Jule Volbers/Testseite: Unterschied zwischen den Versionen
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# Eine rechteckige Tischdecke hat eine Fläche von 0,6 m². Welche Fläche hat eine rechteckige Tischdecke, deren Seitenlängen doppelt so lang sind? | # Eine rechteckige Tischdecke hat eine Fläche von 0,6 m². Welche Fläche hat eine rechteckige Tischdecke, deren Seitenlängen doppelt so lang sind? | ||
# Eine Riesenpizza hat eine Fläche von 2000 cm². Welche Fläche hat eine Pizza, deren Durchmesser nur halb so groß ist? | # Eine Riesenpizza hat eine Fläche von 2000 cm². Welche Fläche hat eine Pizza, deren Durchmesser nur halb so groß ist? | ||
Kontrolliere anschließend deine Lösung. | Kontrolliere anschließend deine Lösung. | ||
|Üben|Farbe={{Farbe|orange|heller}}}} | |||
{{Lösung versteckt|1 = # (1/4)²=1/16. 32* 1/16= 2. Das Quadrat hat einen Flächeninhalt von 2 cm³ | {{Lösung versteckt|1 = # (1/4)²=1/16. 32* 1/16= 2. Das Quadrat hat einen Flächeninhalt von 2 cm³ | ||
# 5² = 25. 10*25 = 250. Der Kreis hat einen Flächeninhalt von 250 cm². | # 5² = 25. 10*25 = 250. Der Kreis hat einen Flächeninhalt von 250 cm². | ||
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# Der Skalierungsfaktor ist 2; 2²= 4. 0,6*4 = 2,4. Die Tischdecke hat einen Flächeninhalt von 2,4 m². | # Der Skalierungsfaktor ist 2; 2²= 4. 0,6*4 = 2,4. Die Tischdecke hat einen Flächeninhalt von 2,4 m². | ||
# Der Skalierungsfaktor ist 0,5. 0,5² = 0,25. 2000*0,25 = 500. Die Pizza hat eine Fläche von 500 cm². |2= Lösung|3=einklappen}} | # Der Skalierungsfaktor ist 0,5. 0,5² = 0,25. 2000*0,25 = 500. Die Pizza hat eine Fläche von 500 cm². |2= Lösung|3=einklappen}} | ||
=='''3. So wachsen Volumen von Objekten beim Vergrößern und Verkleinern'''== | =='''3. So wachsen Volumen von Objekten beim Vergrößern und Verkleinern'''== | ||
{{Box|Idee|Auch für das Volumen von Körpern gibt es eine Gesetzmäßigkeit, mit der die Volumen beim Vergrößern oder Verkleinern wachsen bzw. schrumpfen. Diese Gesetzmäßigkeit sollst du am Beispiel eines Würfels erarbeiten:|Unterrichtsidee }} | {{Box|Idee|Auch für das Volumen von Körpern gibt es eine Gesetzmäßigkeit, mit der die Volumen beim Vergrößern oder Verkleinern wachsen bzw. schrumpfen. Diese Gesetzmäßigkeit sollst du am Beispiel eines Würfels erarbeiten:|Unterrichtsidee }} | ||
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# Überlegt, mit welchem Faktor das Volumen multiplizieren muss, wenn man einen Körper mit dem Faktor k skaliert. | # Überlegt, mit welchem Faktor das Volumen multiplizieren muss, wenn man einen Körper mit dem Faktor k skaliert. | ||
Kontrolliere dein Ergebnis. | Kontrolliere dein Ergebnis. | ||
|Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|orange}}}} | |||
{{Lösung versteckt|1=1. bis 3.: Siehe Tabelle. [[Datei:Würfelwachstum3.jpg|300px|right]] | {{Lösung versteckt|1=1. bis 3.: Siehe Tabelle. [[Datei:Würfelwachstum3.jpg|300px|right]] | ||
4: In der Tabelle kann man die Werte für zwei Verdopplungen ablesen (blaue Pfeile). Das Volumen wächst jeweils auf das Achtfache. | 4: In der Tabelle kann man die Werte für zwei Verdopplungen ablesen (blaue Pfeile). Das Volumen wächst jeweils auf das Achtfache. | ||
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5. Für eine Verdopplung - also k = 2 ist der Faktor 2²=8. Für eine Verdreifacung - also k = 3 ist der Faktor 3³ = 27. Allgemein gilt: Skaliert man einen Körper mit dem Faktor k, muss man das Volumen mit dem Faktor k³ multiplizieren. (Man sagt auch: Volumen wachsen kubisch.) | 5. Für eine Verdopplung - also k = 2 ist der Faktor 2²=8. Für eine Verdreifacung - also k = 3 ist der Faktor 3³ = 27. Allgemein gilt: Skaliert man einen Körper mit dem Faktor k, muss man das Volumen mit dem Faktor k³ multiplizieren. (Man sagt auch: Volumen wachsen kubisch.) | ||
|2= Lösung |3=einklappen}} | |2= Lösung |3=einklappen}} | ||
Ergänze den Lückentext. Prüfe das Ergebnis und übertrage die Lösung in den Kasten "Würfelwachstum" in deinem Begleitmaterial. | Ergänze den Lückentext. Prüfe das Ergebnis und übertrage die Lösung in den Kasten "Würfelwachstum" in deinem Begleitmaterial. | ||
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# Tom hat Glasmurmeln verschiedener Größen. Die kleinste Glasmurmel wiegt 4 Gramm. Wie schwer ist die größte Murmel, deren Durchmesser fünfmal so groß ist? | # Tom hat Glasmurmeln verschiedener Größen. Die kleinste Glasmurmel wiegt 4 Gramm. Wie schwer ist die größte Murmel, deren Durchmesser fünfmal so groß ist? | ||
# Die abgebildete Vase hat ein Volumen von 400 ml. Welches Volumen hat die Vase, wenn sie mit dem Faktor 2 (Faktor 0,5) skaliert wurde? | # Die abgebildete Vase hat ein Volumen von 400 ml. Welches Volumen hat die Vase, wenn sie mit dem Faktor 2 (Faktor 0,5) skaliert wurde? | ||
|Üben|Farbe={{Farbe|orange|heller}}}} | |||
{{Lösung versteckt|1= # 0,5³= 0,125 8*0,125= 1. Der Würfel hat ein Volumen von 1 cm³ | {{Lösung versteckt|1= # 0,5³= 0,125 8*0,125= 1. Der Würfel hat ein Volumen von 1 cm³ | ||
# Der Skalierungsfaktor ist 5. 5³=125. 4*125= 500 Die größte Murmel wiegt 500 g. | # Der Skalierungsfaktor ist 5. 5³=125. 4*125= 500 Die größte Murmel wiegt 500 g. | ||
# Skalierungsfaktor 2: 2³=8, 400*8=3200. Die Vase hat ein Volumen von 3200 ml = 3,2 l. | # Skalierungsfaktor 2: 2³=8, 400*8=3200. Die Vase hat ein Volumen von 3200 ml = 3,2 l. | ||
Skalierungsfaktor 0,5: 0,5³=0,125, 400*0,125= 50. Die Vase hat ein Volumen von 50 ml. |2= Lösung|3=einklappen}} | Skalierungsfaktor 0,5: 0,5³=0,125, 400*0,125= 50. Die Vase hat ein Volumen von 50 ml. |2= Lösung|3=einklappen}} | ||
=='''4. Längen, Flächen und Volumen beim Skalieren - vernetzte Aufgaben'''== | =='''4. Längen, Flächen und Volumen beim Skalieren - vernetzte Aufgaben'''== | ||
Lies die Zusammenfassung und übertrage die fett gedruckten Worte in die Box "So verändern sich Längen, Flächeninhalte und Volumina beim Skalieren" | Lies die Zusammenfassung und übertrage die fett gedruckten Worte in die Box "So verändern sich Längen, Flächeninhalte und Volumina beim Skalieren" | ||
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In der Tabelle zu dieser Aufgabe im Begleitmaterial findest du Angaben zum originalen Schachbrett. Gib den Skalierungsfaktor an und berechne dann alle Maße und Gewichte für das vergrößerte Schachbrett. Trage alle Ergebnisse in die Tabelle ein. | In der Tabelle zu dieser Aufgabe im Begleitmaterial findest du Angaben zum originalen Schachbrett. Gib den Skalierungsfaktor an und berechne dann alle Maße und Gewichte für das vergrößerte Schachbrett. Trage alle Ergebnisse in die Tabelle ein. | ||
Kontrolliere anschließend deine Lösung. | Kontrolliere anschließend deine Lösung. | ||
|Üben|Farbe={{Farbe|orange|heller}}}} | |||
{{Lösung versteckt|1= | {{Lösung versteckt|1= | ||
[[Datei:SchachbrettLösungen.jpg|mini]] | [[Datei:SchachbrettLösungen.jpg|mini]] | ||
|2= Lösung|3=einklappen}} | |2= Lösung|3=einklappen}} | ||
{{Box|Die Riesentasse |[[Datei:Teetasse.jpg|200px|right]] | {{Box|Die Riesentasse |[[Datei:Teetasse.jpg|200px|right]] | ||
''Hinweis: Für diese Aufgabe benötigst du dein Begleitmaterial. '' | ''Hinweis: Für diese Aufgabe benötigst du dein Begleitmaterial. '' | ||
Auch die Teetasse musste mit dem Faktor 10 vergrößert werden. In der Tabelle zu dieser Aufgabe im Begleitmaterialfindest du Angaben zur originalen Teetasse. Berechne alle Flächenmaße und das Volumen der vergrößerten Tasse. | Auch die Teetasse musste mit dem Faktor 10 vergrößert werden. In der Tabelle zu dieser Aufgabe im Begleitmaterialfindest du Angaben zur originalen Teetasse. Berechne alle Flächenmaße und das Volumen der vergrößerten Tasse. | ||
|Üben|Farbe={{Farbe|orange|heller}}}} | |||
{{Lösung versteckt|1= Da die Gegenstände mit dem Faktor 10 vergrößert wurden, wachsen die Flächen auf das Hundertfache. Die Untertasse hat also eine Fläche von 180*100 = 18000 cm². Dies sind 1,8 m² , die Teetasse hat eine Oberfläche von 210*100 = 21000 cm². Das sind 2,1m² | {{Lösung versteckt|1= Da die Gegenstände mit dem Faktor 10 vergrößert wurden, wachsen die Flächen auf das Hundertfache. Die Untertasse hat also eine Fläche von 180*100 = 18000 cm². Dies sind 1,8 m² , die Teetasse hat eine Oberfläche von 210*100 = 21000 cm². Das sind 2,1m² | ||
1= 150000 ml= 150 l |2= Lösung|3=einklappen}} | 1= 150000 ml= 150 l |2= Lösung|3=einklappen}} | ||
{{Box|Sprinteraufgabe 2: Wie groß ist Alice?|Schätze mit Hilfe der Größe der Teetasse die ungefähre Größe der Alice-Darstellerin. | {{Box|Sprinteraufgabe 2: Wie groß ist Alice?|Schätze mit Hilfe der Größe der Teetasse die ungefähre Größe der Alice-Darstellerin. | ||
|Experimentieren|Farbe={{Farbe |komplementär |dunkel}}}} | |||
{{Lösung versteckt|1= | {{Lösung versteckt|1= | ||
# Die Teetasse ist etwa zwei Drittel so groß wie Alice. Da die vergrößerte Teetasse 80 cm hoch ist, ist die Schauspielerin also ca. 1,20 m groß. |2= Lösung|3=einklappen}} | # Die Teetasse ist etwa zwei Drittel so groß wie Alice. Da die vergrößerte Teetasse 80 cm hoch ist, ist die Schauspielerin also ca. 1,20 m groß. |2= Lösung|3=einklappen}} | ||
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Erläutere die Berechnungen des Bühnenbauers und korrigiere den Fehler, den er gemacht hat. | Erläutere die Berechnungen des Bühnenbauers und korrigiere den Fehler, den er gemacht hat. | ||
Nimm dann Stellung zur Frage, ob die Kosten für das Brett zu hoch sind. | Nimm dann Stellung zur Frage, ob die Kosten für das Brett zu hoch sind. | ||
|Experimentieren|Farbe={{Farbe |komplementär |dunkel}}}} | |||
{{Lösung versteckt|1 = Der Bühnenbauer hat aus den gemessenen Seitenlängen des Schachbretts dessen Fläche berechnet. Diese beträgt 0,25 m², die Kosten für das kleine Brett betragen also 800 €:4 = 200 €. Diese Rechnung ist korrekt. Die Seitenlängen des vergrößerten Schachbretts sind 10mal so groß, also 5m. Auch diese Überlegung ist richtig. Allerdings verhundertfach sich die Fläche und damit auch die Kosten für das Brett. Diese betragen also 20000 Euro.Der Bühnenbauer hat die Kosten aber fälschlicherweise nur verzehnfacht. | {{Lösung versteckt|1 = Der Bühnenbauer hat aus den gemessenen Seitenlängen des Schachbretts dessen Fläche berechnet. Diese beträgt 0,25 m², die Kosten für das kleine Brett betragen also 800 €:4 = 200 €. Diese Rechnung ist korrekt. Die Seitenlängen des vergrößerten Schachbretts sind 10mal so groß, also 5m. Auch diese Überlegung ist richtig. Allerdings verhundertfach sich die Fläche und damit auch die Kosten für das Brett. Diese betragen also 20000 Euro.Der Bühnenbauer hat die Kosten aber fälschlicherweise nur verzehnfacht. | ||
Stellungnahme: Hier gibt es keine eindeutige Antwort. Einerseits sind 20000 Euro schon recht viel Geld. Andererseits ist eine Filmproduktion sehr teuer - der Betrag von 20000 Euro ist im Vergleich gering. Allerdings können auch viele solch "kleinerer" Beträge die Kosten für die Produktion in die Höhe schießen lassen. |2= Lösung|3=einklappen}} | Stellungnahme: Hier gibt es keine eindeutige Antwort. Einerseits sind 20000 Euro schon recht viel Geld. Andererseits ist eine Filmproduktion sehr teuer - der Betrag von 20000 Euro ist im Vergleich gering. Allerdings können auch viele solch "kleinerer" Beträge die Kosten für die Produktion in die Höhe schießen lassen. |2= Lösung|3=einklappen}} | ||
{{Box|Sprinteraufgabe 3: Zu viel Gewicht? | | {{Box|Sprinteraufgabe 3: Zu viel Gewicht? | | ||
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Die auf ein Zehntel ihrer Größe geschrumpfte Alice fällt in ein Aquarium. Für die Filmkulisse soll das abgebildete Aquarium in zehnfacher Größe nachgebaut und mit Wasser gefüllt werden. Die Bühnenbauer befürchten, dass das Aquarium dann zu schwer für die Plattform wird, auf der es stehen soll. Das Aquarium ist 60 cm breit, 30 cm tief und 50 cm hoch. Es wiegt leer 12 kg. Die Plattforn darf mit t belastet werden. | Die auf ein Zehntel ihrer Größe geschrumpfte Alice fällt in ein Aquarium. Für die Filmkulisse soll das abgebildete Aquarium in zehnfacher Größe nachgebaut und mit Wasser gefüllt werden. Die Bühnenbauer befürchten, dass das Aquarium dann zu schwer für die Plattform wird, auf der es stehen soll. Das Aquarium ist 60 cm breit, 30 cm tief und 50 cm hoch. Es wiegt leer 12 kg. Die Plattforn darf mit t belastet werden. | ||
Prüfe, ob die Bühnenbauer mit ihrer Befürchtung Recht haben. | Prüfe, ob die Bühnenbauer mit ihrer Befürchtung Recht haben. | ||
|Experimentieren|Farbe={{Farbe |komplementär |dunkel}}}} | |||
{{Lösung versteckt|1= Annahme: Das Becken wird bis 5 cm unterhalb des Randes gefüllt. Dann wären im kleinen Becken 81 l Wasser (60cm*30cm*45cm=85000cm³ = 81000ml = 81l). | {{Lösung versteckt|1= Annahme: Das Becken wird bis 5 cm unterhalb des Randes gefüllt. Dann wären im kleinen Becken 81 l Wasser (60cm*30cm*45cm=85000cm³ = 81000ml = 81l). | ||
In das vergrößerte Becken müsste man dann 81l*1000 = 81000 l füllen. | In das vergrößerte Becken müsste man dann 81l*1000 = 81000 l füllen. | ||
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|2= Lösung|3=einklappen}} | |2= Lösung|3=einklappen}} | ||
Version vom 19. Mai 2022, 18:07 Uhr
In vielen Filmen spielen besonders große oder kleine Helden oder Heldinnen eine wichtige Rolle. Bekannte Beispiele sind der Waldhüter und Halbriese Hagrid der Harry-Potter-Filme oder die Titelfigur Alice aus Alice im Wunderland, die im Laufe der Handlung auf ein Zehntel ihrer Größe schrumpft. Zur Darstellung der Größenverhältnisse wird oft mit großem Aufwand die Kulisse in einer kleineren oder größeren Version nachgebaut.
Doch worauf muss man achten, damit der Nachbau der Kulisse gelingt?
Zur Beantwortung der Frage sollst du untersuchen, wie sich Längen, Flächen, Körper und Winkel beim Vergrößern oder Verkleinern verändern.
1. korrektes Vergrößern und Verkleinern. Worauf kommt es an?
Fülle jetzt den Lückentext aus. Kontrolliere deine Lösung und übertrage sie in den Kasten "Maßstäbliches Vergrößern oder Verkleinern von Figuren" in deinem Begleitheft.
- Der Skalierungsfaktor beträgt 10.
- Die Seitenlängen müssen mit dem Faktor 10 multipliziert werden. Die vergrößerte Teetasse ist 80 cm hoch und hat am oberen Rand einen Umfang von 280 cm = 2,80 m.
2. Wie wachsen Flächeninhalte beim Skalieren von Figuren?
- Wird das Quadrat mit dem Faktor k vergrößert, ist die Zahl der Quadrate k²
- Man muss den ursprünglichen Flächeninhalt lediglich mit der Anzahl der Quadrate multiplizieren, um den neuen Flächeninhalt zu erhalten.
- Wird ein Quadrat mit der Seitenlänge 1 cm mit dem Faktor k skaliert, so beträgt der Flächeninhalt k². Die Formel für den neuen Flächeninhalt Aneu=k².
- Schiebt man eine Kopie des Originalquadrats auf das verkleinerte Quadrat, erkennt man, dass dass das verkleinerte Quadrat viermal (bzw. achtmal) in das Originalquadrat passen würde. Man benötigt zum Auslegen also nur noch bzw. der Originalfläche.
- Die Fläche beträgt also bzw. der Originalfläche.
- Es ist ()^2 = , ()²= .
Beträgt die Seitenlänge des skalierten Quadrats 3 cm, so ist der Skalierungsfaktor k = 1,5.
Die neue Fläche beträgt 9 cm² . Es ist 9 = 4*1,5² = 4 *2,25.
Ergänze den Lückentext. Prüfe das Ergebnis und übertrage die Lösung in den Kasten "Wachstum von Flächeninhalten beim Skalieren" in deinem Begleitmaterial.
- (1/4)²=1/16. 32* 1/16= 2. Das Quadrat hat einen Flächeninhalt von 2 cm³
- 5² = 25. 10*25 = 250. Der Kreis hat einen Flächeninhalt von 250 cm².
- 3² = 9. 0,25*9=2,25. Die vergrößerte Eule hat einen Flächeninhalt von 2,25 m²
- Der Skalierungsfaktor ist 2; 2²= 4. 0,6*4 = 2,4. Die Tischdecke hat einen Flächeninhalt von 2,4 m².
- Der Skalierungsfaktor ist 0,5. 0,5² = 0,25. 2000*0,25 = 500. Die Pizza hat eine Fläche von 500 cm².
3. So wachsen Volumen von Objekten beim Vergrößern und Verkleinern
4: In der Tabelle kann man die Werte für zwei Verdopplungen ablesen (blaue Pfeile). Das Volumen wächst jeweils auf das Achtfache. Ebenso kann man die Werte für zwei Verdreifachungen ablesen(lila Pfeile). Das Volumen wächst jeweils auf das Siebenundzwanzigfache.
5. Für eine Verdopplung - also k = 2 ist der Faktor 2²=8. Für eine Verdreifacung - also k = 3 ist der Faktor 3³ = 27. Allgemein gilt: Skaliert man einen Körper mit dem Faktor k, muss man das Volumen mit dem Faktor k³ multiplizieren. (Man sagt auch: Volumen wachsen kubisch.)Ergänze den Lückentext. Prüfe das Ergebnis und übertrage die Lösung in den Kasten "Würfelwachstum" in deinem Begleitmaterial.
Ergänze den Lückentext. Prüfe das Ergebnis und übertrage die Lösung auf dein Arbeitsblatt.
- 0,5³= 0,125 8*0,125= 1. Der Würfel hat ein Volumen von 1 cm³
- Der Skalierungsfaktor ist 5. 5³=125. 4*125= 500 Die größte Murmel wiegt 500 g.
- Skalierungsfaktor 2: 2³=8, 400*8=3200. Die Vase hat ein Volumen von 3200 ml = 3,2 l.
4. Längen, Flächen und Volumen beim Skalieren - vernetzte Aufgaben
Lies die Zusammenfassung und übertrage die fett gedruckten Worte in die Box "So verändern sich Längen, Flächeninhalte und Volumina beim Skalieren"
Da die Gegenstände mit dem Faktor 10 vergrößert wurden, wachsen die Flächen auf das Hundertfache. Die Untertasse hat also eine Fläche von 180*100 = 18000 cm². Dies sind 1,8 m² , die Teetasse hat eine Oberfläche von 210*100 = 21000 cm². Das sind 2,1m²
1= 150000 ml= 150 l
- Die Teetasse ist etwa zwei Drittel so groß wie Alice. Da die vergrößerte Teetasse 80 cm hoch ist, ist die Schauspielerin also ca. 1,20 m groß.
Der Bühnenbauer hat aus den gemessenen Seitenlängen des Schachbretts dessen Fläche berechnet. Diese beträgt 0,25 m², die Kosten für das kleine Brett betragen also 800 €:4 = 200 €. Diese Rechnung ist korrekt. Die Seitenlängen des vergrößerten Schachbretts sind 10mal so groß, also 5m. Auch diese Überlegung ist richtig. Allerdings verhundertfach sich die Fläche und damit auch die Kosten für das Brett. Diese betragen also 20000 Euro.Der Bühnenbauer hat die Kosten aber fälschlicherweise nur verzehnfacht.
Stellungnahme: Hier gibt es keine eindeutige Antwort. Einerseits sind 20000 Euro schon recht viel Geld. Andererseits ist eine Filmproduktion sehr teuer - der Betrag von 20000 Euro ist im Vergleich gering. Allerdings können auch viele solch "kleinerer" Beträge die Kosten für die Produktion in die Höhe schießen lassen.
Annahme: Das Becken wird bis 5 cm unterhalb des Randes gefüllt. Dann wären im kleinen Becken 81 l Wasser (60cm*30cm*45cm=85000cm³ = 81000ml = 81l). In das vergrößerte Becken müsste man dann 81l*1000 = 81000 l füllen. Die Wasserfüllung hat dann (unter normalen Bedingungen ein Gewicht von 81000 kg = 81 Tonnen. Schwieriger ist es, das Gewicht des Aquariums abzuschätzen, weil wir nicht wissen, ob
- das gleiche Material verwendet wird und,
- die Glasdicke der Seiten ebenfalls verzehnfacht wird.
Setzt man beides voraus, wächst das Gewicht des Aquariums ebenfalls mit dem Faktor 1000 (die Seitenflächen sind als Körper zu betrachten). Das Aquarium würde also 12000 kg = 12 t wiegen. Insgesamt würde das gefüllte Aquarium also 93 t wiegen und die Traglast des Podestes wäre groß genug (auch für die Schauspielerin und eventuell Personen aus dem Filmteam samt Ausrüstung). Es bleiben jedoch Unsicherheiten:
- Laut unsere Annahme wurde es ja nur bis 50 cm unterhalb des Randes gefüllt. Würde das Becken bis zum Rand gefüllt, wären dies noch 9000 l Wasser, also 9 Tonnen zusätzlich. Dann wäre die Traglast des Podestes überschritten.
- Sollte das große Aquarium am Boden mit Steinen (statt Kies) gefüllt werden, würde das Aquarium schwerer werden. Nimmt man beispielsweise an, dass die unteren 50 cm (5 cm im Original) des Beckens mit Steinen gefüllt würden, würde sich das Gewicht um 18 Tonnen erhöhen (Faustformel: Steine wiegen etwa dreimal so viel wie Wasser.). Hier wäre die Traglast deutlich überschritten.