Quelltext der Seite Benutzer:Buss-Haskert/Quadratische Funktionen/Scheitelpunktform

[[Datei:Schullogo HLR.jpg|rechts|rahmenlos|80x80px]]
{{Fortsetzung|vorher=zurück zur Seite der Herta-Lebenstein-Realschule|vorherlink=Herta-Lebenstein-Realschule}}
<br>
{{Navigation|[[Benutzer:Buss-Haskert/Quadratische Funktionen| Quadratische Funktionen - Startseite]]<br>
[[Benutzer:Buss-Haskert/Quadratische Funktionen/Quadratische Funktionen entdecken|1 Quadratische Funktionen entdecken]]<br>
[[Benutzer:Buss-Haskert/Quadratische Funktionen/Normalparabel|2 Die Normalparabel f(x) = x²]]<br>
[[Benutzer:Buss-Haskert/Quadratische Funktionen/Gestreckte und gestauchte Parabel|3 Die gestreckte und gestauchte Parabel: Bedeutung des Parameters '''a '''in f(x) = '''a'''x²]]<br>
[[Benutzer:Buss-Haskert/Quadratische Funktionen/Verschiebung entlang der y-Achse|4 Die verschobene Parabel: Bedeutung des Parameters''' c''' in f(x) = ax² + '''c''']]<br>
[[Benutzer:Buss-Haskert/Quadratische Funktionen/Scheitelpunktform|5 Die Scheitelpunktform quadratischer Funktionen f(x) = a(x+d)² + e]]<br>
[[Benutzer:Buss-Haskert/Quadratische Funktionen/Normalform|6 Die Normalform f(x) = x² + px + q und die allgemeine Form quadratischer Funktionen f(x) = ax² + bx + c]]<br>
[[Benutzer:Buss-Haskert/Quadratische Funktionen/Nullstellen|7 Nullstellen quadratischer Funktionen]]<br>
[[Benutzer:Buss-Haskert/Quadratische Funktionen/Modellieren|8 Modellieren (Anwendungsaufgaben)]]}}
===5 Scheitelpunktform quadratischer Funktionen===

{{Box|1=Die Scheitelpunktform entdecken|2=Experimentiere mit der Normalparabel f(x) = x². Verschiebe den Scheitelpunkt S im Koordinatensystem und beobachte die Auswirkung auf die Funktionsgleichung. Was fällt dir auf? Diskutiere mit deinem Partner/deiner Partnerin.|3=Lösung|Icon=brainy hdg-tablet04}}
<ggb_applet id="hvm9xfmm" width="949" height="813" border="888888" />

{{Box|1=Die Scheitelpunktform quadratischer Funktionen|2=Die quadratische Funktion der Form '''f(x) = (x+d)²+e''' heißt '''Scheitelpunktform'''. Ihr Graph ist eine verschobene Normalparabel mit dem Scheitelpunkt '''S(-d&#124;e)'''.<br>
Der Parameter d verschiebt den Scheitelpunkt in x-Richtung: d>0 nach links verschoben ("dusseliger Detelf") und d<0 nach rechts.<br> Der Parameter e verschiebt den Scheitelpunkt in y-Richtung (nach oben bzw. unten).|3=Arbeitsmethode}}

Und nun noch einmal schrittweise:

====5.1  '''<big>D</big>'''etlef: f(x) = (x + '''<big><big><big>d</big></big></big>''')²====
Detlef ist ebenfalls sportlich, allerdings auch ein wenig '''<big><big><big>d</big></big></big>'''usselig. Er läuft beim Sprint immer in die entgegengesetzte Richtung.

<br />
<gallery>Jumping-151842 1280.png|<small>Bild von OpenClipart-Vectors auf Pixabay</small>
Jumping-151842 1280.png
Jumping-151842 1280.png
Jumping-151842 1280 gedreht.png|Detlef
</gallery>
 
{{Box| Bedeutung des Parameters d|Welche Rolle spielt '''<big><big><big>d</big></big></big>'''etlef ?<br>
Verändere d mit dem Schieberegler. Welche Auswirkungen hat '''<big><big><big>d</big></big></big>'''etlef auf das Schaubild der Normalparabel?|Frage}}

<ggb_applet id="cru8tjgd" width="800" height="600" />

{{Box|1=f(x) = (x+d)² - Parabeln zeichnen|2=Erstelle je eine Wertetabelle für die Funktionsgleichungen und zeichne die Parabeln. Nutze verschiedene Farben. Beschreibe die Bedeutung des Parameters d für den Verlauf der Parabel.
{{(!}} class=wikitable
{{!-}}
{{!}} Funktionsgleichung 
{{!}} -3
{{!}} -2
{{!}} -1
{{!}} 0
{{!}} 1
{{!}} 2
{{!}} 3
{{!-}}
{{!}} f(x) = (x+2)² 
{{!}} (-3+2)²=1
{{!}} (-2+2)²=0
{{!}} (-1+2)=1
{{!}} (0+2)²=4
{{!}} (1+2)²=9
{{!}} (2+2)²16
{{!}} (3+2)²=25
{{!-}}
{{!}} g(x) = (x+1)² 
{{!}} (-3+1)²=4
{{!}} ...
{{!}}
{{!}}
{{!}}
{{!}}
{{!}}
{{!-}}
{{!}} h(x) = (x-1)² 
{{!}} (-3-1)²=16
{{!}} 
{{!}}
{{!}}
{{!}}
{{!}}
{{!}}
{{!-}}
{{!}} p(x) = (x-2)² 
{{!}} (-3-2)²=25
{{!}} 
{{!}}
{{!}}
{{!}}
{{!}}
{{!}}
{{!)}}
|3=Arbeitsmethode}}

{{Lösung versteckt|1=[[Datei:SP10 S.15 Einstieg oben.png|rahmenlos|500x500px]]|2=Lösung (Zeichnung)|3=Verbergen}}


{{LearningApp|app=p7auviemc19|width=100%|height=400px}}

{{Box|Übung 12 - online|a) Ordne in der LenarningApp den Funktionsgraphen die passenden Funktionsgleichungen zu.
b) Löse anschließend auf der Seite [https://www.realmath.de/Neues/Klasse9/parabueb/parabelzeichnen2.php '''realmath'''] so viele Aufgaben, dass du mindestens 300 Punkte sammelst.|Üben
}}

{{LearningApp|app=puwipwqg220|width=100%|height=800px}}




====5.2  '''<big>E</big>'''mil: f(x) = x² + '''<big><big><big>e</big></big></big>'''====
'''<big><big><big>e</big></big></big>'''mil ist ebenfalls sehr sportlich:

Er kann sehr hoch springen, ebenso gut kann er tauchen.
[[Datei:Sport-1020132 1920.jpg|400px|Emil beim Hochsprung]]
{{Box| Bedeutung des Parameters e|Welche Rolle spielt '''<big><big><big>e</big></big></big>'''mil ?
Verändere e mithilfe des Schiebereglers. Welche Auswirkungen hat '''<big><big><big>e</big></big></big>'''mil auf das Schaubild der Normalparabel?|Frage}}

<ggb_applet id="mtu9qhwm" width="800" height="600" />

{{LearningApp|app=pbk3kdda519|width=100%|height=400px}}

{{Lösung versteckt|1=Den Parameter e hast du schon auf der vorherigen Seite kennengelernt, dort hieß er "c".|2=Erinnerung Parameter c|3=Verbergen}}

{{Box|Übung 13 - online|* Ordne in der LearningApp den Funktionsgraphen die passenden Funktionsgleichungen zu.
* Löse anschließend auf der Seite [https://realmath.de/Neues/Klasse9/parabueb/parabelzeichnen1.php '''realmath'''] so viele Aufgaben, dass du mindestens 300 Punkte sammelst. <br>
|Üben}}

{{LearningApp|app=pd7atv6ak20|width=100%|height=400px}}

===Die Scheitelpunktform quadratischer Funktionen f(x) = a(x+d)²+e===

<br /><br />
{{Box|1=Übung 14  - Scheitelpunktform online|2=Die Scheitelpunktform quadratischer Funktionen lautet f(X) = a(x + d)² + e. Du hast die Bedeutung der Parameter a(nton), d(etlef) und e(mil) erarbeitet. Wende dein Wissen in den nachfolgenden Übungen an.|3=Üben}}
{{LearningApp|app=2767802|width=100%|height=600px}}
{{LearningApp|app=pq6e32wtk20|width=100%|height=400px}}
{{LearningApp|app=pyhmt468323|width=100%|height=600px}}

{{Box|Übung 15 - Scheitelpunktform|Löse die Aufgaben aus dem Buch. 
* S. 16, Nr. 1 (Zeichnung mit GeoGebra zur Lösungskontrolle)
* S. 16, Nr. 2 
* S. 16, Nr. 3|Üben}}

{{Lösung versteckt|1=Du findest die Koordinaten des Scheitelpunktes der Parabel in der Gleichung: <br>
f(x) = (x+d)² + e mit S(-d&#124;e)<br>
f(x) = (x-2) + 3, also S(2&#124;3)|2=Tipp zu Nr. 1|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Nutze zur Lösungskontrolle das Applet. Schiebe den Scheitelpunkt S an den von dir angegebenen Punkt und schau, ob die Funktionsgleichung mit der im Buch angegebenen übereinstimmt<br>
<ggb_applet id="hvm9xfmm" width="949" height="813" border="888888" />.|2=Tipp zur Lösungskontrolle Nr. 1|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Die Verschiebung des Scheitelpunktes der Normalparabel führt zum neuen Scheitelpunkt:<br>
a) 3LE nach rechts und 2 LE nach oben, also S(3&#124;2).<br>
[[Datei:S.16 Nr. 2 Verschiebung der Normalparabel neu.png|rahmenlos]]<br>
Setze die Koordinaten des Scheitelpunktes passend in die Scheitelpunktform ein:<br>
S(-d&#124;e) einsetzen in f(x) = (x+d)² + e<br>
S(3&#124;2) einsetzen: f(x) = (x-3)² + 2|2=Tipp zu Nr. 2|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Setze die Koordinaten des Scheitelpunktes passend in die Scheitelpunktform ein:<br>
S(-d&#124;e) einsetzen in f(x) = (x+d)² + e<br>
S(3&#124;2) einsetzen: f(x) = (x-3)² + 2|2=Tipp zu Nr. 3|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Nutze auch hier zur Lösungskontrolle das Applet. Verschiebe den Scheitelpunkt auf den im Buch angegeben Punkt und vergleiche die Funktionsgleichung mit deiner Lösung.<br>
<ggb_applet id="hvm9xfmm" width="949" height="813" border="888888" />|2=Tipp zur Lösungskontrolle Nr. 3|3=Verbergen}}

{{Box|Übung 16 - Verschobene Normalparabel|Bearbeite die nachfolgenden Übungen auf der Seite realmath so lange, bis du jeweils mindestens 300 Punkte gesammelt hast. Erkläre deinem Partner/deiner Partnerin, was in dieser Übung jeweils gefestigt werden soll. Notiere zu jeder Aufgabe ein Beispiel mit deinem erworbenen Wissen in dein Heft.
* [http://realmath.de/Neues/Klasse9/parabueb/parabelzeichnen2.php Aufgabe 1]
* [http://realmath.de/Neues/Klasse9/parabueb/parabelzeichnen1.php Aufgabe 2]
* [http://realmath.de/Neues/Klasse9/parabueb/parabelzeichnen01.php Aufgabe 3]
* [http://realmath.de/Neues/Klasse9/parabueb/parabelquiz.php Aufgabe 4]
* [http://realmath.de/Neues/Klasse9/parabueb/parabelquiz2.php Aufgabe 5]
* [https://realmath.de/Neues/Klasse9/parabueb/parabelablesen01.php Aufgabe 6]
* [https://realmath.de/Neues/Klasse9/parabueb/parabelablesen.php Aufgabe 7]
* [https://realmath.de/Neues/Klasse9/Parabel/scheitelform01.php Aufgabe 8]
* [http://realmath.de/Neues/Klasse9/parabueb/parabscheit3.php Aufgabe 9]
|Üben}}
<br>
{{Box|Übung 17 - Scheitelpunktform ablesen und Parabeln zeichnen|Bearbeite die nachfolgenden GeoGebra-Applets.|Üben}}
Originallink: https://www.geogebra.org/m/hgctdsff
<ggb_applet id="tvngcubu" width="1200" height="850" border="888888" />
<small>Applet von Hans-Jürgen Elschenbroich</small><br><br>
Originallink: https://www.geogebra.org/m/CdNTYBpZ
<ggb_applet id="jDbCDYHz" width="655" height="654" border="888888" /><br>
<ggb_applet id="m5h7nxww" width="901" height="520" border="888888" />
<small>Applets von Wolfgang Wengler</small><br>

Buch GeoGebra: Parabeln zeichnen<br>
Originallink: https://www.geogebra.org/m/ZTXR23d8#chapter/236008<br>
<ggb_applet id="E6Nkvrpd" width="673" height="500" border="888888" />
<ggb_applet id="Uyx5wkKb" width="673" height="500" border="888888" />
<ggb_applet id="k72df4ac" width="700" height="500" border="888888" />
<ggb_applet id="rws2jTXw" width="700" height="500" border="888888" />
<small>Applets von Bernhard Krügel</small>

===Verschobene Normalparabeln skizzieren/zeichnen ohne Schablone und ohne Wertetabelle===

{{Box|Skizzieren einer verschobenen Normalparabel (ohne Schablone)|[[Datei:Idee Flipchart.png|rechts|rahmenlos|100x100px]] Um eine verschobene Normalparabel zu zeichnen, gehe vom Scheitelpunkt S aus immer eine Längeneinheit nach rechts und 1 Längeneinheit nach oben und dann 2 LE nach rechts und 4 LE nach oben, nutze danach die Achsensymmetrie der Parabel.<br>
Das Applet zeigt das Skizzieren Schritt für Schritt. Erkläre!|Meinung}}
<ggb_applet id="jn52gfzu" width="754" height="706" border="888888" />
<small>Applet von C.Buß-Haskert</small>

Das Video erklärt dies noch einmal anschaulich.
{{#ev:youtube|DeQRf1e4qZw|800|center|||start=0&end=89}}
<br>
{{Box|1=Übung 18 - Parabeln skizzieren (ohne Schablone)|2=Skizziere wie oben beschrieben die verschobenen Normalparabeln ein deinem Heft. Zeichne in ein Koordinatenkreuz, nutze verschiedene Farben.
* f(x) = (x-2)² - 1
* g(x) = (x+1)² + 2
* h(x) = (x-4)² + 1
* p(x) = (x+3)² - 2|3=Üben}}
{{Lösung versteckt|1=Prüfe deine Zeichnungen mithilfe des Applets oben. Gib die Koordinaten des Scheitelpunktes ein und nutze für die Skizze den Schieberegler.<br>
Scheitelpunkt für f(x): S(2&#124;-1)<br>
Scheitelpunkt für f(x): S(-1&#124;2)<br>
Scheitelpunkt für f(x): S(4&#124;1)<br>
Scheitelpunkt für f(x): S(-3&#124;-2)<br>|2=Kontrolliere deine Lösung|3=Verbergen}}

{{Box|Übung 19|Nachdem du die Aufgaben bis hier erfolgreich gelöst und diskutiert hast, sollten die nachfolgenden Aufgaben aus dem Buch kein Problem mehr für dich sein.
* S.16, Nr. 4 
* S.16, Nr. 5 
* S.16, Nr. 8 
* S.16, Nr. 9 
* S.16, Nr. 10 (Nutze in GeoGebra die Funktion "Spiegle an Gerade", s.Tipp unten) 
* S.19, Nr. 13
Expertenaufgabe (Ergänzung zu Nr. 10): Spiegle die Parabeln auch an der x-Achse und gib die neue Funktionsgleichung an.|Üben}}

{{Lösung versteckt|Schau das Video oben noch einmal an und skizziere die verschobene Normalparabel vom Scheitelpunkt aus entsprechend. Beachte den Tipp am Rand im Buch.|Tipp zu Nr. 4|Verbergen}}
{{Lösung versteckt|Erinnerung: Einteilung des Koordinatensystems in Quadranten:<br>
[[Datei:Cartesian-coordinate-system-with-quadrant.svg|rahmenlos]]|Tipp zu Nr. 5|Verbergen}}
{{Lösung versteckt|Nutze das Applet: Verschiebe den Scheitelpunkt so, dass der Graph durch die angegebene Punkte verläuft. Wo liegt dann der Scheitelpunkt? Begründe!<br>
<ggb_applet id="hvm9xfmm" width="949" height="813" border="888888" />|Tipp zu Nr. 8|Verbergen}}
{{Lösung versteckt|Skizzen zu 8a, 8b:<br>
[[Datei:SP10 S.16, Nr. 8a Tipp.png|rahmenlos|600x600px]]<br>
[[Datei:SP10 S.16,Nr. 8b Tipp.png|rahmenlos|600x600px]]
|Tipp: Skizzen zu 8a und 8b|Verbergen}}
{{Lösung versteckt|Nutze das Applet und verschiebe den Scheitelpunkt entsprechend der Angaben in der Aufgabe. Prüfe so deine Lösung.
<ggb_applet id="hvm9xfmm" width="949" height="813" border="888888" />|Tipp zu Nr. 9|Verbergen}}
{{Lösung versteckt|Bilderfolge zum Spiegeln der verschobenen Normalparabel an der y-Achse:<br>
[[Datei:Verschobene Normalparabel spiegeln (GeoGebra) 1.png|rahmenlos|600x600px]]<br>
[[Datei:Verschobene Normalparabel spiegeln (GeoGebra) 2.png|rahmenlos|600x600px]]<br>
[[Datei:Verschobene Normalparabel spiegeln (GeoGebra) 3.png|rahmenlos|600x600px]]<br>
[[Datei:Verschobene Normalparabel spiegeln (GeoGebra) 4.png|rahmenlos|600x600px]]|zu Nr. 10: Spiegeln der verschobenen Normalparabel mithilfe von GeoGebra (Bilderfolge)|Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Originallink https://www.geogebra.org/m/hsfbfp27<br>
<ggb_applet id="dzdcxsv6" width="700" height="500" border="888888" />|2=GeoGebra-Applet zu Nr. 10|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Originallink https://www.geogebra.org/m/edwwkzk6 <br>
<ggb_applet id="edwwkzk6" width="1242" height="730" border="888888" />|2=GeoGebra-Applet zu Nr. 13|3=Verbergen}}

{{Box|Übung 20 - Punktprobe|Prüfe zeichnerisch (GeoGebra) und rechnerisch (Punktprobe), ob der Punkt P auf der Parabel liegt.
* S. 16, Nr. 6|Üben}}
{{Lösung versteckt|1=Verschiebe den Scheitelpunkt passend zur Funktionsgleichung. Prüfe dann, ob der angegebene Punkt auf der Parabel liegt.<br>
<ggb_applet id="hvm9xfmm" width="949" height="813" border="888888" />|2=Tipp zu Nr. 6 (Probe durch Zeichnung)|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Rechnerische Probe: PUNKTPROBE<br>
Setze die Koordinaten des Punktes in die Funktionsgleichung ein prüfe, ob ein wahre (Punkt liegt auf der Parabel) oder falsche (Punkt liegt nicht auf der Parabel) Aussage entsteht.|2=Tipp zu Nr. 6 (Rechnerische Probe: Punktprobe)|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Musterlösung zu Aufgabenteil a)<br>
f(x) = (x-4)²; P(<span style="color:red">1</span>&#124;<span style="color:blue">9</span>)<br>
<span style="color:blue">9</span> = (<span style="color:red">1</span>-4)²<br>
9 = (-3)²<br>
9 = 9 (w)<br>
Es entsteht eine wahre Aussage (w), also liegt der Punkt auf der Parabel.|2=Tipp zu Nr. 6 (Musterlösung zu a)|3=Verbergen}}

{{Box|1=Zusammenfassung|2=Quadratische Funktionen haben verschiedene Strukturen, die zugehörigen Parabeln haben dementsprechend bestimmte Formen.<br>
<div class="grid">
 <div class="width-1-3">f(x) = ax² mit S(0&#124;0)<br>
[[Datei:F(x)=ax².png|rahmenlos]]</div>
 <div class="width-1-3">f(x) = ax² + c mit S(0&#124;c)<br>
[[Datei:F(x)=ax²+c.png|rahmenlos]]</div>
 <div class="width-1-3">f(x) = a(x + d)² + e mit S(-d&#124;e)<br>
[[Datei:F(x)=a(x+d)²+e.png|rahmenlos]]</div>
</div>|3=Arbeitsmethode}}
{{LearningApp|app=pa368wnrk22|width=100%|height=600px}}
{{LearningApp|app=pniax2v4519|width=100%|heigth=600px}}


{{Box|Übung 21: Modellieren mit quadratischen Funktionen|[[Datei:Modellieren(1).jpg|rahmenlos|rechts|200x200px]]Löse die Aufgabe aus dem Buch. Erstelle eine Skizze und notiere deine Lösungen ausführlich und übersichtlich.
* S. 25, Nr. 6|Üben}}
{{Lösung versteckt|1=Die Weite x und die Höhe y beziehen sich immer auf den Körperschwerpunkt.|2=Tipp zu Nr. 6|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Die Funktionsgleichung hat die Form f(x) = a(x + d)² + e, mit a=-0,05, also nach unten geöffnet und gestaucht und S(3&#124;1,8). Skizze:<br> 
[[Datei:SP 10 S.25 Nr.6 Skizze.png|rahmenlos]]|2=Tipp zu Nr. 6 (Skizze)|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Gegeben ist die Höhe, also die y-Koordinate, gesucht sind die zugehörigen x-Koordinaten der Punkte P und Q .<br>[[Datei:SP 10 S. 25 Nr.6a Skizze.png|rahmenlos|600x600px]]|2=Tipp zu Nr. 6a|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|Die maximale Höhe des Körperschwerpunktes ist mathematisch die y-Koordinate des Scheitelpunktes. Diese kannst du in der Scheitelpunktform abelsen: S(3&#124;1,8), also...|Tipp zu Nr. 6b|Verbergen}}
{{Lösung versteckt|Erkundige dich, wie hoch und breit ein Auto ist. Zeichne es dann symmetrisch zum Scheitelpunkt in deine Skizze und überlege, welche Größen gesucht sind.<br>
Skizze: <br>
[[Datei:SP 10 S.25 Nr.6c Skizze.png|rahmenlos]]|Tipp zu Nr. 6c|Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Die Sprungweite entspricht der 2. Nullstelle, also f(x) = 0.<br>
Vergleiche deine rechnerische Lösung mit der tatsächlichen Sprungweite von 8,90m.|2=Tipp zu Nr. 6e|3=Verbergen}}


{{Fortsetzung|weiter=6 Die Normalform quadratischer Funktionen f(x) = x² + px + q|weiterlink=Benutzer:Buss-Haskert/Quadratische Funktionen/Normalform}}