Jule Volbers/Testseite

Datei:Shutterstock Alice Teetasse.jpg

In vielen Filmen spielen besonders große oder kleine Helden oder Heldinnen eine wichtige Rolle. Bekannte Beispiele sind der Waldhüter und Halbriese Hagrid der Harry-Potter-Filme oder die Titelfigur Alice aus Alice im Wunderland, die im Laufe der Handlung auf ein Zehntel ihrer Größe schrumpft. Zur Darstellung der Größenverhältnisse ist oft ein erheblicher Aufwand nötig. So wurde der Hagrid-Darsteller Robbie Coltran, der in Wirklichkeit nur 1,85 groß ist, häufig durch einen sehr großen Rugbyspieler in einem "Hagrid-Suite" ersetzt. In Szenen, in denen Hagrid alleine (und von Nahem) zu sehen ist, wurde dagegen das jeweilige Set in einer kleineren Größe nachgebaut. Dieser aufwändige Trick wurde auch in Alice im Wunderland verwendet. Doch worauf muss man achten, damit der Nachbau der Kulisse gelingt?

1. korrektes Vergrößern und Verkleinern. Worauf muss man achten?

Das verzauberte Auto

In Harry Potter und die Kammer des Schreckens fliegen Ron und Harry mit dem Auto nach Hogwarts, wo dieses schließlich der peitschenden Weide zum Opfer fällt. Beim Nachbau des Autos für die verkleinerte Kulisse ist zunächst etwas schief gelaufen. Nur eines der drei kleinen Bilder zeigt eine korrekte Kopie des Autos auf dem großen Bild.

Begründe deine Entscheidung!

Auf den anderen Bildern sind die Verhältnisse der Seitenlängen und Flächen nicht korrekt. Beispielsweise ist auf dem ersten Bild die Kühlerhaube zu lang, auf dem dritten zu kurz.

Frage

Worauf muss man achten, damit die Formen nicht verzerrren? Beantworte diese Frage mit Hilfe der Aufgabe "Harry-Logo"

Harry-Logo

Harrys Freundin Luna hat ein "Harry-Logo" entworfen. Durch geeignete Zauber kann sie es vergrößern und verkleinern, so dass sie es als Anstecknadel oder auch als Banner verwenden kann. Überlege zunächst, wie du vorgehen würdest, um das Logo auf die doppelte Größe zu vergrößern bzw. halbe Größe zu verkleinern. Notiere stichpunktartig, wie sich

• Seitenlängen
• Winkeln
• Flächen
• Seitenverhältnissen
• Flächenverhältnissen (z.B. Buchstabe - Umrandung)

verändern. Überprüfe deine Angaben anschließend mit Hilfe der App "Logo".

Du kannst den Vergrößerungsfaktor - auch Skalierungsfaktor genannt - mit dem Schiebregler verändern.

Kreuze nun die richtigen Aussagen im Quiz an.

Fasse zusammen

Fülle jetzt den Lückentext aus. Kontrolliere deine Lösung und übertrage sie auf dein Merkblatt

Merke: Skalieren - Maßstäbliches Vergrößern oder Verkleinern von Figuren

Wenn man eine Figur maßstäblich vergrößert oder verkleinert, werden alle Seitenlängen der Figur mit demselben positiven Faktor multipliziert. Dieser Faktor heißt auch Skalierungsfaktor, die maßstäbliche Vergrößerung oder Verkleinerung heißt auch skalieren. Ist der Skalierungsfaktor k größer als 1, so wird das Original vergrößert, ist k kleiner 1, wird das Original verkleinert. Beim Skalieren bleiben alle Winkel sowie die Seiten- und Flächenverhältnisse gleich. Statt des Skalierungsfaktors gibt man häufig auch den Maßstab der Vergrößerung oder Verkleinerung an: Eine Vergrößerung mit dem Skalierungsfaktor 2 entspricht dem Maßstab 2:1 (2 cm bei der Vergrößerung entsprechen einem cm beim Original). Eine Verkleinerung mit dem Skalierungsfaktor 0,5 entspricht dem Maßstab 1:2 (1 cm bei der Vergrößerung entspricht 2 cm beim Original). Figuren, die durch Skalierung auseinander entstehen, sind ähnlich.

Aufgabe

Datei:Shutterstock Alice Teetasse.jpg

Nachdem Alice einen Zaubertrank getrunken hat, schrumpft sie auf ein Zehntel ihrer Größe.

• a) Gib den Skalierungfaktor an, mit dem die Teetasse vergrößert werden musste. Nenne auch den Maßstab.
• b) Die Schauspielerin ist 1,20 groß? Ermittle die ungefähre Größe der originalen Teetasse.

• a) Der Skalierungsfaktor beträgt 10, der Maßstab 10:1
• b) Die Teetasse ist etwa zwei Drittel so groß wie Alice, also vergrößert ca. 80 cm. Die Höhe der originalen Tasse beträgt also ca. 8 cm.

2. Wie wachsen Flächen beim Skalieren von Figuren?

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Im Film "Alice im Spiegelland" kämpft Alice gegen Schachfiguren. Zur Filmkulisse gehört ein Schachbrett aus hochwertigem Holz. Auch dieses muss vergrößert werden. Die Materialkosten für die Anfertigung liegen bei 800 Euro pro m². Die Produktionsleitung befürchtet, dass die Kosten zu hoch werden.

Kostenexplosion

Der Bühnenbauer misst die Seitenlängen des originalen Schachbretts. "Alles halb so wild", meint er anschließend und präsentiert der Produktionsleitung folgende Rechnung.

Erläutere die Berechnungen des Bühnenbauers und korrigiere den Fehler, den er gemacht hat

Der Bühnenbauer hat aus den gemessenen Seitenlängen des Schachbretts dessen Fläche berechnet. Diese beträgt 0,25 m², die Kosten für das kleine Brett betragen also 800 €:4 = 200 €. Diese Rechnung ist korrekt. Die Seitenlängen des vergrößerten Schachbretts sind 10mal so groß, also 5m. Auch diese Überlegung ist richtig. Allerdings beträgt die Fläche des vergrößerten Schachbretts 25m², die Kosten hierfür betragen 20000 Euro. Der Bühnenbauer hat die Kosten aber fälschlicherweise nur verzehnfacht.

Du hast festgestellt, dass die Flächen beim Skalieren schneller wachsen (oder schrumpfen) als die Seitenlängen. Jetzt sollst du untersuchen, wie sich Fläche beim Vergrößern oder Verkleinern der Figur in Abhängigkeit von Skalierungsfaktor ändert. Dazu untersuchen wir zunächst die Flächeninhalte skalierter Quadrate.

Quadratwachstum 1

Lösung a bis

• d) Setze die Konstruktion zurück (Symbol) und verkleinere das Quadrat nun mit den Faktoren 0,5 (gleich 1/4) und 0,25 (gleich 1/8). Du brauchst jetzt nur einen Teil des originalen Quadrats, um die verkleinerte Fläche auszulegen? Finde heraus, wie groß ist dieser Anteil ist? Du kannst auch hier eine Kopie des Originalquadrats nutzen. Ergänze die Tabelle.
• e) Berechne den Flächeninhalt der verkleinerten Quadrate mit Hilfe der Angaben aus d und trage ihn in die Tabelle ein. Ergänze die Wertetabelle auf deinem Arbeitsblatt. Kontrolliere dann deine Lösung.
• f) Begründe, dass die Formel für die Quadratzahl aus b auch für Skalierungsfaktoren kleiner 1 gilt.

{{{1}}}

|Arbeitsmethode}}

Quadrat 2

Begründe mit Hilfe des Geogebraapplets, dass man mit der gerade entwickelten Idee den Flächeninhalt eines vergrößerten oder verkleinerten Quadrats auch dann berechnen kann, wenn das Originalquadrat eine Seitenlänge von (beispielsweise) 2 cm hat. Gehe dazu folgendermaßüen vor:

• a) Verdopple, verdreifache und halbiere die Seitenlängen. Berechne den Flächeninhalt mit Hilfe der angezeigten Rasterung und trage die Ergebnisse in der Tabelle auf deinem Arbeitsblatt ein.

Noch ersetzen. Die Zahl der Quadrate in der 2. Spalte der Tabelle bleibt gleich!.

Ergänze dann nun Lückentext.

Wird die Seitenlänge eines Quadrats

• verdoppelt, so wächst die Fläche auf das vierfache
• verdreifacht, so wächst die Fläche auf das neunfache
• verzehnfacht, so wächst die Fläche auf das hundertfache
• halbiert, so schrumpft die Fläche auf ein Viertel

Allgemein gilt: Skaliert man ein Quadrat mit dem Flächeninhalt A mit dem Faktor k, so berechet man den Flächeninhalt des skalierten Quadrats, indem man A mit dem Faktor k² multipliziert. Die Fläche eines Quadrats wächst also quadratisch zum Skalierungsfaktor. Es gilt A_neu= A*k²

.

• b) Sprinteraufgabe: Gib als neue Seitenlänge 3 cm ein und ermittle den Skalierungsfaktor. Begründe dann mit Hilfe des angezeigten Quadrate, dass die Formel A_neu= A*k² auch für nichtganzzahlige Skalierungsfaktoren gilt.

{{{1}}}

Gilt dieser Zusammenhang für beliebige Flächen? Hier helfen Überlegungen zur Vergrößerung mit Hilfe der sogenannten Rastermethode, mit der auch Künstler großformatige Kunstwerke aus kleinen Vorlagen schaffen:

See

Es soll untersucht werden, wie die Fläches des Bildes eines Sees beim Vergrößeren wächst.

• a) Schätze die Fläche des Sees im linken Bild durch die Fläche der Kästchen ab. Ein Kästchen hat eine Seitenlänge von 0,5 cm.

a) Der See nimmt eine Fläche von ca. 22 Kästchen ein. Ein Kästchen hat eine Fläche von 0,25 cm². Also hat der See eine Fläche von 5,5 cm²

• b) Schätze genauso die Fläche des Sees im vergrößerten Bild rechts ab. Ein Kästchen hat hier eine Seitenlänge von 1 cm.

b) Der See nimmt eine Fläche von ca. 22 Kästchen ein. Ein Kästchen hat eine Fläche von 1 cm². Also hat der See eine Fläche von 22 cm²

• c) Gib den Faktor an, mit dem die Zeichnung skaliert wurde.

c) Der Skalierungsfaktor ist 2, weil die Seitenlängen der Quadrate und somit alle Längen verdoppelt wurden.

• Gib an, auf das wievielfache die Fläche bei der Vergrößerung wächst. Erläutere das Ergebnis mit Hilfe der Graphik. Wenn du nicht weiter weißt, kannst du im Applet auf Hilfe klicken.

c) Die Fläche wächst auf das Vierfache. Erklärung: Die Seitenlänge der Quadrate hat sich verdoppelt, also vervierfacht sich die Fläche der Quadrate.

3. Volumina ähnlicher Figuren

Noch zu überlegen?