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| <div style="font-size: 14pt; background-color: #8B8386 ; text-align: center; color: white; padding: 5px 100px 5px 100px; margin-top: 5px; "> Willkommen auf dem Lernpfad: Nützliche Werkzeuge - Terme und Gleichungen. </div> | | <div style="font-size: 14pt; background-color: #8B8386 ; text-align: center; color: white; padding: 5px 100px 5px 100px; margin-top: 5px; "> Aufbau eines Lernpfades. </div> |
| [[Datei:Calcul mental.png|250 px|right]]
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| | Folgende Aufgabentypen gibt es in den Lernpfaden <br/> <br/> <br/> |
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| In diesem Lernpfad geht es um das Vertiefen deines Wissens über '''Terme, Variablen und Gleichungen'''.
| | <br/> |
| Du findest hier eine Wiederholung zu den Begriffen und Übungsaufgaben zu den Themen Terme aufstellen, Terme umformen und Gleichungen lösen. <s>.</s>
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| =='''1.Terme, Variablen und Gleichungen'''==
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| {{Box|1='''Was ist Was?" - Wiederhole die Begriffe!'''|2= Ergänze den Lückentext. Prüfe das Ergebnis und übertrage die Lösung in den Kasten "Terme, Variablen und Gleichungen" in deinem Begleitmaterial.
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| <div class="lueckentext-quiz">
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| Variablen sind '''Zeichen''' (meistens kleine Buchstaben). Sie sind '''Platzhalter'''. Du kannst '''Zahlen''' für sie einsetzen. Terme sind '''Rechenausdrücke'''. Terme können Zahlen, Rechenzeichen, Klammern und '''Variable''' enthalten. Werden zwei '''Terme''' mit einem Gleichheitszeichen verbunden, entsteht eine '''Gleichung'''. Es gibt verschiedene Arten von Gleichungen. Wichtige Arten sind die '''linearen''' und die '''quadratischen''' Gleichungen.
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| </div>| 3= Lösung|Farbe={{Farbe|grün|dunkel}}}} | |
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| {{Box|Begriffstraining |
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| Teste dein Wissen! {{LearningApp|width:100%|height:700px|app=pgvznoxrk23}}
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| |Üben|Farbe={{Farbe|orange|heller}}}}
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| =='''2.Terme '''==
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| '''Terme aufstellen'''
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| {{Box|Terme in Sachsituationen|Du hast gelernt, Sachsituationen mit Hilfe von Termen zu beschreiben. Hier kannst du dein Wissen testen.
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| a)
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| {{H5p-zum|id= 12396|height=250}}
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| b)
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| {{H5p-zum|id= 21668|height=250}}
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| | {{Box|Aufgaben zum Entdecken|Hier sollt ihr Dinge herausfinden. Oft geschieht das mit Hilfe von Apps. |
| | {{LearningApp|app=7046234|width=100%|height=350px}} |
| |Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|orange}}}} | | |Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|orange}}}} |
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| ==='''Terme vereinfachen'''===
| | {{Box|Aufgaben zum Entdecken|Manchmal müsst ihr auch sogenannte Geogebraapplets benutzen: |
| | | <br /><ggb_applet id="sgnhnzgm" width="20%" height="20%" border="888888" /> |
| {{Box|Info|Terme enthalten unterschiedliche Rechenoperationen wie Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division. Manche Teile von Termen kann man zusammenfassen, um so den Term zu vereinfachen. Du hast die Regeln im Unterricht bereits kennengelernt.|Kurzinfo||Farbe={{Farbe|sekundär-1|x-heller}}}} | |
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| {{Box|Terme zusammenfassen|
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| Vereinfache die Terme soweit wie möglich. Wenn du dir unsicher bist, schaue dir die Tipps an. <br/>
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| '''Zusammenfassen von Summen:''' <br/>
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| a) <math>2x+10x+11+7</math> <br/>
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| b) <math>-4x+5+9x-7</math><br/>
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| c) <math>3x+5x+7y-2y</math> <br/>
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| d) <math>-2x+15-4y-3x-5</math> <br/>
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| e) <math>13x^2+3x+9y-3y</math> <br/>
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| f) <math> 2x+xy-3y-2xy+2xy^2 </math>
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| {{Lösung versteckt|1= '''Beim Zusammenfassen von Summen gilt:''' <br/>
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| * Nur gleiche Variablen dürfen zusammengefasst werden.
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| * Auch die Potenz muss übereinstimmen.
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| * Die Rechenregeln für das Rechnen mit ganzen Zahlen müssen beachtet werden.
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| * Es kann helfen, gleiche Summanden farbig zu markieren.
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| |2= Tipp 1|3=einklappen}}
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| {{Lösung versteckt|1= Beispiele: <br/>
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| 1) <math> {\color{blue}b}{\color{red}+a+3a} </math> <math> = {\color{blue}b}{\color{red}+4a}</math> <br/> <br/>
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| 2) <math> {\color{orange}2x}{\color{red}+xy}{\color{blue}-3y}{\color{red}-2xy}{\color{green}+2xy^2} </math>
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| <math>= {\color{orange}2x}{\color{blue}-3y}{\color{green}+2xy^2}{\color{red}+xy-2xy} </math>
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| <math>= {\color{orange}2x}{\color{blue}-3y^2}{\color{green}+2xy^2}{\color{red}-xy} </math> <br/>
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| Hier konnten nur die beiden Teile mit <math>{\color{red}xy}</math> zusammengefasst werden, da alle anderen Variablen unterschiedlich sind bzw. in einer anderen Potenz vorkommen. <br/> <br/>
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| |2= Tipp 2|3=einklappen}} <br/>
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| '''Zusammenfassen von Produkten''' <br/>
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| f) <math> 5{x}\cdot 4{x}{y} </math> <br/>
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| g) <math> 2{x}\cdot(-7{x^2y})\cdot(-3{y^3}) </math> <br/>
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| {{Lösung versteckt|1= '''Beim Zusammenfassen von Produkten gilt:''' <br/>
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| * Es können auch Teile mit unterschiedlichen Potenzen oder Variablen zusammengefasst werden. <br/>
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| * Der Multiplikationspunkt muss nicht notiert werden <math> {2}\cdot {a} </math> = '''2a''' <br/>
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| * Beachte die Vorzeichen der Faktoren!
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| |2= Tipp 3|3=einklappen}}
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| |Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|orange}}}} | | |Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|orange}}}} |
| <br />
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| {{Lösung versteckt|1=
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| a) <math>2x+10x+11+7</math> = <math>12x+18</math> <br/>
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| b) <math>-4x+5+9x-7</math>= <math>5x-2</math> <br/>
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| c) <math>3x+5x+7y-2y</math> = <math>8x+5y</math> <br/>
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| d) <math>-2x+15-4y-3x-5</math>= <math>-5x-4y+10</math> <br/>
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| e) <math>13x^2+3x^2+9y-3y</math>= <math>13x^2+3x^2+9y-3y</math> <br/>
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| f) <math> 5{x}\cdot 4{x}{y}</math> <math> = 5 \cdot {x} \cdot 4 \cdot {x} \cdot {y} </math>
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| <math> = 5 \cdot 4 \cdot {x} \cdot {x} \cdot {y} </math> <math> = 20 \cdot {x^2} \cdot {y} </math> <math> = 20{x^2}{y} </math><br/>
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| g) <math> 2{x}\cdot(-7{x^2y})\cdot(-3{y^3}) </math> <math> = 2 \cdot (-7) \cdot (-3) \cdot {x} \cdot {x^2} \cdot {y} \cdot {y^3} </math> <math> = 42{x^3}{y^4} </math> <br/>
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| |3=Üben}}
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| {{Box|Idee|Wichtig: Unterscheide <br/> <math> (-x) + (-x) = -2x </math> <br/>
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| <math> (-x) \cdot (-y) = x \cdot y </math> <br/>
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| '''Beachte außerdem: Punkt- vor Strichrechnung, die Klammer geht immer vor.''' |Unterrichtsidee }}
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| {{Box|Termtraining. |Füge die zugehörigen Terme zusammen. Du kannst hierfür deinen Stift und Papier nutzen.{{LearningApp|width:75%|height:250px|app=2954651}} | | {{Box|Übungsaufgaben |Bei der Bearbeitung dieser Aufgaben sollte ihr euer neues Wissen anwenden. |
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| |Üben|Farbe={{Farbe|orange|heller}}}} | | |Üben|Farbe={{Farbe|orange|heller}}}} |
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| | {{Box|Sprinteraufgabe 3|Zusatzaufgaben |
| | |Experimentieren|Farbe={{Farbe |komplementär |dunkel}}}} |
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| ====Klammern in Termen====
| | Zu den Aufgaben gibt es Lösungen oder Tipps, die ihr ein- und ausklappen könnt. |
| =====Klammern auflösen: =====
| | {{Lösung versteckt|1= Hier versteckt sich eine Lösung oder ein Tipp. Manchmal auch eine Appe oder ein Applet. |
| Das ''Ausmultiplizieren'' hat zum Ziel, eine Klammer aufzulösen.
| | |2= Lösung|3=einklappen}} |
| {{Box|1 = Auflösen von Klammern|2 = a) Erkläre mit Hilfe der Abbildung, dass für das Auflösen von Klammern gilt:
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| <math>{\color{green}a}(b+c) = {\color{green}a}b + {\color{green}a}c</math>.
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| <math>(b+c){\color{green}a} = b{\color{green}a} + {\color{green}a} </math>.
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| Formuliere die Regel in eigenen Worten. Wende sie auf das Beispiel a = 2, b = 5 und c = 3 an. Kontrolliere dann deine Lösung.
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| [[Datei:Geogebra-export(2).png|mini]] <br />
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| {{Lösung versteckt|1= Man multipliziert einen <span style="color: green">'''Faktor'''</span> mit einer Klammer, indem man den Faktor mit jedem einzelnen Glied in der Klammer multipliziert. | |
| Es spielt keine Rolle, ob der Faktor links oder rechts von der Klammer steht: <br />
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| <math>(5+3) \cdot {\color{green}2} = 5 \cdot {\color{green}2} + 3\cdot {\color{green}2} = 10 + 6 = 16</math>.
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| [[Datei:Ausmultiplizieren 1.png|mini | links | thumb ]]
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| |2= Lösung|3=einklappen}}<br />
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| Erinnerung
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| # Achte darauf, ob in der Klammer eine Summe oder Differenz steht, denn: <math>a(b{\color{red}-}c) = a \cdot b {\color{red}-} a\cdot c </math>
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| # Bei Minusklammern, also wenn vor der Klammer ein '''negativer Faktor''' steht, drehen sich die Vorzeichen von jedem Glied in der Klammer um:
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| <math> {\color{red}-}a(b{\color{red}+}c) = {\color{red}-}ab {\color{red}-} ac</math>.
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| <math>{\color{red}-}a({\color{red}-}b{\color{red}+}c) = ab {\color{red}-} ac</math>.
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| b)
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| Erkläre mit Hilfe der Abbildung, dass für die Multiplikation zweier Summen oder Differenzen folgende Regel gilt:
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| <math> (a+b) (c+d) = ac + ad + bc + bd </math>. Erkläre die Regel in eigenen Worten und wende sie auf das Beispiel a = 2, b = 3, c = 7 und d = -2 an. Kontrolliere dann deine Lösung
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| [[Datei:Geogebra-export(3).png|mini]]
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| {{Lösung versteckt|1= Zwei Summen (oder Differenzen) werden miteinander multipliziert, indem man '''jeden Summanden der ersten Klammer mit jedem Summanden der zweiten Klammer multipliziert:'''
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| [[Datei:Ausmultiplizieren 2.png|400px | links] <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br />
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| |2= Lösung|3=einklappen}}<br /> | |
| |Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|orange}}}}
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| {{Lösung versteckt|1=Hierfür gilt: <br />
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| <math> + \cdot + </math> ergibt: <math> + </math> <br />
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| <math> - \cdot - </math> ergibt: <math> + </math> <br />
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| <math> - \cdot + </math> ergibt: <math> - </math>
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| |2=Erinnerung|3=Verbergen}}
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| Zwei Summen (oder Differenzen) werden miteinander multipliziert, indem man '''jeden Summanden der ersten Klammer mit jedem Summanden der zweiten Klammer multipliziert:'''
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| [[Datei:Ausmultiplizieren 2.png|400px | links | thumb]] <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br />
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| {{Lösung versteckt|1= <math>{\color{green}x} (3 + 2) = 3{\color{green}x} + 2{\color{green}x} = 5{\color{green}x}</math>.
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| <math>{\color{green}2}(3x - 1) = {\color{green}2} \cdot 3x - {\color{green}2} \cdot 1 = 6x - 2</math>.
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| <math>{\color{red}-}(a{\color{red}+}b) = {\color{red}-}a {\color{red}-} b</math>.
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| <math>{\color{red}-}(a{\color{red}-}b) = {\color{red}-}a {\color{red}+} b</math>.
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| |2=Bei Bedarf findest du hier weitere Beispiele zum Thema Ausmultiplizieren |3=Verbergen}}
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| | 3=Merksatz}}
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| {{Box|1='''Klammern in Termen'''|2= Ergänze den Lückentext. Prüfe das Ergebnis und übertrage die Lösung in den Kasten "Klammern in Termen" in deinem Begleitmaterial.
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| Das Ausmultiplizieren hat zum Ziel, eine '''Klammer aufzulösen'''. Man multipliziert einen <span style="color: green">'''Faktor'''</span> mit einer Klammer, indem man den Faktor mit jedem einzelnen Glied in der Klammer '''multipliziert'''.
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| <math>{\color{green}a}(b+c) =''' {\color{green}a}b''' + '''{\color{green}a}c</math>.'''
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| Dies nennt man '''Distributivgesetz'''. <br /> Es spielt keine Rolle, ob der Faktor links oder rechts von der Klammer steht:
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| <math>(b+c) \cdot {\color{green}a} = b \cdot {\color{green}a} + c\cdot {\color{green}a} = ac + bc </math>.
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| <div class="lueckentext-quiz">
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| Variablen sind '''Zeichen''' (meistens kleine Buchstaben). Sie sind '''Platzhalter'''. Du kannst '''Zahlen''' für sie einsetzen. Terme sind '''Rechenausdrücke'''. Terme können Zahlen, Rechenzeichen, Klammern und '''Variable''' enthalten. Werden zwei '''Terme''' mit einem Gleichheitszeichen verbunden, entsteht eine '''Gleichung'''. Es gibt verschiedene Arten von Gleichungen. Wichtige Arten sind die '''linearen''' und die '''quadratischen''' Gleichungen.
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| </div>| 3= Lösung|Farbe={{Farbe|grün|dunkel}}}}
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| =====Aufgabe=====
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| {{Box | 1= Aufgabe 1: Zuordnen | 2= In dieser Aufgabe kannst du das ''Ausmultiplizieren'' üben. Ordne jedem Klammerterm die richtige ausmultiplizierte Lösung zu. Nimm dir einen Zettel für Nebenrechnungen zur Hilfe.
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| {{Lösung versteckt|1=Schaue dir bei Schwierigkeiten nochmal die Beispiele aus dem Kapitel [[#Terme ausmultiplizieren|Terme ausmultiplizieren]] an. | | {{ Box|1 = Merksätze|2 = Zusammenfassung wichtiger Inhalt. Häufig müsst ihr einen Lückentext ergänzen und in eurer Begleitheft übertragen. <div class="lueckentext-quiz"> |
| |2=Tipp|3=Verbergen}} | | Zum Beispeil '''so''' |
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| <div class="lueckentext-quiz"> | |
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| a) <math> (5b+c+3d)\cdot a = </math> '''<math> 5ab+ac+3ad </math>''' <br />
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| b) <math> (5a+4b)\cdot 4 = </math> '''<math> 16b+20a </math>''' <br />
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| c) <math> -8(a-2b) = </math> '''<math> 16b-8a </math>''' <br />
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| d) <math> (2x+5)(3x-7) = </math> '''<math> 6x^2+x-35 </math>''' <br />
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| d) <math> (5a+10b)(\frac{1}{5}c+2d) = </math> '''<math> ac+10ad+2bc+20bd </math>''' <br />
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| f) <math> -\frac{1}{2}(\frac{1}{2}a+\frac{1}{2}b) = </math> '''<math> -\frac{1}{4}a-\frac{1}{4}b </math>''' <br />
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| </div> | | </div> |
| | 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}
| | |3 = Merksatz}} |
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| | {{Box|1='''Kurzchecks'''|2= Auch hier müsst ihr oft einen Lückentext ergänzen und in euer Begleitheft übertragen. |
| | | 3= Lösung|Farbe={{Farbe|grün|dunkel}}}} |
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| '''Klammern auflösen'''
| | {{Box|Info|Infobox|Kurzinfo||Farbe={{Farbe|sekundär-1|x-heller}}}} |
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| '''Ausklammern'''
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| =='''3. Gleichungen'''==
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| =='''Vernetzte Aufgaben '''==
| | {{Box|Ideen|Hier stehen wichtige Hinweise oder Ideen. |Unterrichtsidee }} |
