Jule Volbers/Testseite

Datei:Teetasse

In vielen Filmen spielen besonders große oder kleine Helden oder Heldinnen eine wichtige Rolle. Bekannte Beispiele sind der Waldhüter und Halbriese Hagrid der Harry-Potter-Filme oder die Titelfigur Alice aus Alice im Wunderland, die im Laufe der Handlung auf ein Zehntel ihrer Größe schrumpft. Zur Darstellung der Größenverhältnisse ist oft ein erheblicher Aufwand nötig. So wurde der Hagrid-Darsteller Robbie Coltran, der in Wirklichkeit nur 1,85 groß ist, häufig durch einen sehr großen Rugbyspieler in einem "Hagrid-Suite" ersetzt. In Szenen, in denen Hagrid alleine (und von Nahem) zu sehen ist, wurde dagegen das jeweilige Set in einer kleineren Größe nachgebaut. Dieser aufwändige Trick wurde auch in Alice im Wunderland verwendet. Doch worauf muss man achten, damit der Nachbau der Kulisse gelingt?

1. korrektes Vergrößern und Verkleinern. Worauf muss man achten?

Das verzauberte Auto

In Harry Potter und die Kammer des Schreckens fliegen Ron und Harry mit dem Auto nach Hogwarts, wo dieses schließlich der peitschenden Weide zum Opfer fällt. Beim Nachbau des Autos für die verkleinerte Kulisse ist zunächst etwas schief gelaufen. Nur eines der drei kleinen Bilder zeigt eine korrekte Kopie des Autos auf dem großen Bild.

Begründe deine Entscheidung!

Auf den anderen Bildern sind die Verhältnisse der Seitenlängen und Flächen nicht korrekt. Beispielsweise ist auf dem ersten Bild die Kühlerhaube zu lang, auf dem dritten zu kurz.

Frage

Worauf muss man achten, damit die Formen nicht verzerrren? Beantworte diese Frage mit Hilfe der Aufgabe "Harry-Logo"

Harry-Logo

Harrys Freundin Luna hat ein "Harry-Logo" entworfen. Durch geeignete Zauber kann sie es vergrößern und verkleinern, so dass sie es als Anstecknadel oder auch als Banner verwenden kann. Überlege zunächst, wie du vorgehen würdest, um das Logo auf die doppelte Größe zu vergrößern bzw. halbe Größe zu verkleinern. Notiere stichpunktartig, wie sich

• Seitenlängen
• Winkeln
• Flächen
• Seitenverhältnissen
• Flächenverhältnissen (z.B. Buchstabe - Umrandung)

verändern. Überprüfe deine Angaben anschließend mit Hilfe dem Applet "Logo".

Du kannst den Vergrößerungsfaktor - auch Skalierungsfaktor genannt - mit dem Schiebregler verändern.

Kreuze nun die richtigen Aussagen im Quiz an.

Fasse zusammen

Fülle jetzt den Lückentext aus. Kontrolliere deine Lösung und übertrage sie auf dein Merkblatt

Merke: Skalieren - Maßstäbliches Vergrößern oder Verkleinern von Figuren

Wenn man eine Figur maßstäblich vergrößert oder verkleinert, werden alle Seitenlängen der Figur mit demselben positiven Faktor multipliziert. Dieser Faktor heißt auch Skalierungsfaktor, die maßstäbliche Vergrößerung oder Verkleinerung heißt auch skalieren. Ist der Skalierungsfaktor k größer als 1, so wird das Original vergrößert, ist k kleiner 1, wird das Original verkleinert. Beim Skalieren bleiben alle Winkel sowie die Seiten- und Flächenverhältnisse gleich. Statt des Skalierungsfaktors gibt man häufig auch den Maßstab der Vergrößerung oder Verkleinerung an: Eine Vergrößerung mit dem Skalierungsfaktor 2 entspricht dem Maßstab 2:1 (2 cm bei der Vergrößerung entsprechen einem cm beim Original). Eine Verkleinerung mit dem Skalierungsfaktor 0,5 entspricht dem Maßstab 1:2 (1 cm bei der Vergrößerung entspricht 2 cm beim Original). Figuren, die durch Skalierung auseinander entstehen, sind ähnlich.

Wie groß ist die Teetasse?

Datei:Shutterstock Alice Teetasse.jpg

Nachdem Alice einen Zaubertrank getrunken hat, schrumpft sie auf ein Zehntel ihrer Größe.

• a) Gib den Skalierungfaktor an, mit dem die Teetasse vergrößert werden musste. Nenne auch den Maßstab.
• b) Die Schauspielerin ist 1,20 groß? Ermittle die ungefähre Größe der originalen Teetasse.

• a) Der Skalierungsfaktor beträgt 10, der Maßstab 10:1
• b) Die Teetasse ist etwa zwei Drittel so groß wie Alice, also vergrößert ca. 80 cm. Die Höhe der originalen Tasse beträgt also ca. 8 cm.

S

2. Wie wachsen Flächen beim Skalieren von Figuren?

Datei:Shutterstock 87669796.jpg

Datei:Chachbrett shutterstock 87669796.jpg

Im Film "Alice im Spiegelland" kämpft Alice gegen Schachfiguren. Zur Filmkulisse gehört ein Schachbrett aus hochwertigem Holz. Auch dieses muss vergrößert werden. Die Materialkosten für die Anfertigung liegen bei 800 Euro pro m². Die Produktionsleitung befürchtet, dass die Kosten zu hoch werden.

Kostenexplosion

Der Bühnenbauer misst die Seitenlängen des originalen Schachbretts. "Alles halb so wild", meint er anschließend und präsentiert der Produktionsleitung folgende Rechnung.

Erläutere die Berechnungen des Bühnenbauers und korrigiere den Fehler, den er gemacht hat

Der Bühnenbauer hat aus den gemessenen Seitenlängen des Schachbretts dessen Fläche berechnet. Diese beträgt 0,25 m², die Kosten für das kleine Brett betragen also 800 €:4 = 200 €. Diese Rechnung ist korrekt. Die Seitenlängen des vergrößerten Schachbretts sind 10mal so groß, also 5m. Auch diese Überlegung ist richtig. Allerdings beträgt die Fläche des vergrößerten Schachbretts 25m², die Kosten hierfür betragen 20000 Euro. Der Bühnenbauer hat die Kosten aber fälschlicherweise nur verzehnfacht.

Du hast festgestellt, dass die Flächen beim Skalieren schneller wachsen (oder schrumpfen) als die Seitenlängen. Jetzt sollst du untersuchen, wie sich Fläche beim Vergrößern oder Verkleinern der Figur in Abhängigkeit von Skalierungsfaktor ändert. Dies geht besonders leicht, wenn man zunächst Quadrate betrachtet.

Quadratwachstum 1

Im Applet "Quadrate 1" siehst du zwei Quadrate mit der Seitenlänge 1 cm, also einem Flächeninhalt von 1 cm².

a) Betrachte zunächst vergrößerte Quadrate - das heißt, dass das Quadrat mit einem Faktor k > 1 skaliert wird:

• Vergrößere das rechte Quadrat nacheinander mit dem Faktor 2, 3 und 4, indem du den Skalierungsfaktor passend einstellst. Prüfe, wie oft das ursprüngliche Quadrat jeweils in das vergrößerte Quadrat passt. Du kannst dazu beliebig viele Kopien des Originalquadrats erzeugen und die Fläche des vergrößerten Quadrats damit auslegen.  Trage die Anzahl der Quadrate in die Tabelle ein, die du auf dem Arbeitsblatt findest.
• Überlege, wie viele Quadrate du benötigen würdest, wenn der Vergrößerungsfaktor 5, 6 bzw. 10 betragen würde. Trage die Anzahl in der Tabelle ein.
• Gib an, welcher Zusammenhang zwischen Vergrößerungsfaktor k und Zahl der Quadrate besteht.
• Berechne den Flächeninhalt der vergrößerten Quadrate mit Hilfe der Anzahl der Quadrate. Trage den Flächeninhalt ebenfalls in die Tabelle ein.
• Gib eine Formel an, mit der sich der Flächeninhalt direkt mit Hilfe des Skalierungsfaktors k berechnen lässt. Trage sie auf dem Arbeitsblatt ein.

Kontrolliere deine Lösung!

• Wird das Quadrat mit dem Faktor k vergrößert, ist die Zahl der Quadrate k²
• Man muss den ursprünglichen Flächeninhalt lediglich mit der Anzahl der Quadrate multiplizieren, um den neuen Flächeninhalt zu erhalten.
• Wird ein Quadrat mit der Seitenlänge 1 cm mit dem Faktor k skaliert, so beträgt der Flächeninhalt k². Die Formel für den neuen Flächeninhalt lautet //ergänzen.

b) Jetzt soll das Quadrat verkleinert, also mit einem Faktor k<1 skaliert werden:

•  Setze die Konstruktion zurück (Symbol) und verkleinere das Quadrat nun mit den Faktoren 0,5 (gleich 1/4)  und 0,25 (gleich 1/8). Du brauchst jetzt nur einen Teil des originalen Quadrats, um die verkleinerte Fläche auszulegen? Finde heraus, wie groß ist dieser Anteil ist? Du kannst auch hier eine Kopie des Originalquadrats nutzen. Ergänze die Tabelle.
• Berechne den Flächeninhalt der verkleinerten Quadrate mit Hilfe des gerade ermittelten Anteils und trage ihn in die Tabelle ein.
• Begründe, dass die in a) ermittelte Formel zur Berechnung der Fläche auch für Skalierungsfaktoren k<1 gilt.

Kontrolliere deine Lösung!

• Schiebt man eine Kopie des Originalquadrats auf das verkleinerte Quadrat, erkennt man, dass dass das verkleinerte Quadrat viermal (bzw. achtmal) in das Originalquadrat passen würde. Man benötigt zum Auslegen also nur noch 1/4 bzw. 1/16 der Originalfläche. 
• Die Fläche beträgt also 1/4 bzw. 1/16 der Originalfläche.
• Es ist Formeln ergänzen .

Quadratwachstum 2

Begründe mit Hilfe des Applets Quadrate 2, dass man mit der gerade entwickelten Idee den Flächeninhalt eines vergrößerten oder verkleinerten Quadrats auch dann berechnen kann, wenn das Originalquadrat eine Seitenlänge von (beispielsweise) 2 cm hat. Gehe dazu folgendermaßen vor:

• Verdopple, verdreifache und halbiere die Seitenlängen. Berechne den Flächeninhalt mit Hilfe der angezeigten Rasterung und trage die Ergebnisse in der Tabelle auf deinem Arbeitsblatt ein.
• Was stellt du fest, wenn du die Zahl der Quadrate (mittlere Spalte) in den beiden Tabellen vergleichst?
• Erkläre in eigenen Worten, wie du die Flächeninhalte der vergrößerten oder verkleinerten Quadrate aus den Flächeninhalt des Originalquadrats und dem Skalierungsfaktor berechnen kannst.

Kontrolliere dann deine Lösung

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Ergänze dann nun Lückentext.

Wird die Seitenlänge eines Quadrats

• verdoppelt, so wächst die Fläche auf das vierfache
• verdreifacht, so wächst die Fläche auf das neunfache
• verzehnfacht, so wächst die Fläche auf das hundertfache
• halbiert, so schrumpft die Fläche auf ein Viertel

Allgemein gilt: Skaliert man ein Quadrat mit dem Flächeninhalt A mit dem Faktor k, so berechet man den Flächeninhalt des skalierten Quadrats, indem man A mit dem Faktor k² multipliziert. Die Fläche eines Quadrats wächst also quadratisch zum Skalierungsfaktor. Es gilt A_neu= A*k²

.

Sprinteraufgabe: Gib im Applet Quadrate 2 als neue Seitenlänge 3 cm ein und ermittle den Skalierungsfaktor. Begründe dann mit Hilfe des angezeigten Quadrate, dass die Formel A_neu= A*k² auch für nichtganzzahlige Skalierungsfaktoren gilt.

Beträgt die Seitenlänge des skalierten Quadrats 3 cm, so ist der Skalierungsfaktor k = 1,5.

Die neue Fläche beträgt 9 cm² . Es ist 9 = 4*1,5² = 4 *2,25.

Info

Die Zerlegung des großen Quadrats in kleine Quadrate nennt man auch Rasterung. Mit Hilfe einer solchen Rasterung lassen sich Flächeninhalte berechnen oder zumindest abschätzen.

Flächenwachstum von Rechtecken

Auch Rechtecke kann man rastern. Erkläre mit Hilfe der Abbildung, dass auch der Flächeninhalt von Rechtecken bei Skalieren mit dem Faktor k² wächst.

Krummlinig begrenzte wie Kreise oder Flächen können nicht auf die gleiche Art und Weise gerastert werden. Um zu erkennen, wie sich der Flächeninhalt solcher Flächen verändert, muss die Rastermethode abgewandelt werden. Hierzu gibt es zwei Möglichkeiten.

1. Möglichkeit: Künstler entwerfen großformatige Kunstwerke oft aus kleineren Vorlagen, die sie auf Kästchenpapier zeichen. Anschließend wird das Bild auf vergrößerte Kästchen übertragen. Dieser Trick ist auch für Kulissenbauer nützlich.

See

Untersuche, wie die Fläche des Bildes des Sees beim Vergrößeren wächst. Bearbeite die Aufgaben, die du unter Applet findest.

a) Schätze die Fläche des Sees durch die Fläche der Kästchen ab. Ein Kästchen hat eine Seitenlänge von 0,5 cm.

a) Der See nimmt eine Fläche von ca. 22 Kästchen ein. Ein Kästchen hat eine Fläche von 0,25 cm². Also hat der See eine Fläche von 5,5 cm²

b) KLicke auf "Vergrößere". Schätze genauso die Fläche des vergrößerten Sees ab. Ein Kästchen hat hier eine Seitenlänge von 1 cm.

b) Der See nimmt eine Fläche von ca. 22 Kästchen ein. Ein Kästchen hat eine Fläche von 1 cm². Also hat der See eine Fläche von 22 cm²

c) Gib den Faktor an, mit dem die Zeichnung skaliert wurde.

c) Der Skalierungsfaktor ist 2, weil die Seitenlängen der Quadrate und somit alle Längen verdoppelt wurden.

Gib an, auf das wievielfache die Fläche bei der Vergrößerung wächst. Erläutere das Ergebnis mit Hilfe der Graphik. d)Wenn du nicht weiter weißt, kannst du im Applet auf Hilfe klicken.

d) Die Fläche wächst auf das Vierfache. Erklärung: Die Seitenlänge der Quadrate hat sich verdoppelt, also vervierfacht sich die Fläche der Quadrate. Da beim Skalieren das Verhältnis von Flächen zueinander gleichbleibt, vervierfacht sich auch die Fläche des Sees.

Hinweis: Dies sieht man auch, wenn man Flächen aus a und b miteinander vergleicht.

e) Wie groß wäre die Fläche des Sees, wenn die Kästchen eine Seitenlänge von 10 cm hätten?

Überlege, mit welchem Faktor die Seitenlängen (ausgehend von der Originalzeichnung) skaliert wurden. Nutze dann dein Wissen über das Wachstum von Flächen.

e) Der Skalierungsfaktor beträgt 20. Die Fläche wächst also auf das 400fache. Also beträgt die Fläche des Sees 5,5 cm²*400 = 2200 cm²

Eine 2. Möglichkeit, das quadratische Wachstum der Flächen beim Skalieren zu erklären, ist, sich um die betrachtete Figur einen quadratischen (oder rechteckigen) Bilderrahmen vorzustellen.

Arbeitsauftrag

Hermine hat mal wieder Anstecker für die Elfen-Liga entworfen, die ihre Freunde tragen sollen. Für Hagrid hat sie ein extra großes Exemplar entworfen. Die Anstecker sind im Applet zu sehen.

a) Klicke auf "Zeige Rahmen", um die Rahmen um die Anstecker anzuzeigen. Ermittle den Skalierungsfaktor k und begründe, dass die Fläche auf das k²-fache wächst. Wenn du nicht weiter weißt, klicke auf "Hilfe".

b) Der ursprüngliche Anstecker hat eine Fläche von 7 cm². Gib den Flächeninhalt des vergrößerten Ansteckers an.

1 Der Skalierungsfaktor beträgt 2. Dies erkennt man durch einen Vergleich der Rahmenlängen. Die Fläche des Quadrats vervierfacht sich beim Skalieren. Da sich Flächenverhältnisse beim Skalieren nicht ändern, muss auch sich auf die Fläche des Buttons vervierfachen.

Wie wachsen Flächen

Bild einfügen. Bei Skalieren werden Längen mit dem Faktor k multipliziert, Flächen mit dem Faktor k²

Material für das Teeservice

Datei:Shutterstock Alice Teetasse.jpg

Du hast in der Aufgabe ... herausgefunden, dass die Höhe der originalen Teetasse ca. 8 cm beträgt. Die Untertasse hat eine Fläche von ca. cm², die Oberfläche der Teetasse beträgt .. cm² Berechne die Fläche der Vergrößerungen.

Da die Gegenstände mit dem Faktor 10 vergrößert wurden, wachsen die Flächen auf das Hundertfache. Die Untertasse hat also eine Fläche von , die Teetasse eine Oberfläche von

3. Volumina ähnlicher Figuren

Auch für das Volumen von Körpern gibt es eine Gesetzmäßigkeit, mit der die Volumen beim Vergrößern oder Verkleinern wachsen bzw. schrumpfen. Diese Gesetzmäßigkeit sollst du am Beispiel eines Würfels erarbeiten: {{Box|Wachstum von Längen,Flächen und Volumen am Würfel|

Der kleine Würfel hat eine Seitenlänge von 1 cm. Der zweite und dritte Würfel entstehen, indem kleine Würfel aneinandergeklebt werden.

• Trage zunächst die Seitenlängen und den Flächeninhalt der Seiten des zweiten und dritten Würfels in auf der Tabelle in deinem Arbeitsblatt ein.
• Überlege dann, welches Volumen der zweite und dritte Würfel haben. Trage die Werte in die Tabelle ein.
• Ergänze die Werte für den "Viererwürfel".
• Erkläre mit Hilfe der Tabelle, wie das Volumen wächst, wenn man die Seitenlänge des Würfels verdoppelt bzw. verdreifacht.

Kontrolliere dein Ergebnis.

Idee

Das gerade erkannte Prinzip gilt für beliebige Körper. Dies kann man mit einer ähnlichen Überlegung wie bei der Rastermethode für Flächen begründen. Statt umschriebenen Quadraten verwendet man umschriebene Würfel.

Volumen einer Schachfigur

Arbeitsmethode

3. Verallgemeinerung - Merksatz 4. Eine Übung