Quelltext der Seite Benutzer:Buss-Haskert/Kreis und Zylinder/Kreisfläche

{{Fortsetzung|vorher=zurück zur Seite der Herta-Lebenstein-Realschule|vorherlink=Herta-Lebenstein-Realschule}}
<br>
SEITE IM AUFBAU!!
{{Navigation|[[Benutzer:Buss-Haskert/Kreis und Zylinder|Kreis und Zylinder - Startseite]]<br>
[[Benutzer:Buss-Haskert/Kreis und Zylinder/Kreisumfang|1 Kreisumfang]]<br>
[[Benutzer:Buss-Haskert/Kreis und Zylinder/Kreisfläche|2 Kreisfläche]]<br>
[[Benutzer:Buss-Haskert/Kreis und Zylinder/Kreisteile|3 Kreisteile]]
}}
<br>
==Kreisfläche A==
{{Box|Pizza - mini oder maxi|[[Datei:Green-pepper-2024889 1280.png|rechts|rahmenlos|200x200px]][[Datei:Green-pepper-2024889 1280.png|rechts|rahmenlos|300x300px]]In deiner Lieblingspizzeria werden die Pizzen in zwei verschiedenen Größen angeboten: <br>
Die Mini-Pizza hat einen Durchmesser von 20 cm,<br>
<br> der Durchmesser der Maxi-Pizza beträgt 40cm.<br>
<br>
Pizza "Green Pepper" mini - 4,20 €<br>
<br>
Pizza "Green Pepper" maxi - 12,60 €.<br>
<br>
Wo bekommst du mehr Pizza für dein Geld?<br>
Diskutiert, welche Größen gegeben bzw. gesucht sind.|Meinung}}
{{Lösung versteckt|Du hast jeweils den Durchmesser der Pizzen gegeben, damit kannst du den Radius berechnen.<br>
Um die Frage zu beantworten, musst du den Flächeninhalt der Pizzen berechnen können.<br>
Zum Schluss muss der jeweilige Preis durch die Fläche dividiert werden, dann kannst du vergleichen, wie groß die Fläche ist, die du pro Euro bekommst.|Tipp|Verbergen}}

===2.1 Kreisfläche - Herleitung der Formel===
{{Box|Kreisfläche - Herleitung der Formel|Führe die beschriebenen Schritte im GeoGebra-Applet durch. <br>
[[Datei:Kreisfläche GeoGebra Arbeitsauftrag.png|rahmenlos|600x600px]]<br>
[[Datei:Kreisfläche GeoGebra Arbeitsauftrag Teil 2.png|rahmenlos|600x600px]]<br>
a) Beschreibe, was geschieht.<br>
b) Welche Figur entsteht?<br>
c) Leite damit eine Formel für die Kreisfläche her.|Unterrichtsidee}}
<ggb_applet id="RvbbbEAg" width="980" height="566" border="888888" />
Applet von Anthony Or. Education Bureau<br>

{{Lösung versteckt|1=Das Applet ist einfacher dargestellt und gibt bei er neu entstandenen Figur die Längen an. Kannst du nun eine Formel für den Flächeninhalt herleiten?<br>
<ggb_applet id="jpx7xqUb" width="651" height="300" border="888888" />
Applet von R. Schmidt|2=Tipp 1|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Die Fläche, die durch das Einteilen des Kreises und das Umlegen entsteht, hat annähernd die Form eines Rechtecks mit den Seitenlängen a=<math>\tfrac{u}{2}</math> (halber Umfang) und b = r (Radius)<br>
[[Datei:Kreisfläche Herleitung Bild 1.PNG|rahmenlos|600x600px]]
|2=Tipp 2|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=[[Datei:Kreisfläche Herleitung Bild 1.PNG|rahmenlos|600x600px]]
Also gilt: <br>
A = a·b &nbsp;&nbsp;&#124; Setze für a den halben Umfang und für b den Radius ein.<br>
&nbsp;&nbsp; = <math>\tfrac{u}{2}</math> · r &nbsp;&nbsp;&#124; Setze für u die Formel für den Umfang ein: u =2πr.<br>
&nbsp;&nbsp; = <math>\tfrac{2πr}{2}</math> · r &nbsp;&nbsp;&#124; Kürze mit 2.<br>
&nbsp;&nbsp; = πr · r &nbsp;&nbsp;&#124; Fasse r·r zusammen. <br>
&nbsp;&nbsp; = π·r²|2=Tipp 3 (Herleitung der Formel)|3=Verbergen}}

Das Video fasst die Herleitung der Formel zusammen:
<div class="grid">
 <div class="width-1-2">{{#ev:youtube|yFuTUdVxzFQ|460|center|||start=89&end=234}}</div>
 <div class="width-1-2">{{#ev:youtube|3uF_o39vGC4|460|center}}</div>
</div>

<br>
Eine weitere Möglichkeit, den Flächeninhalt eines Kreises abzuschätzen, zeigt das folgende Applet von Pöchtrager:<br>
Beschreibe!<br>
<ggb_applet id="cQeSV4tC" width="800" height="500" border="888888" />
<br>
<br>

{{Box|1=Kreisfläche - Formel|2=Den Flächeninhalt A eines Kreises kann man mithilfe des Radius r berechnen:<br><br>
<big><big>''' A = π r²'''</big></big><br>
<br>
 Wenn der Durchmesser gegeben ist, berechne zunächst den Radius r =<math>\tfrac{d}{2}</math>.|3=Arbeitsmethode}}
<br>
Merke dir die Formel mit dem Lied von Dorfuchs:
{{#ev:youtube|h43mo0QXnDk|800|center}}<br>


===2.2 Kreisfläche - Berechnungen===


{{Box|1=Kreisfläche - Formel umstellen|2=Stelle die Formel für den Flächeninhalt des Kreises <br>
A = π·r²  nach r um. <br>
Übertrage anschließend die Beispielaufgaben in dein Heft.|3=Arbeitsmethode}}
{{Lösung versteckt|Erinnerung: Die Umkehraufgabe für das Quadrieren ist das Wurzelziehen:<br>
[[Datei:Flächeninhaltesformel umstellen nach r.png|rahmenlos|271x271px]]|Tipp|Verbergen}}
Beispiele:<br>
<div class="grid">
 <div class="width-1-2">Fläche A berechnen:<br>
geg: r = 3,0 cm<br>
ges: A<br>
A = π · r² &nbsp;&nbsp;&#124;Wert einsetzen<br>
&nbsp;&nbsp; = π · 3,0² <br>
&nbsp;&nbsp; = 28,27 (cm²)</div>
 <div class="width-1-2"><br>
geg: d = 5,0 cm<br>
ges: A<br>
r = <math>\tfrac{d}{2}</math> = <math>\tfrac{5}{2}</math> = 2,5 (cm)<br>
A = π · r² &nbsp;&nbsp;&#124;Wert einsetzen<br>
&nbsp;&nbsp; = π · 2,5² <br>
&nbsp;&nbsp; = 19,63 (cm²)</div>
</div>
<div class="grid">
 <div class="width-1-2">Radius r berechnen:<br>
geg: A = 7,0 cm²<br>
ges: r<br>
A = π · r² &nbsp;&nbsp;&#124;: π<br> 
<math>\tfrac{A}{\pi}</math> = r2 &nbsp;&nbsp;&#124;<math>\surd</math><br>
<math>\sqrt{\tfrac{A}{\pi}}</math> = r &nbap;&nbsp;&#124;Wert einsetzen<br>
<math>\sqrt{\tfrac{7,0}{\pi}}</math> = r<br>
1,5 (cm) ≈ r
</div>
 <div class="width-1-2">Durchmesser d berechnen:<br>
geg: A = 18,10 cm²<br>
ges: d<br>
d = 2·r; Berechne zunächst r:<br>
A = π · r² &nbsp;&nbsp;&#124;: π<br> 
<math>\tfrac{A}{\pi}</math> = r2 &nbsp;&nbsp;&#124;<math>\surd</math><br>
<math>\sqrt{\tfrac{A}{\pi}}</math> = r &nbap;&nbsp;&#124;Wert einsetzen<br>
<math>\sqrt{\tfrac{18,10}{\pi}}</math> = r<br>
2,4 (cm) ≈ r<br>
d = 2·r = 2 · 2,4 = 4,8 (cm)</div>
</div>
<br>
<div class="grid">
 <div class="width-1-2">{{#ev:youtube|1ZxxcctOYlc|460|center}}</div>
 <div class="width-1-2">{{#ev:youtube|9KYowFl5VKc|460|center}}</div>
</div>

<br>
{{Box|Übung 1 - online|Löse auf der Seite [https://aufgabenfuchs.de/mathematik/flaeche/kreis/kreisflaeche.shtml'''Aufgabenfuchs'''] die Aufgaben
* 1
* 2
* 3
* 4|Üben}}

{{Box|Übung 2|Löse die Aufgaben aus dem Buch. Schreibe ausführlich und übersichtlich. Notiere - falls nötig - und die Umstellung der Formel. Vergleiche deine Lösungen und hake ab.
* S. 131 Nr. 1 (Wähle eine Aufgaben aus.)
* S. 131 Nr. 2 (Wähle eine Aufgabe aus.)
* S. 132 Nr. 3 (Wähle aus: a und c oder b und d)
* S. 132 Nr. 4 |Üben}}

{{Box|Übung 3 - Zusammenhang zwischen Radius und Umfang bzw. Radius und Flächeninhalt|Ergänze die Tabelle.<br>
[[Datei:Tabelle Zusammenhang Radius Umfang Flächeninhalt Kreis.png|rahmenlos|800x800px]]<br>
Trage die Werte in ein Koordinatenkreuz ein. Was fällt dir auf?
Fülle den Lückentext aus und übertrage ihn in dein Heft.|Üben}}
<div class="lueckentext-quiz">
Radius r  und Umfang u:<br>
Wenn man den Radius r eines Kreises verdoppelt, verdreifacht, vervierfacht,... dann'''verdoppelt''', '''verdreifacht''', '''vervierfacht''' sich der Umfang u.<br>
Radius r und Flächeninhalt A:<br>
Wenn man den Radius r eines Kreises verdoppelt, verdreifacht, vervierfacht,... dann'''vervierfacht''', '''verneunfacht''', '''versechzehnfacht''' sich der Flächeninhalt A.
</div>
Prüfe deine Vermutung mit dem nachfolgenden GeoGebra-Applet:<br>
<ggb_applet id="ykxmvvzd" width="1522" height="733" border="888888" /><br>

===2.3 Kreisfläche - Anwendungen===
[[Datei:Green-pepper-2024889 1280.png|rechts|rahmenlos|200x200px]]Jetzt kannst du die Einführungsaufgabe lösen: Bei welcher Pizza erhältst du mehr Pizza für dein Geld?<br>


====Geometrische Anwendungen====
{{Box|Übung 4 - Geometrische Anwendungen|Löse die Aufgaben aus dem Buch. Notiere deine Überlegungen ausführlich und übersichtlich. Zeichne - falls nötig - Teilskizzen. Prüfe deine Lösungen und hake ab.
* S. 132 Nr. 6
* S. 132 Nr. 8|Üben}}
{{Lösung versteckt|1='''Um'''fang u: Die Ameise läuft außen '''um''' die Figur her'''um'''. Addiere die Teilstrecken.<br>
Flächen'''in'''halt A: Male die Fläche '''in'''nen dr'''in''' aus.<br>
Zerlege die Figur in Teilflächen A<sub>1</sub>, A<sub>2</sub>,... und berechne deren Flächeninhalt. Bestimme dann den gesamten Flächeninhalt als Summe der Teilflächen.|2=Tipp zu Nr. 6|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Der Radius der Halbkreise beträgt r = 1 cm, denn <br>
[[Datei:S. 132 Nr. 6a Tipp.png|rahmenlos]]<br>
Für den Umfang läuft die Ameise an drei Seiten des Quadrates und den Halbkreisbogen entlang.<br>
Berechne den Umfang des Halbkreises: u<sub>Halbkreis</sub> = <math>\tfrac{1}{2}</math>·u<sub>Kreis</sub> = <math>\tfrac{1}{2}</math>·2·π·r = π·r<br>
Lösung: u = 9,1cm|2=Tipp zur Berechnung des Umfangs Nr. 6a|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Der Flächeninhalt der Figur setzt sich zusammen aus dem Flächeninhalt des Quadrates A <sub>1</sub>und dem Flächeninhalt des Halbreises A<sub>2</sub>.<br>
Berechne den Flächeninhalt des Halbkreises A<sub>2</sub> = A<sub>Halbkreis</sub> = <math>\tfrac{1}{2}</math>·A<sub>Kreis</sub> = <math>\tfrac{1}{2}</math>·π·r².<br>
Lösung: 5,57cm²|2=Tipp zur Berechnung des Flächeninhaltes Nr. 6a|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Musterlösung (Schreibweisen) zu Nr. 6a:<br>
Umfang u:<br>
u<sub>Halbkreis</sub> = <math>\tfrac{1}{2}</math>·u<sub>Kreis</sub><br>
&nbsp;&nbsp; = <math>\tfrac{1}{2}</math>·2·π·r<br>
&nbsp;&nbsp; = π·r<br>
&nbsp;&nbsp; = π·1<br>
&nbsp;&nbsp; = 3,14 (cm)<br>
u<sub>gesamt</sub> = 2 + 2 + 2 + 3,14 = 9,14 (cm)<br>
<br>
Flächeninhalt A:<br>
<div class="grid">
 <div class="width-1-3">
A<sub>1</sub> = A<sub>Quadrat</sub><br>
&nbsp;&nbsp; = 2²<br>
&nbsp;&nbsp; = 4 (cm²)</div>
 <div class="width-1-3">
A<sub>2</sub> = A<sub>Halbkreis</sub> <br>
&nbsp;&nbsp; = <math>\tfrac{1}{2}</math>·A<sub>Kreis</sub><br>
&nbsp;&nbsp; = <math>\tfrac{1}{2}</math>·π·r²<br> 
&nbsp;&nbsp; = <math>\tfrac{1}{2}</math>·π·1²<br>
&nbsp;&nbsp; = 1,57 (cm²)</div>
<div class="width-1-3"></div>
</div>
A<sub>gesamt</sub> = A<sub>1</sub> + A<sub>2</sub><br>
&nbsp;&nbsp; = 4 + 1,57<br>
&nbsp;&nbsp; = 5,57 (cm²)|2=Musterlösung zu Nr. 6a (Schreibweisen)|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Umfang u: Die Ameise läuft 4 Viertelkreisbögen, also um einen ganzen Kreis herum. Außerdem läuft sie viermal die Strecke vom 4cm. <br>
Lösung: u = 41,1 cm <br>
Flächeninhalt A: Die Fläche setzt sich zusammen aus dem Quadrat in der Mitte und 4 Viertelkreisen, also einem ganzen Kreis.<br>
Lösung: A = 66,3 cm²|2=Tipp zu Nr. 6 b|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Umfang u: Das Dreieck ist ein gleichschenklig rechtwinkliges Dreieck. Die Basis ist 4cm lang. Bestimme die Länge der Schenkel mit dem Satz des Pythagoras.<br>
[[Datei:S. 132 Nr. 6c Tipp.png|rahmenlos]]<br>
Lösung: u = 11,9cm<br>
Flächeninhalt A: Die Fläche setzt sich zusammen aus dem Flächeninhalt A<sub>1</sub> des Dreiecks und dem Flächeninhalt A<sub>2</sub> des Halbkreises.<br>
Da das Dreieck rechtwinklig ist, sind die Schenkel je Grundseite und Höhe des Dreiecks.<br>
Lösung: A<sub>gesamt</sub> = 3,92 + 6,28 = 10,2 (cm²) (mit genauen Werten 10,3)|2=Tipp zu Nr. 6c|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Umfang u: Auch hier handelt es sich um ein gleichschenklig rechtwinkliges Dreieck. Bestimme die Schenkellänge mit dem Satz des Pythagoras (vgl. Aufgabe 6c). Der Umfang der zwei Halbkreise ist genauso groß wie der Umfang eines ganzen Kreises. <br>
Radius r = 12:4 = 3 (cm)<br>
Lösung: u = 35,8 (cm)<br>
Flächeninhalt A: Lösung: 64,4 (cm²) (mit genauen Werten 64,3)|2=Tipp zu Nr. 6d|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Der Winkel 45° bedeutet, dass es sich bei dem Dreieck um ein halbes Quadrat handelt. Das Dreieck ist also ebenfalls gleichschenklig rechtwinklig. <br>
Damit beträgt der Radius  des Halbkreises r = 4,5:2 = 2,25 (cm) .<br>
Umfang u: Bestimme die Hypotenuse des Dreiecks mit dem Satz des Pythagoras.<br>
Lösung: u = 18,0 cm (mit genauen Werten 17,9)<br>
Flächeninhalt A: Lösung: A = 18,07 cm²|2=Tipp zu Nr. 6e|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Berechne den Radius des Halbkreises mit dem Satz des Pythagoras.<br>
[[Datei:S. 132 Nr. 6f Tipp.png|rahmenlos]]<br>
Lösung: Umfang u = 38,8cm<br>
Flächeninhalt A: Die Grundseite des Dreiecks ist 2r lang, die Höhe beträgt 8cm. Berechne damit den Flächeninhalt des Dreiecks. Falls du die Formel nicht mehr weißt, findest du sie hinten im Schulbegleiter.<br>
Lösung: Flächeninhalt A = 104,55 cm²|2=Tipp zu Nr. 6f|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Der Durchmesser d beträgt immer 8cm. Bestimme jeweils den Durchmesser bzw. Radius der kleineren Kreise und berechne damit den Umfang und den Flächeninhalt der Figur.|2=Tipp zu Nr. 8|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Der Umfang u setzt sich zusammen aus dem Umfang des großen Halbkreises und dem Umfang eines ganzen kleinen Kreises (zwei Halbkreise).
Lösung: u = 25,1cm<br>
Um die Fläche der Figur zu berechnen, subtrahiere vom großen Halbkreis die zwei kleinen Halbkreise (bzw. einen ganzen kleinen Kreis).<br>
A<sub>Figur</sub> = <math>\tfrac{1}{2}</math>π·4² - π·2² = 12,57 (cm²)|2=Tipp zu Nr. 8a|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Der Umfang der Figur ist genauso groß wie in Teil a.<br>
Der Flächeninhalt setzt sich zusammen aus der Summe des großen Halbkreises und eines kleinen Kreises.<br>
Lösung: u = 25,1cm; A = 37,70cm²|2=Tipp zu Nr. 8b|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Der Umfang der Figur setzt sich zusammen aus dem großen Halbkreis, dem mittleren Halbkreis und zwei kleinen Halbkreisen (also einem ganzen kleinen Kreis).<br>
Lösung: u = 25,1cm<br>
Der Flächeninhalt der Figur setzt sich zusammen aus dem Flächeninhalt des großen Halbreises + dem Flächeninhalt des mittleren Halbkreises - zwei kleinen Halbkreisen (also einem ganzen kleinen Kreis).<br>
Lösung:A = 28,27cm³|2=Tipp zu Nr. 8c|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Der Umfang der Figur setzt sich zusammen aus dem Umfang des großen Halbkreises und dem Umfang eines ganzen kleinen Kreises (zwei Halbkreise).<br>
Lösung: 25,1cm<br>
Der Flächeninhalt der Figur ist gleich dem Flächeninhalt des großen Halbkreises, denn der kleine Halbkreis wird einmal addiert und dann wieder subtrahiert.<br>
Lösung: A = 25,13cm²|2=Tipp zu Nr. 8d|3=Verbergen}}




{{Box|Übung 5 - Geometrische Anwendungen|Löse auf der Seite [https://aufgabenfuchs.de/mathematik/flaeche/kreis/kreisflaeche.shtml'''Aufgabenfuchs'''] die Aufgaben
* 12
* 13
* 14
* 18<br>
ODER:<br>
Konstruiere mit dem Zirkel Figuren aus Kreisen bzw. Halbkreisen und berechne dazu Umfang und Flächeninhalt.|Üben}}

====Sachsituationen====
{{Box|Übung 6 - Sachsituationen|Löse so viele Aufgaben, dass du mindestes 7 Sternchen sammelst. Notier deine Rechnungen ausführlich und übersichtlich. Prüfe deine Lösungen und hake ab.
* S. 133 Nr. 10 (*)
* S. 134 Nr. 16 (*)
* S. 134 Nr. 17 (*)
* S. 134 Nr. 18 (*)
* S. 134 Nr. 20 (**)
* S. 134 Nr. 21 (**)
* S. 150 Nr. 7 (*)
* S. 150 Nr. 8 (**)
* S. 150 Nr. 9 (**)|Üben}}
{{Lösung versteckt|1=Der Flächeninhalt des Verschnittes berechnest du, indem du die Kreisflächen von der Quadratfläche subtrahierst. Bestimme für die Berechnung der Kreisflächen jeweils den Radius der Kreise.<br>
A<sub>Verschnitt</sub> = A<sub>Quadrat</sub> - A<sub>Kreise</sub><br>
&nbsp;&nbsp;&nbsp; = 80 · 80 - 1·π·40²<br>
&nbsp;&nbsp;&nbsp; = 1600 - 5026,55<br>
&nbsp;&nbsp;&nbsp; = 1373,45cm²<br>
Rechne weiter für die übrigen Figuren. Was fällt dir auf?<br>
Der Flächeninhalt der Kreise insgesamt beträgt immer 5026,55 cm², daher bleibt der Verschnitt gleich.|2=Tipp zu Nr. 10|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Der Mobilfunkmast gibt die Signale in jede Richtung weiter, das erreichte Gebiet ist also kreisförmig mit dem Radius r = 10km.|2=Tipp zu Nr. 16|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=[[Datei:Windrad Seligweiler.jpg|rahmenlos]]<br>
Die Flügellänge entspricht dem Radius, die Winderntefläche der Kreisfläche.<br>
Lösung: a) A ≈ 1122,21 m²<br>
b) A ≈ 3848,45 m²|2=Tipp zu Nr. 16|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Die Kreisform entsteht, da die Bewässerungsanlagen sich kreisförmig drehen.<br>
Um die ungenutzte Fläche zu berechnen, subtrahiere die Kreisfläche von der quadratischen Fläche.<br>
Lösung: 8584 m²|2=Tipp zu Nr. 18|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Schätze die Größe des Mannes (ca. 1,80m) und damit den Durchmesser der Iris (ca. 3,20m). Berechne nun die Kreisfläche.<br>
Um die Größe des Plakates zu bestimmen, überlege, wie groß die Iris im Verhältnis zur Körpergröße ist.|2=Tipp zu Nr. 20|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Berechne zunächst die Fläche des Topfbodens und die Fläche der Herdplatte.<br>
Wie viel Prozent der Herdplatte werden vom Topf abgedeckt? p% = <math>\tfrac{A_Topf}{A_Platte}</math>|2=Tipp zu Nr. 21|3=Verbergen}}<br>
NOCH ERGÄNZEN!!
<br>

{{Box|Übung 5 - Sachsituationen online|Löse auf der Seite [https://aufgabenfuchs.de/mathematik/flaeche/kreis/kreisflaeche.shtml'''Aufgabenfuchs'''] die Aufgaben
* 9
* 10
* 25
* 26
* 27
* 28 
Löse auf auf der Seite [https://mathe.aufgabenfuchs.de/flaeche/kreis/kreis.shtml '''Aufgabenfuchs 2'''] die Aufgabe
* 44|Üben}}



{{Fortsetzung|weiter=3 Kreisteile|weiterlink=Benutzer:Buss-Haskert/Kreis und Zylinder/Kreisteile}}