Jule Volbers/Testseite

Datei:Teetasse

In vielen Filmen spielen besonders große oder kleine Helden oder Heldinnen eine wichtige Rolle. Bekannte Beispiele sind der Waldhüter und Halbriese Hagrid der Harry-Potter-Filme oder die Titelfigur Alice aus Alice im Wunderland, die im Laufe der Handlung auf ein Zehntel ihrer Größe schrumpft. Zur Darstellung der Größenverhältnisse wird oft mit großem Aufwand die Kulisse in einer kleineren oder größeren Version nachgebaut. Doch worauf muss man achten, damit der Nachbau der Kulisse gelingt?

1. korrektes Vergrößern und Verkleinern. Worauf kommt es an?

Nur eines der drei kleinen Bilder zeigt eine korrekte Kopie des verzauberten Autos, mit dem Harry und Ron nach Hogwarts fliegen, nachdem sie den Zug verpasst haben.

Begründe deine Entscheidung!

Auf den anderen Bildern sind die Verhältnisse der Seitenlängen und Flächen nicht korrekt. Beispielsweise ist auf dem ersten Bild die Kühlerhaube zu lang, auf dem dritten zu kurz.

Arbeitsmethode

Frage

Worauf muss man achten, damit die Formen nicht verzerrren? Beantworte diese Frage mit Hilfe der Aufgabe "Harry-Logo"

Harry-Logo

Harrys Freundin Luna hat ein "Harry-Logo" entworfen. Durch geeignete Zauber kann sie es vergrößern und verkleinern, so dass sie es als Anstecknadel oder auch als Banner verwenden kann. Überlege zunächst, wie du vorgehen würdest, um das Logo auf die doppelte Größe zu vergrößern bzw. halbe Größe zu verkleinern. Notiere stichpunktartig, wie sich

• Seitenlängen
• Winkeln
• Flächen
• Seitenverhältnissen
• Flächenverhältnissen (z.B. Buchstabe - Umrandung)

verändern. Überprüfe deine Angaben anschließend mit Hilfe dem Applet "Logo".

Du kannst den Vergrößerungsfaktor - auch Skalierungsfaktor genannt - mit dem Schiebregler verändern.

Kreuze nun die richtigen Aussagen im Quiz an.

Fasse zusammen

Fülle jetzt den Lückentext aus. Kontrolliere deine Lösung und übertrage sie auf dein Merkblatt

Merke: Skalieren - Maßstäbliches Vergrößern oder Verkleinern von Figuren

Wenn man eine Figur maßstäblich vergrößert oder verkleinert, werden alle Seitenlängen der Figur mit demselben positiven Faktor multipliziert. Dieser Faktor heißt auch Skalierungsfaktor, das maßstäbliche Vergrößern oder Verkleinern heißt auch skalieren. Ist der Skalierungsfaktor k größer als 1, so wird das Original vergrößert, ist k kleiner 1, wird das Original verkleinert. Beim Skalieren bleiben alle Winkel sowie die Seiten- und Flächenverhältnisse gleich. Figuren, die durch Skalierung auseinander entstehen, sind ähnlich.

Wie groß ist die Teetasse?

Nachdem Alice einen Zaubertrank getrunken hat, schrumpft sie auf ein Zehntel ihrer Größe.

• a) Gib den Skalierungfaktor an, mit dem die Teetasse vergrößert werden musste.
• b) Die originale Teetasse ist 8 cm hoch und hat am oberen Rand einen Umfang von 28 cm. Berechne Höhe und den Umfang der vergrößerten Teetasse an.

• a) Der Skalierungsfaktor beträgt 10
• b) Alle Längen müssen mit 10 multipliziert werden. Die Höhe der großen Teetasse beträgt 80 cm, der Umfang am oberen Rand 280 cm = 2,80 m.

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2. Wie wachsen Flächen beim Skalieren von Figuren?

Du hast bereits festgestellt, dass die Flächen beim Skalieren schneller wachsen (oder schrumpfen) als die Seitenlängen. Aber auch hier gibt es eine Gesetzmäßigkeit, die du herausfinden sollst. Dazu schauen wir uns verschiedene Formen an.

Quadratwachstum 1

Im Applet "Quadrate 1" siehst du zwei Quadrate mit der Seitenlänge 1 cm, also einem Flächeninhalt von 1 cm².

a) Betrachte zunächst vergrößerte Quadrate - das heißt, dass das Quadrat mit einem Faktor k > 1 skaliert wird:

• Vergrößere das rechte Quadrat nacheinander mit dem Faktor 2, 3 und 4, indem du den Skalierungsfaktor passend einstellst. Prüfe, wie oft das ursprüngliche Quadrat jeweils in das vergrößerte Quadrat passt. Du kannst dazu beliebig viele Kopien des Originalquadrats erzeugen und die Fläche des vergrößerten Quadrats damit auslegen.  Trage die Anzahl der Quadrate in die Tabelle ein, die du auf dem Arbeitsblatt findest.
• Überlege, wie viele Quadrate du benötigen würdest, wenn der Vergrößerungsfaktor 5, 6 bzw. 10 betragen würde. Trage die Anzahl in der Tabelle ein.
• Gib an, welcher Zusammenhang zwischen Vergrößerungsfaktor k und Zahl der Quadrate besteht.
• Berechne den Flächeninhalt der vergrößerten Quadrate mit Hilfe der Anzahl der Quadrate. Trage den Flächeninhalt ebenfalls in die Tabelle ein.
• Gib eine Formel an, mit der sich der Flächeninhalt direkt mit Hilfe des Skalierungsfaktors k berechnen lässt. Trage sie auf dem Arbeitsblatt ein.

Kontrolliere deine Lösung!

• Wird das Quadrat mit dem Faktor k vergrößert, ist die Zahl der Quadrate k²
• Man muss den ursprünglichen Flächeninhalt lediglich mit der Anzahl der Quadrate multiplizieren, um den neuen Flächeninhalt zu erhalten.
• Wird ein Quadrat mit der Seitenlänge 1 cm mit dem Faktor k skaliert, so beträgt der Flächeninhalt k². Die Formel für den neuen Flächeninhalt A_neu=k².

b) Jetzt soll das Quadrat verkleinert, also mit einem Faktor k<1 skaliert werden:

•  Setze die Konstruktion zurück (Symbol) und verkleinere das Quadrat nun mit den Faktoren 0,5 (gleich 1/4)  und 0,25 (gleich 1/8). Du brauchst jetzt nur einen Teil des originalen Quadrats, um die verkleinerte Fläche auszulegen? Finde heraus, wie groß ist dieser Anteil ist? Du kannst auch hier eine Kopie des Originalquadrats nutzen. Ergänze die Tabelle.
• Berechne den Flächeninhalt der verkleinerten Quadrate mit Hilfe des gerade ermittelten Anteils und trage ihn in die Tabelle ein.
• Begründe, dass die in a) ermittelte Formel zur Berechnung der Fläche auch für Skalierungsfaktoren k<1 gilt.

Kontrolliere deine Lösung!

• Schiebt man eine Kopie des Originalquadrats auf das verkleinerte Quadrat, erkennt man, dass dass das verkleinerte Quadrat viermal (bzw. achtmal) in das Originalquadrat passen würde. Man benötigt zum Auslegen also nur noch 1/4 bzw. 1/16 der Originalfläche. 
• Die Fläche beträgt also 1/4 bzw. 1/16 der Originalfläche.
• Es ist (1/2)² = 1/4, (1/4)²= 1/16 .

Quadratwachstum 2

Begründe mit Hilfe des Applets Quadrate 2, dass man mit der gerade entwickelten Idee den Flächeninhalt eines vergrößerten oder verkleinerten Quadrats auch dann berechnen kann, wenn das Originalquadrat eine Seitenlänge von (beispielsweise) 2 cm hat. Gehe dazu folgendermaßen vor:

• Verdopple, verdreifache und halbiere die Seitenlängen. Berechne den Flächeninhalt mit Hilfe der angezeigten Rasterung und trage die Ergebnisse in der Tabelle auf deinem Arbeitsblatt ein.
• Was stellt du fest, wenn du die Zahl der Quadrate (mittlere Spalte) in den beiden Tabellen vergleichst?
• Erkläre in eigenen Worten, wie du die Flächeninhalte der vergrößerten oder verkleinerten Quadrate aus den Flächeninhalt des Originalquadrats und dem Skalierungsfaktor berechnen kannst.

Kontrolliere dann deine Lösung

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Ergänze dann nun Lückentext.

Wird die Seitenlänge eines Quadrats

• verdoppelt, so wächst die Fläche auf das vierfache
• verdreifacht, so wächst die Fläche auf das neunfache
• verzehnfacht, so wächst die Fläche auf das hundertfache
• halbiert, so schrumpft die Fläche auf ein Viertel

Allgemein gilt: Skaliert man ein Quadrat mit dem Flächeninhalt A mit dem Faktor k, so berechet man den Flächeninhalt des skalierten Quadrats, indem man A mit dem Faktor k² multipliziert. Die Fläche eines Quadrats wächst also quadratisch zum Skalierungsfaktor. Es gilt A_neu= A*k²

.

Sprinteraufgabe: Gib im Applet Quadrate 2 als neue Seitenlänge 3 cm ein und ermittle den Skalierungsfaktor. Begründe dann mit Hilfe des angezeigten Quadrate, dass die Formel A_neu= A*k² auch für nichtganzzahlige Skalierungsfaktoren gilt.

Beträgt die Seitenlänge des skalierten Quadrats 3 cm, so ist der Skalierungsfaktor k = 1,5.

Die neue Fläche beträgt 9 cm² . Es ist 9 = 4*1,5² = 4 *2,25.

Info

Die Zerlegung des großen Quadrats in kleine Quadrate nennt man auch Rasterung. Mit Hilfe einer solchen Rasterung lassen sich Flächeninhalte berechnen oder zumindest abschätzen.

Flächenwachstum von Rechtecken

Auch Rechtecke kann man rastern. Erkläre mit Hilfe der Abbildung, dass auch der Flächeninhalt von Rechtecken bei Skalieren mit dem Faktor k² wächst.

Krummlinig begrenzte wie Kreise oder Flächen können nicht auf die gleiche Art und Weise gerastert werden. Um zu erkennen, wie sich der Flächeninhalt solcher Flächen verändert, muss die Rastermethode abgewandelt werden. Eine Möglichkeit ist die folgende: 1. Möglichkeit: Künstler entwerfen großformatige Kunstwerke oft aus kleineren Vorlagen, die sie auf Kästchenpapier zeichen. Anschließend wird das Bild auf vergrößerte Kästchen übertragen. Dieser Trick ist auch für Kulissenbauer nützlich.

See

Untersuche, wie die Fläche des Bildes des Sees beim Vergrößeren wächst. Bearbeite die Aufgaben, die du unter Applet findest.

a) Schätze die Fläche des Sees durch die Fläche der Kästchen ab. Ein Kästchen hat eine Seitenlänge von 0,5 cm.

a) Der See nimmt eine Fläche von ca. 22 Kästchen ein. Ein Kästchen hat eine Fläche von 0,25 cm². Also hat der See eine Fläche von 5,5 cm²

b) KLicke auf "Vergrößere". Schätze genauso die Fläche des vergrößerten Sees ab. Ein Kästchen hat hier eine Seitenlänge von 1 cm.

b) Der See nimmt eine Fläche von ca. 22 Kästchen ein. Ein Kästchen hat eine Fläche von 1 cm². Also hat der See eine Fläche von 22 cm²

c) Gib den Faktor an, mit dem die Zeichnung skaliert wurde.

c) Der Skalierungsfaktor ist 2, weil die Seitenlängen der Quadrate und somit alle Längen verdoppelt wurden.

Gib an, auf das wievielfache die Fläche bei der Vergrößerung wächst. Erläutere das Ergebnis mit Hilfe der Graphik. d)Wenn du nicht weiter weißt, kannst du im Applet auf Hilfe klicken.

d) Die Fläche wächst auf das Vierfache. Erklärung: Die Seitenlänge der Quadrate hat sich verdoppelt, also vervierfacht sich die Fläche der Quadrate. Da beim Skalieren das Verhältnis von Flächen zueinander gleichbleibt, vervierfacht sich auch die Fläche des Sees.

Hinweis: Dies sieht man auch, wenn man Flächen aus a und b miteinander vergleicht.

e) Wie groß wäre die Fläche des Sees, wenn die Kästchen eine Seitenlänge von 10 cm hätten?

Überlege, mit welchem Faktor die Seitenlängen (ausgehend von der Originalzeichnung) skaliert wurden. Nutze dann dein Wissen über das Wachstum von Flächen.

e) Der Skalierungsfaktor beträgt 20. Die Fläche wächst also auf das 400fache. Also beträgt die Fläche des Sees 5,5 cm²*400 = 2200 cm²

Wie wachsen Flächen

Bild einfügen. Bei Skalieren werden Längen mit dem Faktor k multipliziert, Flächen mit dem Faktor k²

{{Box|Schnelles Rechnen Fläche verschiedener Formen - Hinweis auf schnelles Rechnen (ohne Formelnutzung)

Material für das Teeservice

Datei:Shutterstock Alice Teetasse.jpg

Die Untertasse des originalen Teeservies hat eine Fläche von hat eine Fläche von 180 cm², die Oberfläche der Teetasse beträgt 210 cm². Berechne die Fläche der vergrößerten Untertasse und die Oberfläche der vergrößerten Teetasse. Gib das Ergebnis in cm² und m² an.

Da die Gegenstände mit dem Faktor 10 vergrößert wurden, wachsen die Flächen auf das Hundertfache. Die Untertasse hat also eine Fläche von 1800000 cm² = 180 m² , die Teetasse eine Oberfläche von 2100000 cm² = 210m²

3. Volumina ähnlicher Figuren

Auch für das Volumen von Körpern gibt es eine Gesetzmäßigkeit, mit der die Volumen beim Vergrößern oder Verkleinern wachsen bzw. schrumpfen. Diese Gesetzmäßigkeit sollst du am Beispiel eines Würfels erarbeiten: {{Box|Wachstum von Längen,Flächen und Volumen am Würfel|

Der kleine Würfel hat eine Seitenlänge von 1 cm. Der zweite und dritte Würfel entstehen, indem kleine Würfel aneinandergeklebt werden.

• Trage zunächst die Seitenlängen und den Flächeninhalt der Seiten des zweiten und dritten Würfels in auf der Tabelle in deinem Arbeitsblatt ein.
• Überlege dann, welches Volumen der zweite und dritte Würfel haben. Trage die Werte in die Tabelle ein.
• Ergänze die Werte für den "Viererwürfel".
• Erkläre mit Hilfe der Tabelle, wie das Volumen wächst, wenn man die Seitenlänge des Würfels verdoppelt bzw. verdreifacht.

Kontrolliere dein Ergebnis.

Idee

Das gerade erkannte Prinzip gilt für beliebige Körper. Dies kann man mit einer ähnlichen Überlegung wie bei der Rastermethode für Flächen begründen. Statt umschriebenen Quadraten verwendet man umschriebene Würfel.

Volumen einer Schachfigur

Arbeitsmethode

3. Verallgemeinerung - Merksatz 4. Eine Übung