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Spielwiese

Schreiben im Wiki

Neben normalem Text kann man auch kursiven oder fett gedruckten Text schreiben. Ebenso ist eine Kombination aus beidem möglich. Grüner Text ist schon etwas schwieriger und funktioniert über die Quelltextbearbeitung.

Vorlagen

Ganz einfach per Mausklick aktivierbar
Aufgabe
Dies ist eine Aufgabe
Übung
Dies ist eine Übung
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Löwe (Panthera leo)
Löwe (Panthera leo)


Interaktive Applets


Kombinationen

Aufgabe
Bearbeite folgende Aufgabe


Herme des (um 120 n. Chr.); Kapitolinische Museen, Rom

Integral: Rekonstruieren von Größen

Beispiel

Ein zu Beginn leerer Wassertank wird durch dieselbe Leitung befüllt und entleert. In Figur ist die momentane Durchflussrate f der Leitung für das Intervall [0;9] dargestellt.

Beispielaufgabe
Figur 1

Es stellt sich die Frage wie aus der gegebenen Durchflussrate das Gesamtwasservolumen bestimmt werden kann? Dass bedeutet, wie viel Liter Wasser befinden sich nach 9 min im Wassertank?

Es befinden sich nach 9 min 2 Liter im Wassertank.

Im Intervall beträgt der Zufluss . In diesen 3 Minuten fließen in den Tank. 6 ist die Maßzahl des Flächeninhalts A1. Im Intervall [3;5] beträgt die mittlere Zuflussrate . In diesen 2 Minuten kommen dazu. 2 ist die Maßzahl des Flächeninhalts A2. Im Intevall [5;9] ist die Durchflussrate negativ. Es fließen ab. 6 ist die Maßzahl des Flächeninhalts A3. Man kann also die Gesamtänderung des Wasservolumens in einem Intervall [a;b] mit Flächeninhalten veranschaulichen, wenn man oberhalb der x-Achse liegende Flächen positiv und unterhalb der x-Achse liegenden Flächen negativ zählt. Dieser orientierte Flächeninhalt beträgt beim Wassertank:

A1 + A2 - A3 = 2 Flächeneinheiten

und entspricht einer Volumenänderung von 2 l. Da der Tank zu Beginn leer war, befinden sich jetzt insgesamt 2 l im Tank.


Merke
Ist der Graph einer momentanen Änderungsrate aus gradlinigen Teilstücken zusammengesetzt, so kann man die Gesamtänderung der Größe (Wirkung) rekonstruieren, indem man den orientierten Flächeninhalt zwischen den Graphen der momentanen Änderungsrate und der x-Achse bestimmt. Den orientierten Flächeninhalt nennt man auch das bestimmte Integral.


Aufgabe 1

Du erkennst, dass der orientierte Flächeninhalt nicht mit dem Wert des Flächeninhalt zwischen Graph und x-Achse übereinstimmt. Bearbeite folgende Aufgabe und nutze Zettel und Stift, um deine Rechnungen festzuhalten.




Aufgabe 2

Bearbeite folgende Aufgabe und nutze Zettel und Stift, um deine Rechnungen festzuhalten.




Aufgabe 3

Die folgenden Graphen zeigen die Geschwindigkeit verschiedener Körper. Ermittel jeweils die zurückgelegte Strecke in m nach 9 s. Du benötigst ein Zettel und ein Stift, um deine Rechnungen und Ergebnisse zu notieren.

a)
Aufgabe 1 a)
Figur 1
Lösung
Lösungsweg
b)
Aufgabe 1 b)
Figur 2
Lösung
Lösungsweg
c)
Aufgabe 1 c)
Figur 3
Lösung
Lösungsweg



Beachte

Betrachte folgendes Applet. Lasse dir mithilfe von diesem folgende Funktionen abbilden.

  1. f(x)=1
  2. f(x)=x
  3. f(x)=x^2
  4. f(x)=x^3 + 2x^2 + 2x - 1
GeoGebra
Was fällt dir auf? Wo besteht der Zusammenhang zwischen der Funktion und seiner Stammfunktion? Wo sind charakteristische Punkte?


Merke

Eine Funktion F heißt Stammfunktion zu einer Funktion f auf einem Intervall I, wenn für alle x in I gilt:

F'(x) = f(x).

Sind F und G Stammfunktionen von f auf einem Intervall I, dann gibt es eine Konstante c, sodass für alle x in I gilt:

F(x) = G(x)+c


Aufgabe 4

Bearbeite die folgenden Aufgabe. Du benötigst einen Zettel und einen Stift, um deine Rechnungen und Ergebnisse festzuhalten.

a)


b)



Aufgabe 5

Zeichne eine beliebige Stammfunktion zu folgenden Funktionen auf dem Intervall I=[-5;5]. Zeichne zunächst die Funktion und dann die Stammfunktion auf einen Zettel. Beschreibe dein Vorgehen für charakteristische Punkte (Nullstellen, Extrempunkte, etc.).

a) b)

c)


Satz: Bestimmung von Stammfunktionen
Zur Funktion f mit ist F mit


Satz: Stammfunktionen bestimmen (Buch S. 68) Beispiel: Stammfunktion bestimmen

Aufgabe:



Aufgabe: Bestimme eine Stammfunktion folgender Funktionen:


2 Textaufgaben: