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Im Geogebraapplet siehst du zwei Quadrate mit der Seitenlänge 1 cm, also einem Flächeninhalt von 1 cm². | Im Geogebraapplet siehst du zwei Quadrate mit der Seitenlänge 1 cm, also einem Flächeninhalt von 1 cm². | ||
a) Betrachte zunächst vergrößerte Quadrate - das heißt, dass das Quadrat mit einem Faktor k > 1 skaliert wird: | a) Betrachte zunächst vergrößerte Quadrate - das heißt, dass das Quadrat mit einem Faktor k > 1 skaliert wird: | ||
* Vergrößere das rechte Quadrat nacheinander mit dem Faktor '''2''', '''3''' und '''4''', indem du den Skalierungsfaktor passend einstellst. Prüfe, wie oft das ursprüngliche Quadrat jeweils in das vergrößerte Quadrat passt. Du kannst dazu beliebig viele Kopien des Originalquadrats erzeugen und die Fläche des vergrößerten Quadrats damit auslegen. Trage die Anzahl der Quadrate in die Tabelle ein, die du auf dem Arbeitsblatt findest. | * Vergrößere das rechte Quadrat nacheinander mit dem Faktor '''2''', '''3''' und '''4''', indem du den Skalierungsfaktor passend einstellst. Prüfe, wie oft das ursprüngliche Quadrat jeweils in das vergrößerte Quadrat passt. Du kannst dazu beliebig viele Kopien des Originalquadrats erzeugen und die Fläche des vergrößerten Quadrats damit auslegen. Trage die Anzahl der Quadrate in die Tabelle ein, die du auf dem Arbeitsblatt findest. | ||
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* Man muss den ursprünglichen Flächeninhalt lediglich mit der Anzahl der Quadrate multiplizieren, um den neuen Flächeninhalt zu erhalten. | * Man muss den ursprünglichen Flächeninhalt lediglich mit der Anzahl der Quadrate multiplizieren, um den neuen Flächeninhalt zu erhalten. | ||
* Wird ein Quadrat mit der Seitenlänge 1 cm mit dem Faktor '''k''' skaliert, so beträgt der Flächeninhalt '''k²''' | * Wird ein Quadrat mit der Seitenlänge 1 cm mit dem Faktor '''k''' skaliert, so beträgt der Flächeninhalt '''k²''' | ||
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* Begründe, dass die in a) ermittelte Formel zur Berechnung der Fläche auch für Skalierungsfaktoren k<1 gilt. | * Begründe, dass die in a) ermittelte Formel zur Berechnung der Fläche auch für Skalierungsfaktoren k<1 gilt. | ||
Kontrolliere deine Lösung! | Kontrolliere deine Lösung! | ||
{{Lösung versteckt|[[Datei:Lösung c.jpg|mini|right]] | {{Lösung versteckt|[[Datei:Lösung c.jpg|mini|right]] | ||
* Schiebt man eine Kopie des Originalquadrats auf das verkleinerte Quadrat, erkennt man, dass dass das verkleinerte Quadrat viermal (bzw. achtmal) in das Originalquadrat passen würde. Man benötigt zum Auslegen also nur noch 1/4 bzw. 1/16 der Originalfläche. | * Schiebt man eine Kopie des Originalquadrats auf das verkleinerte Quadrat, erkennt man, dass dass das verkleinerte Quadrat viermal (bzw. achtmal) in das Originalquadrat passen würde. Man benötigt zum Auslegen also nur noch 1/4 bzw. 1/16 der Originalfläche. | ||
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* Für k = 1/2 ist k² = 1/4, k = 1/4 ist k² = 1/16 | * Für k = 1/2 ist k² = 1/4, k = 1/4 ist k² = 1/16 | ||
|2= Lösung a |3=einklappen}} | |||
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|Arbeitsmethode}} | |Arbeitsmethode}} |
Version vom 26. April 2022, 09:05 Uhr
In vielen Filmen spielen besonders große oder kleine Helden oder Heldinnen eine wichtige Rolle. Bekannte Beispiele sind der Waldhüter und Halbriese Hagrid der Harry-Potter-Filme oder die Titelfigur Alice aus Alice im Wunderland, die im Laufe der Handlung auf ein Zehntel ihrer Größe schrumpft. Zur Darstellung der Größenverhältnisse ist oft ein erheblicher Aufwand nötig. So wurde der Hagrid-Darsteller Robbie Coltran, der in Wirklichkeit nur 1,85 groß ist, häufig durch einen sehr großen Rugbyspieler in einem "Hagrid-Suite" ersetzt. In Szenen, in denen Hagrid alleine (und von Nahem) zu sehen ist, wurde dagegen das jeweilige Set in einer kleineren Größe nachgebaut. Dieser aufwändige Trick wurde auch in Alice im Wunderland verwendet. Doch worauf muss man achten, damit der Nachbau der Kulisse gelingt?
1. korrektes Vergrößern und Verkleinern. Worauf muss man achten?
Wenn man eine Figur maßstäblich vergrößert oder verkleinert, werden alle Seitenlängen der Figur mit demselben positiven Faktor multipliziert. Dieser Faktor heißt auch Skalierungsfaktor, die maßstäbliche Vergrößerung oder Verkleinerung heißt auch skalieren. Ist der Skalierungsfaktor k größer als 1, so wird das Original vergrößert, ist k kleiner 1, wird das Original verkleinert. Beim Skalieren bleiben alle Winkel sowie die Seiten- und Flächenverhältnisse gleich. Statt des Skalierungsfaktors gibt man häufig auch den Maßstab der Vergrößerung oder Verkleinerung an: Eine Vergrößerung mit dem Skalierungsfaktor 2 entspricht dem Maßstab 2:1 (2 cm bei der Vergrößerung entsprechen einem cm beim Original). Eine Verkleinerung mit dem Skalierungsfaktor 0,5 entspricht dem Maßstab 1:2 (1 cm bei der Vergrößerung entspricht 2 cm beim Original). Figuren, die durch Skalierung auseinander entstehen, sind ähnlich.
2. Wie wachsen Flächen beim Skalieren von Figuren?
Im Film "Alice im Spiegelland" kämpft Alice gegen Schachfiguren. Zur Filmkulisse gehört ein Schachbrett aus hochwertigem Holz. Auch dieses muss vergrößert werden. Die Materialkosten für die Anfertigung liegen bei 800 Euro pro m². Die Produktionsleitung befürchtet, dass die Kosten zu hoch werden.
Du hast festgestellt, dass die Flächen beim Skalieren schneller wachsen (oder schrumpfen) als die Seitenlängen. Jetzt sollst du untersuchen, wie sich Fläche beim Vergrößern oder Verkleinern der Figur in Abhängigkeit von Skalierungsfaktor ändert. Dazu untersuchen wir zunächst die Flächeninhalte skalierter Quadrate.
Ergänze dann nun Lückentext.
Wird die Seitenlänge eines Quadrats
- verdoppelt, so wächst die Fläche auf das vierfache
- verdreifacht, so wächst die Fläche auf das neunfache
- verzehnfacht, so wächst die Fläche auf das hundertfache
- halbiert, so schrumpft die Fläche auf ein Viertel
Allgemein gilt: Skaliert man ein Quadrat mit dem Flächeninhalt A mit dem Faktor k, so berechet man den Flächeninhalt des skalierten Quadrats, indem man A mit dem Faktor k² multipliziert. Die Fläche eines Quadrats wächst also quadratisch zum Skalierungsfaktor. Es gilt Aneu= A*k²
.
- b) Sprinteraufgabe: Gib als neue Seitenlänge 3 cm ein und ermittle den Skalierungsfaktor. Begründe dann mit Hilfe des angezeigten Quadrate, dass die Formel Aneu= A*k² auch für nichtganzzahlige Skalierungsfaktoren gilt.
Gilt dieser Zusammenhang für beliebige Flächen? Hier helfen Überlegungen zur Vergrößerung mit Hilfe der sogenannten Rastermethode, mit der auch Künstler großformatige Kunstwerke aus kleinen Vorlagen schaffen:
3. Volumina ähnlicher Figuren
Noch zu überlegen?