Quelltext der Seite Benutzer:Lena H. WWU-5/Quadratische Funktionen

{{Box|1= <span style="color: blue" >3. Berechne Die x- bzw. die y-Koordinate der Punkte, sodass diese auf der Funktion f liegen. </span>|2=Gegeben sei die Funktion <math>f(x) =\frac {1} {4} \cdot (x-6)^2-3</math> und die Punkte <math> A=(10|?), B=(? |\frac {29} {4}), C=(?|5), D=(\frac {43} {20}|?) </math> und <math>E=(5|?) </math> <br /> <br />
''' a) ''' Berechne von den oben genannten Punkten die jeweils fehlende x- bzw. y-Koordinate, so dass die Punkte auf der Funktion f liegen. <br /><br />
{{Lösung versteckt| 1= Was bedeuten die Variable <math> x </math> und <math> f(x) </math>? Wofür sind sie Platzhalter? | 2= Tipp 1| 3= schließen}}

{{Lösung versteckt| 1= Wenn du die x-Koordinate eines Punktes in eine Funktion einsetzt, berechnest du so seine y-Koordinate. | 2= Tipp 2| 3=schließen}} 

{{Lösung versteckt | 1= Die Punkte besitzen, um auf der Funktion <math> f(x) </math> zu liegen, folgende Koordinaten: <br />
<math>A=(10|1),, B=(13|\frac {29} {4}) , C=(0|5), D=(\frac{43} {20}|\frac{7}{10}) </math> und <math>E=(5|-\frac{11} {4}) </math>| 2=Lösung zu a) | 3= schließen}}

''' b) ''' Zeichne den Graphen der Funktion f mit den oben genannten Punkte nun in dein Heft. <br /><br />

{{Lösung versteckt| 1= Du weißt nicht, wie Du mit Deiner Zeichnung anfangen sollst? Dann schau doch noch einmal in den Lückentext von Aufgabe 1.| 2=Tipp 1 | 3=schließen}}

{{Lösung versteckt| 1= Welcher Punkt ist in einer Funktion der Form <math>g(x)=a\cdot(x-d)^2+e</math> als erstes ablesbar? Beginne deine Zeichnung mit diesem Punkt.  | 2= Tipp 2| 3= schließen}} 

{{Lösung versteckt| 1= In einer Funktionsgleichung der Form <math>g(x)=a\cdot(x-d)^2+e</math> gibt dir der Parameter <math> a</math>, wie viele Einheiten sich der Graph nach oben oder unten bewegen muss, wenn er sich um eine Einheit nach rechts bewegt.| 2=Tipp 3 | 3=schließen}}



{{Lösung versteckt |1= Wenn deine Zeichnung wie folgt aussieht, hast du alles richtig gemacht: [[Datei: Lösung Aufgabe 3.png|700px | zentriert]] |2=Lösung zu b) |3=schließen

}} 
}}

===Nullstellen===
{{Box|1= <span style="color: blue"> 6. Berechnung von Nullstellen </span>|2=
Gegeben seien folgende Funktionen: <br />
<math> g(x) = - 1 \cdot (x-8)^2+4 </math> <br />
<math> h(x) = 5x^2-6x-8</math> <br /> 
Berechne von beiden Funktionen jeweils die Nullstellen.}} 
{{Lösung versteckt| 1= Denke über die Bedeutung einer Nullstelle nach. Was bedeutet es, wenn eine Funktion an einem Punkt eine Nullstelle besitzt? |2= Tipp 1|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1= Ein Punkt wird als Nullstelle einer Funktion bezeichnet, wenn seine '''y-Koordinate gleich 0''' ist. <br />
D.h. um die Nullstellen einer Funktion zu bestimmen, solltest du die Funktion gleich 0 setzen. <br />
Für die nächsten Schritte gibt es verschiedene Möglichkeiten vorzugehen:
Ist deine Funktion in Scheitelpunktform, so hilft es dir den Term <math> (x-d) ^2</math> auf einer Seite zu isolieren, um dann die Wurzel ziehen zu können. <br />
Ansonsten gibt es als Hilfsmittel noch die dir bereits bekannte '''pq-Formel''' oder '''quadratische Ergänzung'''. |2=Tipp 2|3=schließen 


}} 
{{Lösung versteckt|1= 
{{Box|pq-Formel|Eine Funktion der Form <math>f(x)=x^2+px+q </math> hat die Lösungen <math>x_{1} = -\frac{p}{2}-\sqrt{\left( \frac{p}{2}\right)^2-q}</math>   sowie   <math>x_{2} = -\frac{p}{2}+\sqrt{\left( \frac{p}{2}\right)^2-q}</math>. Dieses Hilfsmittel hilft dir bei der Berechnung der Nullstellen von <math>f(x) </math>. |Übung}} |2= Tipp 3|3= schließen}} 

{{Lösung versteckt|1= <math>g(x) </math> liegt in Scheitelpunktform vor, weswegen eine Möglichkeit die Nullstellen zu bestimmen Folgende ist:<br /><br />
<math>
\begin{array}{rlll} 
&& g(x) &&=&& 0 \\
&\Leftrightarrow& 0 &&=&& -1(x-8)^2+4 &\mid :(-1) \\
&\Leftrightarrow& 0 &&=&& (x-8)^2-4 &\mid +4 \\
&\Leftrightarrow& 4 &&=&& (x-8)^2 & \mid \pm\sqrt{} \\
\end{array}
</math>
<br /><br /> 
<math>
\begin{array}{rlll} 
&\Rightarrow&(x_1-8) = 2& \textrm{sowie}& (x_2-8)=-2\\
\end{array}
</math> |2= Lösung zu g(x)| 3= schließen}}

{{Lösung versteckt|1=<math>h(x) </math> liegt in Normalform vor. Es empfiehlt sich also die Funktion so umzuformen,so dass man die '''pq-Formel''' anwenden kann. 
<br /><br />Betrachte <math> h(x)=0  </math>, d.h. <math>0 = 5x^2-6x-8</math> 
und führe dann eine Äquivalenzumformung durch, indem du durch 5 teilst.<br /><br /> 
Du erhälst die Gleichung <math>0 = x^2-\frac {6} {5} x-\frac{8}{5}</math><br /><br />
Durch Anwenden der pq-Formel folgt<br /><br /><br />
<math>
\begin{array} {rlll} 
&\Rightarrow&x_{1} = -\frac{-\frac{6}{5}}{2}-\sqrt{\left( -\frac{\frac{6}{5}}{2}\right)^2+\frac{8}{5}}&  \textrm{sowie}&   x_{2} = -\frac{-\frac{6}{5}}{2}+\sqrt{\left( -\frac{\frac{6}{5}}{2}\right)^2+\frac{8}{5}}\\

&\Rightarrow&x_1 = 0,8& \textrm{und}&  x_2 = 2\\
\end{array}
 </math><br /> <br /><br />
|2= Lösung zu h(x) |3=schließen}} 

{{Lösung versteckt| 1= [[Datei:Graphische Lösung zur Nullstellenberechnung.png|700px|zentriert]] |2= Graphische Lösung | 3=schließen}}