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{{Lösung versteckt|1 = Der Bühnenbauer hat aus den gemessenen Seitenlängen des Schachbretts dessen Fläche berechnet. Diese beträgt 0,25 m², die Kosten für das kleine Brett betragen also 800 €:4 = 200 €. Diese Rechnung ist korrekt. Die Seitenlängen des vergrößerten Schachbretts sind 10mal so groß, also 5m. Auch diese Überlegung ist richtig. Allerdings beträgt die Fläche des vergrößerten Schachbretts 25m², die Kosten hierfür betragen 20000 Euro. Der Bühnenbauer hat die Kosten aber fälschlicherweise nur verzehnfacht. |2= Lösung|3=Lösung}} | {{Lösung versteckt|1 = Der Bühnenbauer hat aus den gemessenen Seitenlängen des Schachbretts dessen Fläche berechnet. Diese beträgt 0,25 m², die Kosten für das kleine Brett betragen also 800 €:4 = 200 €. Diese Rechnung ist korrekt. Die Seitenlängen des vergrößerten Schachbretts sind 10mal so groß, also 5m. Auch diese Überlegung ist richtig. Allerdings beträgt die Fläche des vergrößerten Schachbretts 25m², die Kosten hierfür betragen 20000 Euro. Der Bühnenbauer hat die Kosten aber fälschlicherweise nur verzehnfacht. |2= Lösung|3=Lösung}} | ||
|Arbeitsmethode}} | |Arbeitsmethode}} | ||
Du hast festgestellt, dass die Flächen beim Skalieren schneller wachsen (oder schrumpfen) als die Seitenlängen. Jetzt sollst du untersuchen, wie sich Fläche beim Vergrößern oder Verkleinern der Figur in Abhängigkeit von Skalierungsfaktor ändert. Dazu untersuchen wir zunächst die Flächeninhalte skalierter '''Quadrate'''. | |||
{{Box|Quadratwachstum 1| | {{Box|Quadratwachstum 1| | ||
Im Geogebraapplet siehst du zwei Quadrate mit der Seitenlänge 1 cm, also einem Flächeninhalt von 1 cm². | Im Geogebraapplet siehst du zwei Quadrate mit der Seitenlänge 1 cm, also einem Flächeninhalt von 1 cm². | ||
* a) Vergrößere das rechte Quadrat nacheinander mit dem Faktor '''2''', '''3''' und '''4''', indem du den Skalierungsfaktor passend einstellst. Prüfe, wie oft das ursprüngliche Quadrat jeweils in das vergrößerte Quadrat passt. Du kannst dazu beliebig viele Kopien des Originalquadrats erzeugen und die Fläche des vergrößerten Quadrats damit auslegen. Trage die Anzahl der Quadrate in die Tabelle ein, die du auf dem Arbeitsblatt findest. | * a) Vergrößere das rechte Quadrat nacheinander mit dem Faktor '''2''', '''3''' und '''4''', indem du den Skalierungsfaktor passend einstellst. Prüfe, wie oft das ursprüngliche Quadrat jeweils in das vergrößerte Quadrat passt. Du kannst dazu beliebig viele Kopien des Originalquadrats erzeugen und die Fläche des vergrößerten Quadrats damit auslegen. Trage die Anzahl der Quadrate in die Tabelle ein, die du auf dem Arbeitsblatt findest. | ||
* b) Berechne den Flächeninhalt der vergrößerten Quadrate mit Hilfe der Anzahl der Quadrate. Trage den Flächeninhalt ebenfalls in die Tabelle ein. Kontrolliere dann deine Lösung. | * b) Überlege, welcher Zusammenhang zwischen dem Skalierungsfaktor und der der Zahl der Quadrate besteht. Nutze diesen Zusammenhang, um die Zahl der Quadrate für die Skalierungsfaktoren 5 bzw. 10 anzugeben. | ||
* c) Berechne den Flächeninhalt der vergrößerten Quadrate mit Hilfe der Anzahl der Quadrate. Trage den Flächeninhalt ebenfalls in die Tabelle ein. Kontrolliere dann deine Lösung. | |||
<ggb_applet id=" bz4xthmv" width="50%" height="50%" border="888888" /> | <ggb_applet id=" bz4xthmv" width="50%" height="50%" border="888888" /> | ||
{{Lösung versteckt|[[Datei:Quadratwachstum a.jpg|mini|right]] Man muss den ursprünglichen Flächeninhalt lediglich mit der Anzahl der Quadrate multiplizieren, um den neuen Flächeninhalt zu erhalten. | {{Lösung versteckt|[[Datei:Quadratwachstum a.jpg|mini|right]] | ||
b) Die Zahl der Quadrate erhält man, indem man den Skalierungsfaktor quadriert. Beträgt der Skalierungsfaktor 5, sind es 5² = 25 Quadrate, beträgt er 10, sind es 10² = 100 Quadrate. | |||
c) Man muss den ursprünglichen Flächeninhalt lediglich mit der Anzahl der Quadrate multiplizieren, um den neuen Flächeninhalt zu erhalten. | |||
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|2= Lösung a und b |3=einklappen}} | |2= Lösung a und b |3=einklappen}} | ||
* | * d) Setze die Konstruktion zurück (Symbol) und verkleinere das Quadrat nun mit den Faktoren '''0,5''' (gleich '''1/4''') und '''0,25''' (gleich '''1/8'''). Du brauchst jetzt nur einen Teil des originalen Quadrats, um die verkleinerte Fläche auszulegen? Finde heraus, wie groß ist dieser Anteil ist? Du kannst auch hier eine Kopie des Originalquadrats nutzen. Ergänze die Tabelle. | ||
* | * e) Berechne den Flächeninhalt der verkleinerten Quadrate mit Hilfe der Angaben aus d und trage ihn in die Tabelle ein. Ergänze die Wertetabelle auf deinem Arbeitsblatt. Kontrolliere dann deine Lösung. | ||
* f) Begründe, dass die Formel für die Quadratzahl aus b auch für Skalierungsfaktoren kleiner 1 gilt. | |||
{{Lösung versteckt|[[Datei:Lösung c.jpg|mini|right]] Schiebt man eine Kopie des Originalquadrats auf das verkleinerte Quadrat, erkennt man, dass dass das verkleinerte Quadrat viermal (bzw. | {{Lösung versteckt|[[Datei:Lösung c.jpg|mini|right]] | ||
d) Schiebt man eine Kopie des Originalquadrats auf das verkleinerte Quadrat, erkennt man, dass dass das verkleinerte Quadrat viermal (bzw. sechzehnmal) in das Originalquadrat passen würde. Man benötigt zum Auslegen also nur noch 1/4 bzw. 1/16 der Originalfläche. | |||
e) Die Fläche beträgt also 1/4 cm² bzw. 1/16 cm². | |||
f) Es ist 0,5 = 1/2 und (1/2)² = 1/4 bzw. 0,25 = 1/4, (1/4)²=1/16 | |||
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|2= Lösung | |2= Lösung d,e und f |3=einklappen}} | ||
|Arbeitsmethode}} | |Arbeitsmethode}} | ||
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*verzehnfacht, so wächst die Fläche auf das '''hundertfache''' | *verzehnfacht, so wächst die Fläche auf das '''hundertfache''' | ||
*halbiert, so schrumpft die Fläche auf '''ein Viertel''' | *halbiert, so schrumpft die Fläche auf '''ein Viertel''' | ||
Allgemein gilt: Skaliert man ein Quadrat mit dem Flächeninhalt A mit dem Faktor k, so berechet man den Flächeninhalt des skalierten Quadrats, indem man A mit dem Faktor '''k²''' multipliziert. Die Fläche eines Quadrats wächst also '''quadratisch''' zum Skalierungsfaktor. Es gilt '''A<sub>neu</sub>'''= A*'''k²''' | Allgemein gilt: Skaliert man ein Quadrat mit dem Flächeninhalt A mit dem Faktor k, so berechet man den Flächeninhalt des skalierten Quadrats, indem man A mit dem Faktor '''k²''' multipliziert. Die Fläche eines Quadrats wächst also '''quadratisch''' zum Skalierungsfaktor. Es gilt '''A<sub>neu</sub>'''= A*'''k²''' | ||
</div>. | </div>. | ||
* b) Sprinteraufgabe: Gib als neue Seitenlänge 3 cm ein und ermittle den Skalierungsfaktor. Begründe dann mit Hilfe des angezeigten Quadrate, dass die Formel A<sub>neu</sub>= A*k² auch für nichtganzzahlige Skalierungsfaktoren gilt. | |||
*b) Sprinteraufgabe: Gib als neue Seitenlänge 3 cm ein und ermittle den Skalierungsfaktor. Begründe dann mit Hilfe des angezeigten Quadrate, dass die Formel A<sub>neu</sub>= A*k² auch für nichtganzzahlige Skalierungsfaktoren gilt. | |||
{{Lösung versteckt|Beträgt die Seitenlänge des skalierten Quadrats 3 cm, so ist der Skalierungsfaktor '''k = 1,5'''. | {{Lösung versteckt|Beträgt die Seitenlänge des skalierten Quadrats 3 cm, so ist der Skalierungsfaktor '''k = 1,5'''. | ||
Die neue Fläche beträgt 9 cm². Es ist 9 = 4*1,5² = 4*2,25. | Die neue Fläche beträgt 9 cm². Es ist 9 = 4*1,5² = 4*2,25. |
Version vom 25. April 2022, 11:47 Uhr
In vielen Filmen spielen besonders große oder kleine Helden oder Heldinnen eine wichtige Rolle. Bekannte Beispiele sind der Waldhüter und Halbriese Hagrid der Harry-Potter-Filme oder die Titelfigur Alice aus Alice im Wunderland, die im Laufe der Handlung auf ein Zehntel ihrer Größe schrumpft. Zur Darstellung der Größenverhältnisse ist oft ein erheblicher Aufwand nötig. So wurde der Hagrid-Darsteller Robbie Coltran, der in Wirklichkeit nur 1,85 groß ist, häufig durch einen sehr großen Rugbyspieler in einem "Hagrid-Suite" ersetzt. In Szenen, in denen Hagrid alleine (und von Nahem) zu sehen ist, wurde dagegen das jeweilige Set in einer kleineren Größe nachgebaut. Dieser aufwändige Trick wurde auch in Alice im Wunderland verwendet. Doch worauf muss man achten, damit der Nachbau der Kulisse gelingt?
1. korrektes Vergrößern und Verkleinern. Worauf muss man achten?
Wenn man eine Figur maßstäblich vergrößert oder verkleinert, werden alle Seitenlängen der Figur mit demselben positiven Faktor multipliziert. Dieser Faktor heißt auch Skalierungsfaktor, die maßstäbliche Vergrößerung oder Verkleinerung heißt auch skalieren. Ist der Skalierungsfaktor k größer als 1, so wird das Original vergrößert, ist k kleiner 1, wird das Original verkleinert. Beim Skalieren bleiben alle Winkel sowie die Seiten- und Flächenverhältnisse gleich. Statt des Skalierungsfaktors gibt man häufig auch den Maßstab der Vergrößerung oder Verkleinerung an: Eine Vergrößerung mit dem Skalierungsfaktor 2 entspricht dem Maßstab 2:1 (2 cm bei der Vergrößerung entsprechen einem cm beim Original). Eine Verkleinerung mit dem Skalierungsfaktor 0,5 entspricht dem Maßstab 1:2 (1 cm bei der Vergrößerung entspricht 2 cm beim Original). Figuren, die durch Skalierung auseinander entstehen, sind ähnlich.
2. Wie wachsen Flächen beim Skalieren von Figuren?
Im Film "Alice im Spiegelland" kämpft Alice gegen Schachfiguren. Zur Filmkulisse gehört ein Schachbrett aus hochwertigem Holz. Auch dieses muss vergrößert werden. Die Materialkosten für die Anfertigung liegen bei 800 Euro pro m². Die Produktionsleitung befürchtet, dass die Kosten zu hoch werden.
Du hast festgestellt, dass die Flächen beim Skalieren schneller wachsen (oder schrumpfen) als die Seitenlängen. Jetzt sollst du untersuchen, wie sich Fläche beim Vergrößern oder Verkleinern der Figur in Abhängigkeit von Skalierungsfaktor ändert. Dazu untersuchen wir zunächst die Flächeninhalte skalierter Quadrate.
Ergänze dann nun Lückentext.
Wird die Seitenlänge eines Quadrats
- verdoppelt, so wächst die Fläche auf das vierfache
- verdreifacht, so wächst die Fläche auf das neunfache
- verzehnfacht, so wächst die Fläche auf das hundertfache
- halbiert, so schrumpft die Fläche auf ein Viertel
Allgemein gilt: Skaliert man ein Quadrat mit dem Flächeninhalt A mit dem Faktor k, so berechet man den Flächeninhalt des skalierten Quadrats, indem man A mit dem Faktor k² multipliziert. Die Fläche eines Quadrats wächst also quadratisch zum Skalierungsfaktor. Es gilt Aneu= A*k²
.
- b) Sprinteraufgabe: Gib als neue Seitenlänge 3 cm ein und ermittle den Skalierungsfaktor. Begründe dann mit Hilfe des angezeigten Quadrate, dass die Formel Aneu= A*k² auch für nichtganzzahlige Skalierungsfaktoren gilt.
Gilt dieser Zusammenhang für beliebige Flächen? Hier helfen Überlegungen zur Vergrößerung mit Hilfe der sogenannten Rastermethode, mit der auch Künstler großformatige Kunstwerke aus kleinen Vorlagen schaffen:
3. Volumina ähnlicher Figuren
Noch zu überlegen?