{{Box|Umgekehrt proportionale Zuordnungen|Nach dem Backen muss nun aufgeräumt werden:<br>
Für das Aufräumen der Küche benötigt eure Mathelehrerin 30 Minuten. Natürlich muss sie nicht allein aufräumen.<br>
a) Welche Zuordnung liegt vor?
b) Stelle sie auf verschiedene Arten dar.
c) Welche Fragen kannst du an diese Zuordnung stellen?|Üben}}
{{Lösung versteckt|Die Eingabegröße ist die Anzahl der Personen, die aufräumen. Zugeordnet wird dann die Zeit, die sie für das Aufräumen benötigen. Wie kannst du den Satz beenden:"Je mehr Personen helfen, desto ...|Tipp zu a)|Verbergen}}
{{Lösung versteckt|Erinnerst du dich an die 4 Darstellungsmöglichkeiten:<br>
- Wie lange dauerte das Aufräumen, wenn 2 Personen aufräumten?<br>
- Wie lange dauerte das Aufräumen wirklich, wenn alle zusammen, also insgesamt 10 Personen, aufräumten?|Tipp zu c)|Verbergen}}
{{Box|1=Eigenschaften umgekehrt proportionaler Zuordnungen (antiproportional)|2=Eine umgekehrt proportionale Zuordnung liegt vor, wenn zum '''Doppelten''' (Dreifachen,…) der Eingabegröße die '''Hälfte''' (Drittel...) der Ausgabegröße gehört.
Für jedes Wertepaar in der '''Wertetabelle''' gilt '''Produktgleichheit''':<br>
y·x = 1·30 = 2·15 = 3·10 = … = 30 (Minuten).<br>
Für das '''Schaubild''' gilt: Alle Punkte einer umgekehrt proportionalen Zuordnung liegen auf einer Kurve, die '''Hyperbel''', heißt.
<br>
Die '''Rechenvorschrift''' lautet Zeit = 30 : Anzahl der Helfer, also y = 30 : x|3=Arbeitsmethode}}
{{Box|Übung 13: Umgekehrt proportionale Zuordnungen erkennen|Bearbeite die folgenden Learningapps. Welche Strategien nutzt du, um zu entscheiden, ob die Zuordnungen umgekehrt proportional sind oder nicht? Diskutiere deine Ideen mit deinem Partner.|Üben}}
{{Lösung versteckt|Das nachfolgende Video erklärt noch einmal, wie du eine Wertetabelle auf umgekehrte Proportionalität prüfen kannst:<br>{{#ev:youtube|H7u6MFYtkBk|400|center}}|Video zur Produktgleichheit|Verbergen}}
{{Box|Übung 14: Umgekehrt proportionale Zuordnungen erkennen|Löse Buch S.33 Nr. 1, 2, 3, 4, 5 und 6.|Üben}}
{{Box|Übung 15: Umgekehrt proportionale Zuordnungen erkennen|Löse Buch S. 34 Nr. 12 mithilfe der Produktgleichheit.|Üben}}
=====3.2 Dreisatz bei umgekehrt proportionalen Zuordnungen=====
{{Box|Dreisatz bei umgekehrt proportionalen Zuordnungen|Nachdem alle Kekse gegessen wurden, muss der Klassenraum gefegt werden. Wenn zwei Schüler den Klassenraum reinigen, benötigen sie 12 Minuten. Wie lange bräuchten dann 3 Schüler?|Üben}}
Die Zuordnung Anzahl der Schüler <math>\rightarrow</math> benötigte Zeit ist '''umgekehrt proportional''', denn doppelt so viele Schüler benötigen nur halb so lange. Daher können wir mit '''drei Schritten''' die Zeit zum Aufräumen berechnen:<br>
[[Datei:Dreisatz up schrittweises Vorgehen.png|rahmenlos|663x663px]]
{{Box|Dreisatz bei umgekehrt proportionalen Zuordnungen|Bei einer umgekehrt proportionalen Zuordnung kann die gesuchte Größe mit dem '''Dreisatz''' (3 Schritte) berechnet werden.<br> [[Datei:Dreisatz up schrittweises Vorgehen kurz.png|rahmenlos|663x663px]]
<br />|Arbeitsmethode}}
{{#ev:youtube|izN8-f70q2s|800|center}}
{{Box|Dreisatz bei umgekehrt proportionalen Zuordnungen|Fülle die Lücken in der nachfolgenden App.|Üben}}
{{Box|Übung 16: Dreisatz bei umgekehrt proportionalen Zuordnungen|Löse Buch S. 36 Nr. 2, 6 und 9 und S. 37 Nr. 10, 11 und 15 in deinem Heft. Gib die Zuordnung an und prüfe, ob diese umgekehrt proportional ist. Rechne dann mit dem Dreisatz (Tabelle).|Üben}}
{{Box|Übung 17: Dreisatz bei umgekehrt proportionalen Zuordnungen|Löse zur Übung die nachfolgenden Apps.|Üben}}
====3.3) Vermische Übungen zu umgekehrt proportionalen Zuorndungen====
<br />{{Box|Übung 18 - Vermischte Übungen|Umfangreiche Aufgaben zu proportionalen Zuordnungen findest du auf der Seite [https://mathe.aufgabenfuchs.de/zuordnung/umgekehrt-proportional.shtml '''Aufgabenfuchs: Umgekehrt proportionale Zuordnung'''], klicke dazu den Link an und bearbeite die Übungen.|Üben}}
===4. Bunte Mischung===
Bei den nächsten Aufgaben musst du entscheiden, ob es sich um eine proportionale oder um eine umgekehrt proportionale Zuordnung handelt. Dann kannst du die Aufgabe mit dem Dreisatz lösen.
{{Box|Übung 19: Vermischte Übungen - Darstellung Tabelle|Löse Buch S. 42 Nr. 4 und 5|Üben}}
{{Box|Übung 20: Vermischte Übungen - Darstellung Schaubild|Löse Buch S. 42 Nr. 6 und 7|Üben}}
{{Box|Übung 21: Vermischte Übungen - Darstellung Text|Löse Buch S. 42 Nr. 8 und 9 und S. 43 Nr. 11 und 12|Üben}}
{{Box|Übung 22: Vermischte Übungen|Umfangreiche Aufgaben zu proportionalen Zuordnungen findest du auf der Seite [https://mathe.aufgabenfuchs.de/zuordnung/gemischt.shtml '''Aufgabenfuchs: gemischte Übungen'''], klicke dazu den Link an und bearbeite die Übungen.|Üben}}
Wie kannst du die Anzahl der Fruchtgummis in einer Packung ermitteln, ohne sie alle zu zählen? a) Notiere deine Ideen in deinem Heft.
b) Welche Zuordnung liegt vor? Stelle sie auf verschiedene Arten dar.
Es liegt die Zuordnung Anzahl der WeingummiGewicht[g]. Mögliche Darstellungen sind die Textform, eine Wertetabelle, der Graph (Schaubild) und die Rechenvorschrift.
2.1 Proportionale Zuordnungen erkennen
Eigenschaften proportionaler Zuordnungen
Eine proportionale Zuordnung liegt vor, wenn zum Doppelten (Dreifachen,…) der Eingabegröße das Doppelte (Dreifache…) der Ausgabegröße gehört.
Für jedes Wertepaar in der Wertetabelle gilt Quotientengleichheit: = y : x = 2,3 : 1= 4,6 : 2 = 6,9 : 3 = … = 2,3 (Jedes Weingummi ist gleich schwer und wiegt 2,3 g).
Für das Schaubild gilt: Alle Punkte einer proportionalen Zuordnung liegen auf einer Geraden durch den Ursprung, also durch den Punkt (0I0).
Die Rechenvorschrift lautet: Gewicht = 2,3·Anzahl der Weingummi.
Bearbeite die folgenden Learningapps. Welche Strategien nutzt du, um zu entscheiden, ob die Zuordnungen proportional sind oder nicht? Diskutiere deine Ideen mit deinem Partner.
Das nachfolgende Video erklärt, wie du die Proportionalität bei Wertetabellen prüfen kannst (Quotientengleichheit)
2.2) Dreisatz bei proportionalen Zuordnungen: Mathematik richtig lecker!
Dreisatz bei proportionalen Zuordnungen
Wie viel benötigen wir von jeder Zutat für ein Klassenrezept?
a) Welche Zuordnung liegt vor? Kannst du die Mengen für ein Klassenrezept berechnen? Notiere deine Ideen in deinem Heft.
b) Berate deine Ideen mit deinem Partner. Wie könnt ihr eure Ideen übersichtlich darstellen?
Die Zuordnung lautet: Anzahl der Portionen Menge der Zutat.
Das Rezept gibt die Menge der Zutaten für 5 Portionen an. Kannst du ausrechnen, welche Mengen du für nur 1 Portion benötigen würdest? Wie viele Portionen benötigt ihr für eure Klasse? Stelle deine Ideen übersichtlich dar.
Kannst du die Tabellen ausfüllen? Welchen Zwischenschritt wählst du?
Die Zuordnung Anzahl der Portionen Menge der Zutat ist proportional, denn für doppelt so viele Portionen benötigt man auch die doppelte Menge der Zutaten. Daher können wir mit drei Schritten die Mengen für ein Klassenrezept berechnen:
Dreisatz bei proportionalen Zuordnungen
Bei einer proportionalen Zuordnung kann die gesuchte Größe mit dem Dreisatz (3 Schritte) berechnet werden.
Fülle die Lücken in den nachfolgenden LearningApps aus.
Übung 9: Dreisatz bei proportionalen Zuordnungen
Löse Buch S. 36 Nr. 1, 3, 4, 7 und 8 in deinem Heft. Gib die Zuordnung an und prüfe, ob diese proportional ist. Rechne dann mit dem Dreisatz (Tabelle).
Du musst nicht immer die Einheit (1) als Zwischengröße wählen. Der Wert, den du als Zwischenschritt wählst, muss nur ein Teiler der beiden Eingabegrößen sein. Hier bietet sich als Zwischenwert 250g an:
In Teil b) bietet sich 0,5 kg als Zwischengröße an und in Teil c) 0,90€.
Bestimme zunächst die Fläche der Wand, die schon gestrichen wurde. Flächeninhalt (Rechteck) = Länge·Breite
Übung 10: Dreisatz bei proportionalen Zuordnungen
In den nachfolgenden Apps findest du vermischte Übungen zum Rechnen mit dem Dreisatz.
2.3) Angebote vergleichen
Ein Supermarkt bietet eine 150g-Packung Cookies für 1,95 an. Auf dem Markt werden selbst gebackene Cookies in Tüten zu je 250g für 3,00€ verkauft.
Vergleiche die Angebote.
Berechne mit dem Dreisatz für beide Angebote den Preis für je 50g Cookies.
2.4) Vermischte Übungen zu proportionalen Zuordnungen=
Übung 12 - Vermischte Übungen
Umfangreiche Aufgaben zu proportionalen Zuordnungen findest du auf der Seite Aufgabenfuchs: Proportionale Zuordnung, klicke dazu den Link an und bearbeite die Übungen.
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