stimmen in zwei Seiten überein, allerdings ist die Reihenfolge der Seiten unterschiedlich  (a = b’;  b = c’).|2=Tipp zu Nr. 6}}
{{Lösung versteckt|1=Bestimme zunächst den Ähnlichkeitsfaktor k mit u und u'. Da der Umfang die Summe der Seitenlängen ist, gilt für den Ähnlichkeitsfaktor k = <math>\tfrac{u'}{u}</math>. Bestimme k (Zwischenergebnis: k=1,5). Damit kannst du nun die Längen des Dreiecks A'B'C' bestimmen.
Du kannst deine Rechnunge wieder mit GeoGebra prüfen:https://www.geogebra.org/classic/qbwddt9z|2=Tipp zu Nr. 7|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|
{{Lösung versteckt|Erinnerst du dich an den Faktor, mit dem sich der Flächeninhalt bei der Vergrößerung der Seitenlängen mit der Zahl k? (Vgl. Übung 4 im Kapitel 1), scrolle noch einmal hoch.|Tipp 1 zu Nr. 8|Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Wenn die Seitenlängen mit dem Faktor k vergrößert werden, vergrößert sich der Flächeninhalt mit dem Faktor k². Also gilt
k²=4 I<math>\surd</math>

k = 2

Die Seitenlängen werden also jeweils verdoppelt.|2=Tipp 2 zu Nr. 8|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|Mit GeoGebra kannst du deine Lösung überprüfen: https://www.geogebra.org/classic/gpghwvrm|Lösungskontrolle zu Nr. 8 (GeoGebra)|Verbergen}}|Tipps zu Nr. 8|Verbergen}}

Weiter geht es mit dem nächsten Kapitel:
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