Quelltext der Seite Gesamtschule Rosenhöhe/Mathematik/Analytische Geometrie/Unterwegs in 3-D/Punkte und Vektoren im Raum

{{Box|1=Info
|2= In diesem Lernpfadkapitel beschäftigst du dich mit '''Punkten und Vektoren im Raum'''. 
Du lernst die Grundlagen zum Thema Punkte und Vektoren. Dies Beinhaltet die Unterscheidung dieser beiden Begriffe, das Rechnen, Interpretieren und Anwenden im Sachzusammenhang.

Dazu haben wir für dich Aufgaben in verschiedenen Schwierigkeitsstufen:

* Mit Aufgaben, die <span style="color: #F19E4F"> '''orange''' </span> gefärbt sind, kannst du <span style="color:#F19E4F">'''grundlegende Kompetenzen'''</span>  wiederholen und vertiefen. 
* Aufgaben in  <span style="color: #5E43A5"> '''blauer''' </span> Farbe sind  Aufgaben <span style="color: #5E43A5">'''mittlerer Schwierigkeit'''</span> 
* und Aufgaben mit  <span style="color: #89C64A"> '''grünem''' </span> Streifen sind  <span style="color: #89C64A">'''Knobelaufgaben'''</span>.

Wir wünschen dir viel Erfolg!
|3=Kurzinfo}}

==Wiederholung von Punkten und Vektoren==
{{Box | 1=Merksatz |2= Jeder Punkt lässt sich durch den Vektor beschreiben, der den Ursprung auf diesen Punkt verschiebt, den '''Ortsvektor'''. Bei Punkten werden die Koordinaten direkt an den Namen des Punktes  geschrieben, der Name des Punktes wird immer groß geschrieben; bei Vektoren, also auch bei Ortsvektoren, werden die Koordinaten durch ein Gleichheitszeichen vom Namen des Vektors getrennt, der Name des Vektors wird manchmal mit einem Pfeil darüber versehen und meistens klein geschrieben.

Zum Punkt <math>A(1|2|3) </math> gehört also der Ortsvektor  <math>\vec {a} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} </math>.|3= Merksatz}}

==Koordinatensystem==
{{Box|1= Aufgabe 1: Koordinatensysteme|2= Für diese Aufgabe benötigst du einen Bleistift, ein kariertes Blatt Papier und ein Geodreieck. Bearbeite die folgenden Aufgaben.

#Zeichne ein dreidimensionales Koordinatensystem. Wähle eine passende Skalierung anhand der angegebenen Punkte im Aufgabenteil 2 und 3.
#Zeichne die Punkte <math> A (1|2|1)</math>,<math> B(1|4|2)</math>, <math> C(1|2|{-}1{,}5)</math> und <math>  D(1|4|{-}0{,}5) </math> in das gezeichnete Koordinatensystem. Zeichne nun die Verbindungsvektoren <math>\vec{ AB }</math> , <math>\vec{ AC }</math>,<math>\vec{ CD }</math> und <math>\vec{ BD }</math> ein. Handelt es sich um eine zweidimensionale Figur oder um einen Körper? Benenne sie oder ihn.
#Nutze den Punkt <math> A (1|2|1)</math> aus Aufgabenteil 2. Füge die Punkte <math> E (-1|2|1)</math>,<math> F(1|0|1)</math>, <math> G(-1|0|1)</math> und <math>  H(0|1|5) </math>. Zeichne nun die Verbindungsvektoren <math>\vec{ AE }</math>,<math>\vec{ AF }</math>, <math>\vec{ AH }</math>, <math>\vec{ EG }</math>, <math>\vec{ FG }</math>, <math>\vec{ FH }</math> , <math>\vec{ EH }</math> und <math>\vec{ GH }</math> ein. Handelt es sich um eine zweidimensionale Figur oder um einen Körper? Benenne sie oder ihn.

 
{{Lösung versteckt|1= Punkte in einem dreidimensionalen Koordinatensystem kannst du mithilfe eines "Pfad-Folge-Verfahren"  genau bestimmen. Dabei geht man die durch die Punktkoordinaten angegeben Längeneinheiten in die Richtung der jeweiligen Achsen. Es entsteht einen Koordinatenzug. Das folgende Bild verdeutlicht das Verfahren. 

[[Datei:Koordinatenzug.jpg|rahmenlos|500x500px|Koordinatenzug des Pfad-Folge-Verfahrens]]
|2= Tipp|3=Einklappen}}


{{Lösung versteckt|1=  Bei Aufgabenteil 2 handelt es sich um ein Parallelogram. Bei Aufgabenteil 3 bekommst du eine Pyramide heraus, die eine quadratische Grundfläche besitzt. Deine Lösung kann aufgrund einer anderen Skalierung der Achsen natürlich auch von der folgenden Lösung abweichen.
[[Datei:Lösung 2,3.jpg|rahmenlos|500x500px|Lösung]] |2= Lösung|3=Einklappen}}

|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}


{{Box|1= Aufgabe 2: Geometrische Objekte im Koordinatensystem|2= Die abgebildete Pyramide besitzt einen Eckpunkt im Nullpunkt <math> A(0|0|0)</math>. Die quadratische Grundfläche der Pyramide liegt dabei in der <math> x_1</math>-<math> x_2</math>-Ebene und die Spitze der Pyramide liegt 6 Längeneinheiten über der Grundfläche.

[[Datei:Pyramide.jpg|rahmenlos|500x500px|Pyramide]]


<quiz display="simple">
{Welche Aussage stimmt für die Koordinaten der Punkte <math> B </math>,<math> C </math> und <math> D </math>  ?}
- <math> B (5|0|0),C(0|0|5),D(0|5|0) </math>
- <math> B(0|5|0),C(0|5|5),D(0|0|5) </math>
+ <math> B (5|0|0),C(5|5|0),D(0|5|0) </math>
- <math> B (1|0|0),C(0|1|1),D(0|0|1) </math>
</quiz>

<quiz display="simple">
{Welche Aussage stimmt für den Flächeninhalt der Grundfläche der Pyramide ?}
- Der Flächeninhalt der Grundfläche der Pyramide beträgt <math>5 \text{ LE}^2 </math>.
- Der Flächeninhalt der Grundfläche der Pyramide beträgt <math>10 \text{ LE}^2 </math>.
+ Der Flächeninhalt der Grundfläche der Pyramide beträgt <math>25 \text{ LE}^2 </math>.
</quiz>
{{Lösung versteckt|1=Die Gundfläche ist ein Quadrat. Durch Multiplizieren der Längen der Grundflächenkanten erhältst du den Flächeninhalt.|2= Tipp 2|3=Einklappen}}

<quiz display="simple">
{Wo liegt der Spitze der Pyramide ?}
+ Die Spitze der Pyramide liegt bei <math> S (2{,}5|2{,}5|6) </math>.
- Die Spitze der Pyramide liegt bei <math> S (5|5|5) </math>.
- Die Spitze der Pyramide liegt bei <math> S (2{,}5|2{,}5|5) </math>.
</quiz>
{{Lösung versteckt|1=Die Spitze einer Pyramide liegt mittig über der Grundseite.|2= Tipp 3|3=Einklappen}}
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}

==Vektoren als Verschiebungen==
{{Box|1= Aufgabe 3: Verschiebungen durch Vektoren|2= Betrachte die dargestellten Verschiebungen <math>\vec{u}  </math> (grün) , <math>\vec{v}</math> (gelb) und <math>\vec{w}</math> (schwarz). Außerdem sind die Punkte <math> A(3|0|0)</math>, <math> B(0|2|0)</math> und <math> C(0|0|1)</math> bekannt.

[[Datei:Vektoren.jpg|rahmenlos|600x600px]]

Welche Punkte erhältst du bei folgenden Verschiebungen durch die Vektoren?

# <math> A(3|0|0)</math> <math>+ \vec{w} </math>
# <math> C(0|0|1)</math> <math> - \vec{u} </math>
# <math> A(3|0|0)</math> <math> - \vec{u}-\vec{w}-\vec{v} </math>
# <math> C(0|0|1) </math> <math>- \vec{u}+\vec{u}</math>
# <math> B(0|2|0) </math> <math> + 2 \cdot \vec{u} + 2 \cdot \vec{v} + \vec{w} </math>


{{Lösung versteckt|1= 
# <math> B(0|2|0)</math>
# <math> B(0|2|0)</math>
# <math> A(3|0|0)</math>
# <math> C(0|0|1)</math>
# <math> A(3|0|0)</math>
 |2= Lösung|3=Einklappen}}

|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}

==Rechnen mit Vektoren==
{{Box|1= Aufgabe 4: Vektoren addieren und mit einem Skalar multiplizieren|2=

{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=11071387}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|orange}}}}

{{Box|1= Aufgabe 5: Lückentext - Geometrische Bedeutung von Vektoraddition und skalarer Multiplikation|2=

<div class="lueckentext-quiz">
Wir definieren zwei '''Rechenoperationen''' für Vektoren: das Bilden des Vielfachen und der Summe. Die '''Vektoraddition''' bezeichnet das Bilden der '''Summe''' zweier Vektoren gleichen Typs. Gleichen Typs heißt, dass die beiden Vektoren gleich viele '''Komponenten''' haben. Man bildet die Summe, indem man die '''Komponenten''' der Vektoren '''komponentenweise''' addiert. Wir können uns die Addition von Vektoren als ein „'''Aneinanderlegen'''“ von zwei '''Pfeilen''' von ggf. verschiedener Länge vorstellen. Wenn wir <math> \vec{a} </math> und <math> \vec{b}</math> als '''Pfeile''' deuten, bedeutet die Addition, dass wir die '''Pfeile''' hintereinanderlegen, so dass der '''Anfang''' von <math> \vec{b} </math> und die „'''Spitze'''“ von <math> \vec{a} </math> übereinstimmen. Eine derartige Verwendung von Pfeilen ist aus der '''Physik''' bekannt. Dort werden oftmals '''Kräfte''' und Geschwindigkeiten mit Pfeilen dargestellt. Man kann am Ende zur Addition sagen, dass das Bilden der Summe zweier Vektoren <math> \vec{a} + \vec{b} </math> als '''Hintereinander-Ausführen''' der durch <math> \vec{a} </math> und <math> \vec{b} </math> dargestellten '''Verschiebungen''' gesehen werden kann.
</div>

<div class="lueckentext-quiz">
Das Bilden des '''Vielfachen''' eines Vektors wird auch als '''Multiplikation mit einem Skalar''' bezeichnet. Wir nennen unseren '''Vektor''' wieder <math> \vec{a} </math> und das '''Skalar''' bezeichnen wir mit <math> c </math>. Von jedem Vektor kann das '''<math> c </math> -Fache''' gebildet werden, indem '''alle Komponenten''' von <math> \vec{a} </math> '''mit <math> c </math> multipliziert''' werden. Ist '''<math> c>0 </math>''' so wird der „Pfeil“ von <math> \vec{a} </math> um den Faktor <math> c </math> gestreckt ('''falls <math>c > 1</math>''') oder gestaucht ('''falls <math>c < 1</math> '''). Ist '''<math>c<0</math>''', so erhält der Pfeil, der um den Faktor <math> c </math> gestreckt oder getaucht wird, noch eine '''Richtungsumkehrung'''. Für den Fall ''' <math> c=-1 </math> ''' sprechen wir dann vom '''Gegenvektor''' von <math> \vec{a} </math>.

Wir nennen zwei Vektoren '''kollinear''' (oder parallel), wenn einer der Vektoren ein '''Vielfaches des anderen''' ist. Mit anderen Worten: Wenn <math> \vec{a} </math> und <math> \vec{b} </math> zwei '''verschiedene''' Vektoren sind, so sind sie '''parallel/kollinear''' zueinander, falls ein '''Skalar <math> c </math>''' existiert, sodass gilt: '''<math> c \vec{a}=\vec{b} </math>'''. Dabei ist es egal, ob die beiden Vektoren in '''verschiedene''' '''Richtungen'''  zeigen oder nicht.
</div> 
|3=Arbeitsmethode}}

==Kollinearität von Vektoren==
{{Box|1= Aufgabe 6: Kollinearität von Vektoren|2=

{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=11504986}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|orange}}}}

==Länge und Abstände von Vektoren==
{{Box|1=Aufgabe 7: Länge und Abstände von Vektoren|2=
<quiz display="simple">
{Berechne die Länge der Vektoren:}

{ <math> \vec{v} = \begin{pmatrix} 12 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} </math>}
- <math> 11 </math>
- <math> 12 </math>
+ <math> 13 </math>
- <math> 14 </math>

{ <math> \vec{v} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} </math>}
- <math> 1 </math>
- <math> 2 </math>
+ <math> \sqrt{2} </math>
- <math> \frac{1}{2} </math> 
</quiz>

{{Lösung versteckt|1=Man berechtnet die Länge eines Vektors wie folgt: Man quadriert jede Komponente des Vektors. Anschließend werden diese addiert und zum Schluss wird aus dem Ergebnis die Wurzel gezogen.|2=Tipp 1|3=Tipp verbergen}}

<quiz display="simple">
{Berechne den Abstand der Punkte:}

{<math> A(8|9|10) </math> und <math> B(2|6|8) </math>}
- <math> 9{,}5 </math>
+ <math> 7 </math>
- <math> 8 </math>
- <math> 6{,}5 </math>

{<math> A(-1|{-}2|2) </math> und <math> B(-3|{-}1|0) </math>}
+ <math> 3 </math>
- <math> 6 </math>
- <math> 9 </math>
- <math> 12 </math>
</quiz>
{{Lösung versteckt|1=Man berechtnet den Abstand zweier Punkte wie folgt: Man betrachtet die einzelnen Einträge von <math> A </math> und <math> B </math>. Wenn man sich den ersten Eintrag von <math> A </math> anschaut, so betrachtet man auch den ersten Eintrag von <math> B </math>. Zwischen diesen beiden Einträgen bildet man nun die Differenz. Gleiches Verfahren setzt man bei allen anderen Einträgen ein. Achtung: Betrachte immer nur von einem Punkt zum anderen die Veränderung, sodass sich keine Vorzeichenfehler einschleichen! Man betrachtet also immer alle Einträge von <math> A </math> nach <math> B </math> oder alle Einträge von <math> B </math> nach <math> A </math>. Dann hat man einen Vektor gefunnden, der die Verschiebung beschreibt. Ab hier geht man dann wieder so vor wie in Tipp 1 beschrieben|2=Tipp 2|3=Tipp verbergen}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|orange}}}}

==Geometrische Objekte untersuchen==
{{Box|1= Aufgabe 8: Besondere Vierecke
|2=

In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte <math> A(3|3|5)</math>, <math> B(3{,}5|3{,}5|1)</math> und <math> C(6{,}5|2{,}5|3) </math> gegeben. 

<quiz display="simple">
{a)  Um welche Art von Dreieck handelt es sich?}
- rechtwinkliges Dreieck
- gleichseitiges Dreieck
+ gleichschenkliges Dreieck
</quiz>

<quiz display="simple">
{b) Wir betrachten weiterhin das Dreieck <math> ABC </math>. Ein neuer Punkt <math> Q </math> soll so gewählt werden, dass er zusammen mit dem Dreieck <math> ABC </math> ein Parallelogramm bildet, das keine Raute ist. Welche Koordinaten passen zu <math> Q </math>? Es sind zwei Antwortmöglichkeiten richtig. Finde beide!}
+ <math> Q(6|2|7)</math> 
- <math> Q(7|4|3)</math> 
+ <math> Q(0|4|3)</math>
- <math> Q(6|3|{-}1)</math> 
 </quiz>
{{Lösung versteckt|1=Fertige eine Skizze des Dreiecks an und mache dir klar, welche Seite die Basis des Dreiecks ist. |2=Tipp 1|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Du musst Gegenvektoren verwenden.|2=Tipp 2|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Verwende den Vektor <math>\vec{ CA }</math> am Punkt <math> B </math> für eines der Parallelogramme und den Vektor <math>\vec{ BA } </math> am Punkt <math> C </math> für das zweite Parallelogramm.|2=Tipp 3|3=Tipp verbergen}}

<quiz display="simple">
{c) Sei <math> P </math> nun ein weiter Punkt im bereits vorhandenen System. Welche Koordinaten muss <math> P </math> haben, damit <math> P </math> gemeinsam mit <math> A </math>, <math> B </math> und <math> C </math> die Eckpunkte einer Raute bildet?}
+ <math> P(7|3|{-}1)</math>
- <math> P(-7|{-}3|1)</math>
- <math> P(5|2|{-}3)</math>
- <math> P(-5|{-}2|3)</math>
</quiz>
{{Lösung versteckt|1=Fertige eine Skizze des Dreiecks an und mache dir klar, welche Seite die Basis des Dreiecks ist.|2=Tipp 1|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1= In einer Raute sind alle Seiten gleich lang und gegenüberliegende Seiten parallel.|2=Tipp 2|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1= Verwende den Vektor <math>\vec{ AC }</math> am Punkt <math> B </math>.|2=Tipp 3|3=Tipp verbergen}}

|3= Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|orange}}}}

{{Fortsetzung|vorher=zurück zur Kapitelauswahl|vorherlink=Gesamtschule Rosenhöhe/Mathematik/Analytische Geometrie/Unterwegs in 3-D|Unterwegs in 3-D: Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum#Kapitelauswahl}}