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Krummlinig begrenzte wie Kreise oder Flächen können nicht auf diese Art und Weise gerastert werden. Um zu erkennen, wie sich der Flächeninhalt solcher Flächen verändert, muss die Rastermethode abgewandelt werden. | Krummlinig begrenzte wie Kreise oder Flächen können nicht auf diese Art und Weise gerastert werden. Um zu erkennen, wie sich der Flächeninhalt solcher Flächen verändert, muss die Rastermethode abgewandelt werden. | ||
'''1. Möglichkeit:''' Künstler entwerfen großformatige Kunstwerke oft aus kleineren Vorlagen, die sie auf Kästchenpapier zeichen. Anschließend wird das Bild auf vergrößerte Kästchen übertragen. | '''1. Möglichkeit:''' Künstler entwerfen großformatige Kunstwerke oft aus kleineren Vorlagen, die sie auf Kästchenpapier zeichen. Anschließend wird das Bild auf vergrößerte Kästchen übertragen. | ||
{{Box|See| | {{Box|See| Untersuche, wie die Fläches des Bildes eines Sees beim Vergrößeren wächst. Bearbeite die Aufgaben, die du unter dem Geogebraapplet findest. | ||
<ggb_applet id="khnxnm6p" width="50%" height="50%" border="888888" /> | |||
* a) Schätze die Fläche des Sees im linken Bild durch die Fläche der Kästchen ab. Ein Kästchen hat eine Seitenlänge von 0,5 cm. | * a) Schätze die Fläche des Sees im linken Bild durch die Fläche der Kästchen ab. Ein Kästchen hat eine Seitenlänge von 0,5 cm. | ||
{{Lösung versteckt|1 = a) Der See nimmt eine Fläche von ca. 22 Kästchen ein. Ein Kästchen hat eine Fläche von 0,25 cm². Also hat der See eine Fläche von 5,5 cm²|2= Lösung a|3=Lösung}} | {{Lösung versteckt|1 = a) Der See nimmt eine Fläche von ca. 22 Kästchen ein. Ein Kästchen hat eine Fläche von 0,25 cm². Also hat der See eine Fläche von 5,5 cm²|2= Lösung a|3=Lösung}} | ||
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* Gib an, auf das wievielfache die Fläche bei der Vergrößerung wächst. Erläutere das Ergebnis mit Hilfe der Graphik. Wenn du nicht weiter weißt, kannst du im Applet auf Hilfe klicken. | * Gib an, auf das wievielfache die Fläche bei der Vergrößerung wächst. Erläutere das Ergebnis mit Hilfe der Graphik. Wenn du nicht weiter weißt, kannst du im Applet auf Hilfe klicken. | ||
{{Lösung versteckt|1 = c) Die Fläche wächst auf das Vierfache. Erklärung: Die Seitenlänge der Quadrate hat sich verdoppelt, also vervierfacht sich die Fläche der Quadrate.|2= Lösung d|3=Lösung}} | {{Lösung versteckt|1 = c) Die Fläche wächst auf das Vierfache. Erklärung: Die Seitenlänge der Quadrate hat sich verdoppelt, also vervierfacht sich die Fläche der Quadrate.|2= Lösung d|3=Lösung}} | ||
|Arbeitsmethode}} | |Arbeitsmethode}} | ||
Eine '''2. Möglichkeit''', das quadratische Wachstum der Flächen beim Skalieren zu erklären, ist, sich um die betrachtete Figur einen quadratischen (oder rechteckigen) Bilderrahmen vorzustellen. | Eine '''2. Möglichkeit''', das quadratische Wachstum der Flächen beim Skalieren zu erklären, ist, sich um die betrachtete Figur einen quadratischen (oder rechteckigen) Bilderrahmen vorzustellen. | ||
{{Box|Arbeitsauftrag| | {{Box|Arbeitsauftrag| | ||
Hermine hat mal wieder Anstecker entworfen, die ihre Freunde tragen sollen. Für Hagrid hat sie ein extra großes Exemplar entworfen. Die Anstecker sind im Geogebraapplet zu sehen. | Hermine hat mal wieder Anstecker für die Elfen-Liga entworfen, die ihre Freunde tragen sollen. Für Hagrid hat sie ein extra großes Exemplar entworfen. Die Anstecker sind im Geogebraapplet zu sehen. | ||
<ggb_applet id="z6t3efu5" width="50%" height="50%" border="888888" /> | <ggb_applet id="z6t3efu5" width="50%" height="50%" border="888888" /> | ||
a) Klicke auf "Zeige Rahmen", Rahmen um die Flächen anzuzeigen. Ermittle den Skalierungsfaktor k und begründe, dass die Fläche auf das k²-fache wächst. Wenn du nicht weiter weißt, klicke auf "Hilfe". | a) Klicke auf "Zeige Rahmen", Rahmen um die Flächen anzuzeigen. Ermittle den Skalierungsfaktor k und begründe, dass die Fläche auf das k²-fache wächst. Wenn du nicht weiter weißt, klicke auf "Hilfe". |
Version vom 26. April 2022, 13:48 Uhr
In vielen Filmen spielen besonders große oder kleine Helden oder Heldinnen eine wichtige Rolle. Bekannte Beispiele sind der Waldhüter und Halbriese Hagrid der Harry-Potter-Filme oder die Titelfigur Alice aus Alice im Wunderland, die im Laufe der Handlung auf ein Zehntel ihrer Größe schrumpft. Zur Darstellung der Größenverhältnisse ist oft ein erheblicher Aufwand nötig. So wurde der Hagrid-Darsteller Robbie Coltran, der in Wirklichkeit nur 1,85 groß ist, häufig durch einen sehr großen Rugbyspieler in einem "Hagrid-Suite" ersetzt. In Szenen, in denen Hagrid alleine (und von Nahem) zu sehen ist, wurde dagegen das jeweilige Set in einer kleineren Größe nachgebaut. Dieser aufwändige Trick wurde auch in Alice im Wunderland verwendet. Doch worauf muss man achten, damit der Nachbau der Kulisse gelingt?
1. korrektes Vergrößern und Verkleinern. Worauf muss man achten?
Wenn man eine Figur maßstäblich vergrößert oder verkleinert, werden alle Seitenlängen der Figur mit demselben positiven Faktor multipliziert. Dieser Faktor heißt auch Skalierungsfaktor, die maßstäbliche Vergrößerung oder Verkleinerung heißt auch skalieren. Ist der Skalierungsfaktor k größer als 1, so wird das Original vergrößert, ist k kleiner 1, wird das Original verkleinert. Beim Skalieren bleiben alle Winkel sowie die Seiten- und Flächenverhältnisse gleich. Statt des Skalierungsfaktors gibt man häufig auch den Maßstab der Vergrößerung oder Verkleinerung an: Eine Vergrößerung mit dem Skalierungsfaktor 2 entspricht dem Maßstab 2:1 (2 cm bei der Vergrößerung entsprechen einem cm beim Original). Eine Verkleinerung mit dem Skalierungsfaktor 0,5 entspricht dem Maßstab 1:2 (1 cm bei der Vergrößerung entspricht 2 cm beim Original). Figuren, die durch Skalierung auseinander entstehen, sind ähnlich.
2. Wie wachsen Flächen beim Skalieren von Figuren?
Im Film "Alice im Spiegelland" kämpft Alice gegen Schachfiguren. Zur Filmkulisse gehört ein Schachbrett aus hochwertigem Holz. Auch dieses muss vergrößert werden. Die Materialkosten für die Anfertigung liegen bei 800 Euro pro m². Die Produktionsleitung befürchtet, dass die Kosten zu hoch werden.
Du hast festgestellt, dass die Flächen beim Skalieren schneller wachsen (oder schrumpfen) als die Seitenlängen. Jetzt sollst du untersuchen, wie sich Fläche beim Vergrößern oder Verkleinern der Figur in Abhängigkeit von Skalierungsfaktor ändert. Dazu untersuchen wir zunächst die Flächeninhalte skalierter Quadrate.
Ergänze dann nun Lückentext.
Wird die Seitenlänge eines Quadrats
- verdoppelt, so wächst die Fläche auf das vierfache
- verdreifacht, so wächst die Fläche auf das neunfache
- verzehnfacht, so wächst die Fläche auf das hundertfache
- halbiert, so schrumpft die Fläche auf ein Viertel
Allgemein gilt: Skaliert man ein Quadrat mit dem Flächeninhalt A mit dem Faktor k, so berechet man den Flächeninhalt des skalierten Quadrats, indem man A mit dem Faktor k² multipliziert. Die Fläche eines Quadrats wächst also quadratisch zum Skalierungsfaktor. Es gilt Aneu= A*k²
.
- b) Sprinteraufgabe: Gib als neue Seitenlänge 3 cm ein und ermittle den Skalierungsfaktor. Begründe dann mit Hilfe des angezeigten Quadrate, dass die Formel Aneu= A*k² auch für nichtganzzahlige Skalierungsfaktoren gilt.
Krummlinig begrenzte wie Kreise oder Flächen können nicht auf diese Art und Weise gerastert werden. Um zu erkennen, wie sich der Flächeninhalt solcher Flächen verändert, muss die Rastermethode abgewandelt werden. 1. Möglichkeit: Künstler entwerfen großformatige Kunstwerke oft aus kleineren Vorlagen, die sie auf Kästchenpapier zeichen. Anschließend wird das Bild auf vergrößerte Kästchen übertragen.
Eine 2. Möglichkeit, das quadratische Wachstum der Flächen beim Skalieren zu erklären, ist, sich um die betrachtete Figur einen quadratischen (oder rechteckigen) Bilderrahmen vorzustellen.
3. Volumina ähnlicher Figuren
Noch zu überlegen?