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| | <div style="font-size: 14pt; background-color: #8B8386 ; text-align: center; color: white; padding: 5px 100px 5px 100px; margin-top: 5px; "> Aufbau eines Lernpfades. </div> |
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| [[Datei:Shutterstock Alice Teetasse.jpg|300px|right]]
| | Folgende Aufgabentypen gibt es in den Lernpfaden <br/> <br/> <br/> |
| In vielen Filmen spielen besonders große oder kleine Helden oder Heldinnen eine wichtige Rolle. Bekannte Beispiele sind der Waldhüter und Halbriese Hagrid der Harry-Potter-Filme oder die Titelfigur Alice aus Alice im Wunderland, die im Laufe der Handlung auf ein Zehntel ihrer Größe schrumpft. Zur Darstellung der Größenverhältnisse ist oft ein erheblicher Aufwand nötig. So wurde der Hagrid-Darsteller Robbie Coltran, der in Wirklichkeit nur 1,85 groß ist, häufig durch einen sehr großen Rugbyspieler in einem "Hagrid-Suite" ersetzt. In Szenen, in denen Hagrid alleine (und von Nahem) zu sehen ist, wurde dagegen das jeweilige Set in einer kleineren Größe nachgebaut. Dieser aufwändige Trick wurde auch in Alice im Wunderland verwendet. Doch worauf muss man achten, damit der Nachbau der Kulisse gelingt?
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| ==1. korrektes Vergrößern und Verkleinern. Worauf muss man achten?==
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| | {{Box|Aufgaben zum Entdecken|Hier sollt ihr Dinge herausfinden. Oft geschieht das mit Hilfe von Apps. |
| | {{LearningApp|app=7046234|width=100%|height=350px}} |
| | |Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|orange}}}} |
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| {{Box|Das verzauberte Auto|In Harry Potter und die Kammer des Schreckens fliegen Ron und Harry mit dem Auto nach Hogwarts, wo dieses schließlich der peitschenden Weide zum Opfer fällt. Beim Nachbau des Autos für die verkleinerte Kulisse ist zunächst etwas schief gelaufen. Nur eines der drei kleinen Bilder zeigt eine korrekte Kopie des Autos auf dem großen Bild. | | {{Box|Aufgaben zum Entdecken|Manchmal müsst ihr auch sogenannte Geogebraapplets benutzen: |
| {{H5p-zum|id=19945|height=600}}
| | <br /><ggb_applet id="sgnhnzgm" width="20%" height="20%" border="888888" /> |
| | |Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|orange}}}} |
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| Begründe deine Entscheidung!
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| {{Lösung versteckt|Auf den anderen Bildern sind die Verhältnisse der Seitenlängen und Flächen nicht korrekt. Beispielsweise ist auf dem ersten Bild die Kühlerhaube zu lang, auf dem dritten zu kurz.|2= Lösung|3=Lösung}}
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| |Arbeitsmethode}}
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| {{Box|Frage|Worauf muss man achten, damit die Formen nicht verzerrren? Beantworte diese Frage mit Hilfe der Aufgabe "Harry-Logo"|Frage}}
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| {{Box|[[Datei:BildLogoNeu.jpg|150px|right]]Harry-Logo|Harrys Freundin Luna hat ein "Harry-Logo" entworfen. Durch geeignete Zauber kann sie es vergrößern und verkleinern, so dass sie es als Anstecknadel oder auch als Banner verwenden kann.
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| Überlege zunächst, wie du vorgehen würdest, um das Logo auf die doppelte Größe zu vergrößern bzw. halbe Größe zu verkleinern. Notiere stichpunktartig, wie sich
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| * Seitenlängen
| | {{Box|Übungsaufgaben |Bei der Bearbeitung dieser Aufgaben sollte ihr euer neues Wissen anwenden. |
| * Winkeln
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| * Flächen
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| * Seitenverhältnissen
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| * Flächenverhältnissen (z.B. Buchstabe - Umrandung)
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| verändern.
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| Überprüfe deine Angaben anschließend mit Hilfe der App "Logo".
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| {{Lösung versteckt|Du kannst den Vergrößerungsfaktor - auch '''Skalierungsfaktor''' genannt - mit dem Schiebregler verändern. | | |Üben|Farbe={{Farbe|orange|heller}}}} |
| <br /><ggb_applet id="xaery34n" width="20%" height="20%" border="888888" />
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| | {{Box|Sprinteraufgabe 3|Zusatzaufgaben |
| | |Experimentieren|Farbe={{Farbe |komplementär |dunkel}}}} |
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| | Zu den Aufgaben gibt es Lösungen oder Tipps, die ihr ein- und ausklappen könnt. |
| | {{Lösung versteckt|1= Hier versteckt sich eine Lösung oder ein Tipp. Manchmal auch eine Appe oder ein Applet. |
| | |2= Lösung|3=einklappen}} |
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| | {{Box|1 = Merksätze|2 = Zusammenfassung wichtiger Inhalt. Häufig müsst ihr einen Lückentext ergänzen und in eurer Begleitheft übertragen. <div class="lueckentext-quiz"> |
| | Zum Beispeil '''so''' |
| | </div> |
| | |3 = Merksatz}} |
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| | {{Box|1='''Kurzchecks'''|2= Auch hier müsst ihr oft einen Lückentext ergänzen und in euer Begleitheft übertragen. |
| | | 3= Lösung|Farbe={{Farbe|grün|dunkel}}}} |
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| | {{Box|Info|Infobox|Kurzinfo||Farbe={{Farbe|sekundär-1|x-heller}}}} |
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| | | {{Box|Ideen|Hier stehen wichtige Hinweise oder Ideen. |Unterrichtsidee }} |
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| |2= App Logo|3=Einklappen}}
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| Kreuze nun die richtigen Aussagen im Quiz an.
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| {{Lösung versteckt|1 = {{H5p-zum|id=19951|height=600}}
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| |2= Quiz|3=einklappen}}
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| |Arbeitsmethode}}
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| {{Box|Fasse zusammen|Fülle jetzt den Lückentext aus. Kontrolliere deine Lösung und übertrage sie auf dein Merkblatt|Arbeitsmethode}}
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| {{Box|Merke: <u>Skalieren</u> - Maßstäbliches Vergrößern oder Verkleinern von Figuren|
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| |Merksatz}}
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| <div class="lueckentext-quiz">
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| Wenn man eine Figur '''maßstäblich''' vergrößert oder verkleinert, werden alle Seitenlängen der Figur mit demselben positiven Faktor '''multipliziert'''. Dieser Faktor heißt auch '''Skalierungsfaktor''', die maßstäbliche Vergrößerung oder Verkleinerung heißt auch '''skalieren'''. Ist der Skalierungsfaktor k '''größer als 1''', so wird das Original vergrößert, ist '''k kleiner 1''', wird das Original verkleinert. Beim Skalieren bleiben alle Winkel sowie die Seiten- und Flächenverhältnisse '''gleich'''.
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| Statt des Skalierungsfaktors gibt man häufig auch den Maßstab der Vergrößerung oder Verkleinerung an: Eine Vergrößerung mit dem Skalierungsfaktor 2 entspricht dem '''Maßstab''' 2:1 (2 cm bei der Vergrößerung entsprechen einem cm beim Original). Eine Verkleinerung mit dem Skalierungsfaktor 0,5 entspricht dem Maßstab 1:2 (1 cm bei der Vergrößerung entspricht 2 cm beim Original). Figuren, die durch Skalierung auseinander entstehen, sind '''ähnlich.'''
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| </div>{{Box|Aufgabe|[[Datei:Shutterstock Alice Teetasse.jpg|250px|right]]
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| Nachdem Alice einen Zaubertrank getrunken hat, schrumpft sie auf ein Zehntel ihrer Größe.
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| * a) Gib den Skalierungfaktor an, mit dem die Teetasse vergrößert werden musste. Nenne auch den Maßstab.
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| * b) Die Schauspielerin ist 1,20 groß? Ermittle die ungefähre Größe der originalen Teetasse.
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| {{Lösung versteckt|1=
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| * a) Der Skalierungsfaktor beträgt 10, der Maßstab 10:1
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| * b) Die Teetasse ist etwa zwei Drittel so groß wie Alice, also vergrößert ca. 80 cm. Die Höhe der originalen Tasse beträgt also ca. 8 cm. |2= Lösung|3=einklappen}}
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| |Üben}}
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| =='''2. Wie wachsen Flächen beim Skalieren von Figuren?'''==
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| [[Datei:Shutterstock 87669796.jpg|150px|left]]
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| Im Film "Alice im Spiegelland" kämpft Alice gegen Schachfiguren. Zur Filmkulisse gehört ein Schachbrett aus hochwertigem Holz. Auch dieses muss vergrößert werden. Die Materialkosten für die Anfertigung liegen bei 800 Euro pro m². Die Produktionsleitung befürchtet, dass die Kosten zu hoch werden.
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| {{Box|Kostenexplosion|Der Bühnenbauer misst die Seitenlängen des originalen Schachbretts. "Alles halb so wild", meint er anschließend und präsentiert der Produktionsleitung folgende Rechnung.
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| [[Datei:KostenSchachbrett.jpg||300px|center]]
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| Erläutere die Berechnungen des Bühnenbauers und korrigiere den Fehler, den er gemacht hat
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| {{Lösung versteckt|1 = Der Bühnenbauer hat aus den gemessenen Seitenlängen des Schachbretts dessen Fläche berechnet. Diese beträgt 0,25 m², die Kosten für das kleine Brett betragen also 800 €:4 = 200 €. Diese Rechnung ist korrekt. Die Seitenlängen des vergrößerten Schachbretts sind 10mal so groß, also 5m. Auch diese Überlegung ist richtig. Allerdings beträgt die Fläche des vergrößerten Schachbretts 25m², die Kosten hierfür betragen 20000 Euro. Der Bühnenbauer hat die Kosten aber fälschlicherweise nur verzehnfacht. |2= Lösung|3=Lösung}}
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| |Arbeitsmethode}}
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| Du hast festgestellt, dass die Flächen beim Skalieren schneller wachsen (oder schrumpfen) als die Seitenlängen. Jetzt sollst du untersuchen, wie sich Fläche beim Vergrößern oder Verkleinern der Figur in Abhängigkeit von Skalierungsfaktor ändert. Dazu untersuchen wir zunächst die Flächeninhalte skalierter '''Quadrate'''.
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| {{Box|Quadratwachstum 1|
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| Im Geogebraapplet siehst du zwei Quadrate mit der Seitenlänge 1 cm, also einem Flächeninhalt von 1 cm².
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| {{Lösung versteckt| <ggb_applet id=" bz4xthmv" width="50%" height="50%" border="888888" />
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| |2= Applet|3=einklappen}}
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| a) Betrachte zunächst vergrößerte Quadrate - das heißt, dass das Quadrat mit einem Faktor k > 1 skaliert wird:
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| * Vergrößere das rechte Quadrat nacheinander mit dem Faktor '''2''', '''3''' und '''4''', indem du den Skalierungsfaktor passend einstellst. Prüfe, wie oft das ursprüngliche Quadrat jeweils in das vergrößerte Quadrat passt. Du kannst dazu beliebig viele Kopien des Originalquadrats erzeugen und die Fläche des vergrößerten Quadrats damit auslegen. Trage die Anzahl der Quadrate in die Tabelle ein, die du auf dem Arbeitsblatt findest.
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| * Überlege, wie viele Quadrate du benötigen würdest, wenn der Vergrößerungsfaktor 5, 6 bzw. 10 betragen würde. Trage die Anzahl in der Tabelle ein.
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| * Gib an, welcher Zusammenhang zwischen Vergrößerungsfaktor k und Zahl der Quadrate besteht.
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| * Berechne den Flächeninhalt der vergrößerten Quadrate mit Hilfe der Anzahl der Quadrate. Trage den Flächeninhalt ebenfalls in die Tabelle ein.
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| * Gib eine Formel an, mit der sich der Flächeninhalt direkt mit Hilfe des Skalierungsfaktors k berechnen lässt.
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| Kontrolliere deine Lösung!
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| {{Lösung versteckt|[[Datei:Quadratwachstum a2.jpg|mini|right]]
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| * Wird das Quadrat mit dem Faktor '''k''' vergrößert, ist die Zahl der Quadrate '''k²'''
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| * Man muss den ursprünglichen Flächeninhalt lediglich mit der Anzahl der Quadrate multiplizieren, um den neuen Flächeninhalt zu erhalten.
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| * Wird ein Quadrat mit der Seitenlänge 1 cm mit dem Faktor '''k''' skaliert, so beträgt der Flächeninhalt '''k²'''
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| |2= Lösung a |3=einklappen}}
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| b) Jetzt soll das Quadrat verkleinert, also mit einem Faktor k<1 skaliert werden:
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| * Setze die Konstruktion zurück (Symbol) und verkleinere das Quadrat nun mit den Faktoren '''0,5''' (gleich '''1/4''') und '''0,25''' (gleich '''1/8'''). Du brauchst jetzt nur einen Teil des originalen Quadrats, um die verkleinerte Fläche auszulegen? Finde heraus, wie groß ist dieser Anteil ist? Du kannst auch hier eine Kopie des Originalquadrats nutzen. Ergänze die Tabelle.
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| * Berechne den Flächeninhalt der verkleinerten Quadrate mit Hilfe des gerade ermittelten Anteils und trage ihn in die Tabelle ein.
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| * Begründe, dass die in a) ermittelte Formel zur Berechnung der Fläche auch für Skalierungsfaktoren k<1 gilt.
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| Kontrolliere deine Lösung!
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| {{Lösung versteckt|[[Datei:Quadratwachstum b.jpg|mini]]
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| * Schiebt man eine Kopie des Originalquadrats auf das verkleinerte Quadrat, erkennt man, dass dass das verkleinerte Quadrat viermal (bzw. achtmal) in das Originalquadrat passen würde. Man benötigt zum Auslegen also nur noch 1/4 bzw. 1/16 der Originalfläche.
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| * Die Fläche beträgt also 1/4 bzw. 1/16 der Originalfläche.
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| * Es ist Formeln ergänzen .
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| |2= Lösung b|3=einklappen}}
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| |Arbeitsmethode}}
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| {{Box|Quadrat 2|Begründe mit Hilfe des Geogebraapplets, dass man mit der gerade entwickelten Idee den Flächeninhalt eines vergrößerten oder verkleinerten Quadrats auch dann berechnen kann, wenn das Originalquadrat eine Seitenlänge von (beispielsweise) 2 cm hat. Gehe dazu folgendermaßen vor:
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| * a) Verdopple, verdreifache und halbiere die Seitenlängen. Berechne den Flächeninhalt mit Hilfe der angezeigten '''Rasterung''' und trage die Ergebnisse in der Tabelle auf deinem Arbeitsblatt ein.
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| <ggb_applet id="ez4stbyn" width="50%" height="50%" border="888888" />
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| {{Lösung versteckt|[[Datei:Quadratwachstum2.jpg|mini|right]] Die Anzahl der Quadrate bleibt beim Skalieren gleich. Man erhält //schönen Text ergänzen.
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| |2= Lösung a |3=einklappen}}
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| |Arbeitsmethode}}
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| Ergänze dann nun Lückentext.
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| <div class="lueckentext-quiz">
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| Wird die Seitenlänge eines Quadrats
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| *verdoppelt, so wächst die Fläche auf das '''vierfache'''
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| *verdreifacht, so wächst die Fläche auf das '''neunfache'''
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| *verzehnfacht, so wächst die Fläche auf das '''hundertfache'''
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| *halbiert, so schrumpft die Fläche auf '''ein Viertel'''
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| Allgemein gilt: Skaliert man ein Quadrat mit dem Flächeninhalt A mit dem Faktor k, so berechet man den Flächeninhalt des skalierten Quadrats, indem man A mit dem Faktor '''k²''' multipliziert. Die Fläche eines Quadrats wächst also '''quadratisch''' zum Skalierungsfaktor. Es gilt '''A<sub>neu</sub>'''= A*'''k²'''
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| </div>.
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| *b) Sprinteraufgabe: Gib als neue Seitenlänge 3 cm ein und ermittle den Skalierungsfaktor. Begründe dann mit Hilfe des angezeigten Quadrate, dass die Formel A<sub>neu</sub>= A*k² auch für nichtganzzahlige Skalierungsfaktoren gilt.
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| {{Lösung versteckt|Beträgt die Seitenlänge des skalierten Quadrats 3 cm, so ist der Skalierungsfaktor '''k = 1,5'''.
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| Die neue Fläche beträgt 9 cm^2. Es ist 9 = 4*1,5² = 4*2,25.
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| |2= Lösung b |3=einklappen}}
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| {{Box|Info|Die Zerlegung des großen Quadrats in kleine Quadrate nennt man auch Rasterung.|Kurzinfo}}
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| {{Box|Arbeitsauftrag| [[Datei:Rechteck2.jpg|mini]] Auch Rechtecke kann man rastern. Erkläre mit Hilfe der Abbildung, dass auch der Flächeninhalt von Rechtecken bei Skalieren mit dem Faktor k² wächst. |Arbeitsmethode}}
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| Krummlinig begrenzte wie Kreise oder Flächen können nicht auf diese Art und Weise gerastert werden. Um zu erkennen, wie sich der Flächeninhalt solcher Flächen verändert, muss die Rastermethode abgewandelt werden.
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| '''1. Möglichkeit:''' Künstler entwerfen großformatige Kunstwerke oft aus kleineren Vorlagen, die sie auf Kästchenpapier zeichen. Anschließend wird das Bild auf vergrößerte Kästchen übertragen.
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| {{Box|See| Untersuche, wie die Fläches des Bildes eines Sees beim Vergrößeren wächst. Bearbeite die Aufgaben, die du unter dem Geogebraapplet findest. | |
| <ggb_applet id="tqvtqcjw" width="30%" height="30%" border="888888" />
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| * a) Schätze die Fläche des Sees durch die Fläche der Kästchen ab. Ein Kästchen hat eine Seitenlänge von 0,5 cm.
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| {{Lösung versteckt|1 = a) Der See nimmt eine Fläche von ca. 22 Kästchen ein. Ein Kästchen hat eine Fläche von 0,25 cm². Also hat der See eine Fläche von 5,5 cm²|2= Lösung a|3=Lösung}}
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| * b) KLicke auf "Vergrößere". Schätze genauso die Fläche des vergrößerten Sees ab. Ein Kästchen hat hier eine Seitenlänge von 1 cm.
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| {{Lösung versteckt|1 = b) Der See nimmt eine Fläche von ca. 22 Kästchen ein. Ein Kästchen hat eine Fläche von 1 cm². Also hat der See eine Fläche von 22 cm²|2= Lösung b|3=Lösung}}
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| * c) Gib den Faktor an, mit dem die Zeichnung skaliert wurde.
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| {{Lösung versteckt|1 = c) Der Skalierungsfaktor ist 2, weil die Seitenlängen der Quadrate und somit alle Längen verdoppelt wurden.|2= Lösung c|3=Lösung}}
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| * Gib an, auf das wievielfache die Fläche bei der Vergrößerung wächst. Erläutere das Ergebnis mit Hilfe der Graphik. Wenn du nicht weiter weißt, kannst du im Applet auf Hilfe klicken.
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| {{Lösung versteckt|1 = c) Die Fläche wächst auf das Vierfache. Erklärung: Die Seitenlänge der Quadrate hat sich verdoppelt, also vervierfacht sich die Fläche der Quadrate.|2= Lösung d|3=Lösung}}
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| |Arbeitsmethode}}
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| Eine '''2. Möglichkeit''', das quadratische Wachstum der Flächen beim Skalieren zu erklären, ist, sich um die betrachtete Figur einen quadratischen (oder rechteckigen) Bilderrahmen vorzustellen.
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| {{Box|Arbeitsauftrag|
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| Hermine hat mal wieder Anstecker für die Elfen-Liga entworfen, die ihre Freunde tragen sollen. Für Hagrid hat sie ein extra großes Exemplar entworfen. Die Anstecker sind im Geogebraapplet zu sehen.
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| <ggb_applet id="z6t3efu5" width="50%" height="50%" border="888888" />
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| a) Klicke auf "Zeige Rahmen", Rahmen um die Flächen anzuzeigen. Ermittle den Skalierungsfaktor k und begründe, dass die Fläche auf das k²-fache wächst. Wenn du nicht weiter weißt, klicke auf "Hilfe".
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| b) Der ursprüngliche Anstecker hat eine Fläche von 7 cm². Gib den Flächeninhalt des vergrößerten Ansteckers an.
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| |Arbeitsmethode}}
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| {{Lösung versteckt|1 Der Skalierungsfaktor beträgt 2. Dies erkennt man durch einen Vergleich der Rahmenlängen. Die Fläche des Quadrats vervierfacht sich beim Skalieren. Da sich Flächenverhältnisse beim Skalieren nicht ändern, muss auch sich auf die Fläche des Buttons vervierfachen. |2= Lösung d|3=Lösung}}
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| ==3. Volumina ähnlicher Figuren==
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| Noch zu überlegen?
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