Buss-Haskert/Zweistufige Zufallsexperimente/Zweistufige Zufallsexperimente

Experiment

Nimm eine Münze, wirf sie zweimal und notiere jeweils das Ergebnis. Wie kannst du diese Ergebnisse übersichtlich darstellen?
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für das Ergebnis (Z,Z)?

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Die Darstellung, die im Video verwendet wird, heißt Baumdiagramm.

3.1 Wie zeichne ich ein Baumdiagramm?

Ein Baumdiagramm zeichnen Schritt für Schritt

In einer Urne befinden sich 3 rote, 5 blaue und 2 gelbe Kugeln. Es wird eine Kugel gezogen, die Farbe wird notiert und die Kugel dann zurückgelegt.Erstelle ein Baumdiagramm und beschrifte es vollständig.

Ein Baumdiagramm besteht aus einer verschiedenen Anzahl von Pfaden (Ästen) und Stufen. Zweistufige Zufallsexperimente bestehen immer aus zwei Stufen, mehrstufige Zufallsexperimente aus mehreren Stufen. Bevor du ein Baumdiagramm zeichnest, überlege genau, welche Bedeutung die Stufen im Experiment haben und welche Bedeutung die Pfade (Äste).
Du kannst es von links nach rechts zeichnen oder von oben nach unten. Du beginnst jedes Baumdiagramm mit dem Zeichnen von Pfaden (Ästen).

1. Zeichne die Pfade (Äste). (Achte darauf, dass die Aste auf einer Linie enden.) Wie viele Äste du zeichnen musst, hängt davon ab, wie viele mögliche Ausgänge es in dieser Stufe gibt. Hier hast du 3 mögliche Ergebnisse: eine rote, blaue oder gelbe Kugel ziehen.

Von links nach rechts gezeichnet:

Von oben nach unten gezeichnet:

2. Ergänze die möglichen Ausgänge.

Hier entspricht also die 1. Stufe des Baumdiagramms dem 1. Ziehen einer Kugel.

3. Schreibe die jeweiligen Wahrscheinlichkeiten an die Pfade (Äste).

4. Nun wiederholst du das Vorgehen für die 2. Stufe, den 2. Ziehen einer Kugel. Zeichne an jeden Ausgang der 1. Stufe erneut Pfade (Äste) mit den möglichen Ausgängen und den zugehörigen Wahrscheinlichkeiten.

Ergebnisse zweistufiger Zufallsexperimente

Die Ergebnisse eines zweistufigen Zufallsexperimentes sind geordnete Paare.

3.2 Wie berechne ich Wahrscheinlichkeiten (mithilfe eines Baumdiagramms)?

Um zu einem möglichen Ergebnis zu gelangen, musst du einen bestimmten Pfad des Baumdiagrammes gehen. Die Wahrscheinlichkeit dieses Ergebnisses berechnest du, indem du die Wahrscheinlichkeiten entlang des Pfades multiplizierst. Beispiel:
P(r,b) = $\tfrac{3}{10}$ ∙ $\tfrac{5}{10}$ = $\tfrac{3}{20}$ = 0,15 = 15%
P(b,r) = $\tfrac{5}{10}$ ∙ $\tfrac{3}{10}$ = $\tfrac{3}{20}$ = 0,15 = 15%

Produktregel

Bei einem zweistufigen Zufallsversuch wird die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses (geordnetes Paar) berechnet, indem die Wahrscheinlichkeiten entlang des zugehörigen Pfades multipliziert werden.

Ein Ereignis setzt sich aus mehreren günstigen Ergebnissen zusammen.
Beispiel:
Das Ereignis E: "Eine rote und eine blaue Kugel wird gezogen" setzt sich aus den Ergebnissen (r,b) und (b,r) zusammen.

Um die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses zu berechnen, werden die einzelnen Wahrscheinlichkeiten der günstigen Ergebnisse (geordnete Paare) addiert.
Beispiel:
E: "Eine rote und eine blaue Kugel wird gezogen"
P(E) = P(r,b) + P(b,r)
       =$\tfrac{3}{20}$ + $\tfrac{3}{20}$
       = $\tfrac{3}{10}$ = 0,3 = 30%

Summenregel

Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses wird berechnet, indem die Wahrscheinlichkeiten von allen günstigen Ergebnissen, die zu diesem Ereignis gehören, addiert werden.

Wahrscheinlichkeiten berechnen mit der Produkt-und Summenregel (Pfadregeln)

Gehe zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten bei zweistufigen Zufallsexperimenten schrittweise vor:
1. Zeichne ein Baumdiagramm. Überlege dazu, welche Bedeutung die einzelnen Stufen und Pfade (Äste) haben. Beschrifte die Pfade (Äste) des Baumdiagramms mit den zugehörigen Wahrscheinlichkeiten.
2. Markiere die für das Ereignis E günstigen Ergebnisse (geordnete Paare). Berechne die jeweiligen Wahrscheinlichkeiten mit der Produktregel.

3. Berechne die Wahrscheinlichkeit P(E) des Ereignisses mit der Summenregel.

Beispiel:

In einer Urne befinden sich 7 blaue und 3 rote Kugeln. Nacheinander wird zweimal eine Kugel gezogen, die Farbe notiert und die Kugel dann wieder zurückgelegt.
Bestimme die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis, eine rote und eine blaue Kugel zu ziehen.

Gehe zur Lösung der Aufgabe schrittweise vor, wie oben beschrieben.

1. Schritt: Zeichne ein Baumdiagramm und beschrifte es.

2. Schritt:
Das Ereignis E: "eine rote und eine blaue Kugel ziehen" setzt sich zusammen aus den einzelnen Ergebnissen (r,b) und (b,r).

P(r,b) = $\tfrac{3}{10}$∙$\tfrac{7}{10}$ = $\tfrac{21}{100}$ = 0,21 = 21%

P(b,r) = $\tfrac{7}{10}$∙$\tfrac{3}{10}$ = $\tfrac{21}{100}$ = 0,21 = 21%

3. Schritt:
P(E) = P(r,b) + P(b,r)
          =$\tfrac{21}{100}$+$\tfrac{21}{100}$

          = $\tfrac{42}{100}$ = $\tfrac{21}{50}$ = 0,42 = 42%

Verkürzte Baumdiagramme

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3.3 Ziehen mit und ohne Zurücklegen

Ziehen mit Zurücklegen

In einer Urne befinden sich 2 rote und 3 blaue Kugeln. Es wird eine Kugel gezogen, die Farbe wird notiert und die Kugel dann zurückgelegt. Erstelle ein Baumdiagramm und beschrifte es vollständig.
a) Bestimme bestimme die Wahrscheinlichkeiten für alle möglichen Ereignisse.
b) Bestimme die Wahrscheinlichkeit für E: "eine blaue und eine rote Kugel ziehen".

Lösung:

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Ziehen ohne Zurücklegen

In einer Urne befinden sich 2 rote und 3 blaue Kugeln. Es wird eine Kugel gezogen, die Farbe wird notier und die Kugel wird NICHT zurückgelegt, sie bleibt außerhalb der Urne.Erstelle ein Baumdiagramm und beschrifte es vollständig.
a) Bestimme bestimme die Wahrscheinlichkeiten für alle möglichen Ereignisse.
b) Bestimme die Wahrscheinlichkeit für E: "eine blaue und eine rote Kugel ziehen".

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