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{{Lösung versteckt|1=
{{Lösung versteckt|1=


Ein zu Beginn leerer Wassertank wird durch dieselbe Leitung befüllt und entleert. In Figur ist die momentane Durchflussrate f der Leitung für das Intervall [0;9] dargestellt.
Ein zu Beginn leerer Wassertank wird durch dieselbe Leitung befüllt und entleert. In Figur ist die momentane Durchflussrate f der Leitung für das Intervall <math>[0;9]</math> dargestellt.




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{{Lösung versteckt|1=


Im Intervall [0;3] beträgt der Zufluss <math>2\frac{l}{min}</math>. In diesen 3 Minuten fließen <math>2 \frac{l}{min} \cdot 3\ min = 6 l </math> in den Tank. 6 ist die Maßzahl des Flächeninhalts A1. Im Intervall [3;5] beträgt die mittlere Zuflussrate <math>1\frac{l}{min}</math>. In diesen 2 Minuten kommen <math>1 \frac{l}{min} \cdot 2\ min = 2 l </math> dazu. 2 ist die Maßzahl des Flächeninhalts A2. Im Intevall [5;9] ist die Durchflussrate negativ. Es fließen <math>1,5 \frac{l}{min} \cdot 4\ min = 6 l </math> ab. 6 ist die Maßzahl des Flächeninhalts A3. Man kann also die Gesamtänderung des Wasservolumens in einem Intervall [a;b] mit Flächeninhalten veranschaulichen, wenn man oberhalb der x-Achse liegende Flächen positiv und unterhalb der x-Achse liegenden Flächen negativ zählt. Dieser '''orientierte Flächeninhalt''' beträgt beim Wassertank:  
Im Intervall <math>[0;3]</math> beträgt der Zufluss <math>2\frac{l}{min}</math>. In diesen 3 Minuten fließen <math>2 \frac{l}{min} \cdot 3\ min = 6 l </math> in den Tank. 6 ist die Maßzahl des Flächeninhalts A1. Im Intervall <math>[3;5]</math> beträgt die mittlere Zuflussrate <math>1\frac{l}{min}</math>. In diesen 2 Minuten kommen <math>1 \frac{l}{min} \cdot 2\ min = 2 l </math> dazu. 2 ist die Maßzahl des Flächeninhalts A2. Im Intevall <math>[5;9]</math> ist die Durchflussrate negativ. Es fließen <math>1,5 \frac{l}{min} \cdot 4\ min = 6 l </math> ab. 6 ist die Maßzahl des Flächeninhalts A3. Man kann also die Gesamtänderung des Wasservolumens in einem Intervall <math>[a;b]</math> mit Flächeninhalten veranschaulichen, wenn man oberhalb der x-Achse liegende Flächen positiv und unterhalb der x-Achse liegenden Flächen negativ zählt. Dieser '''orientierte Flächeninhalt''' beträgt beim Wassertank:  


A1 + A2 - A3 = 2 Flächeneinheiten  
<math>A1 + A2 - A3 = 2 Flächeneinheiten (FE)</math>


und entspricht einer Volumenänderung von 2 l. Da der Tank zu Beginn leer war, befinden sich jetzt insgesamt 2 l im Tank.
und entspricht einer Volumenänderung von 2 l. Da der Tank zu Beginn leer war, befinden sich jetzt insgesamt 2 l im Tank.
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{{Lösung versteckt|1=
{{Lösung versteckt|1=


Fläche oberhalb der x-Achse: 16 FE
Fläche oberhalb der x-Achse: <math>16 FE</math>
Flächer unterhalb der x-Achse: 4 FE
Flächer unterhalb der x-Achse: <math>4 FE</math>
Integral/orientierter Flächeninhalt: 16 - 4 = 12 FE
Integral/orientierter Flächeninhalt: <math>16 - 4 = 12 FE</math>
Der Körper hat eine Strecke von 12 m vom Startpunkt zurückgelegt.
Der Körper hat eine Strecke von 12 m vom Startpunkt zurückgelegt.


Zeile 113: Zeile 113:
{{Lösung versteckt|1=
{{Lösung versteckt|1=


Fläche oberhalb der x-Achse: 20 FE
Fläche oberhalb der x-Achse: <math>20 FE</math>
Flächer unterhalb der x-Achse: 0 FE
Flächer unterhalb der x-Achse: <math>0 FE</math>
Integral/orientierter Flächeninhalt: 20 FE
Integral/orientierter Flächeninhalt: <math>20 FE</math>
Der Körper hat eine Strecke von 20 m vom Startpunkt zurückgelegt.
Der Körper hat eine Strecke von 20 m vom Startpunkt zurückgelegt.


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{{Lösung versteckt|1=
{{Lösung versteckt|1=


Fläche oberhalb der x-Achse: 49,5 FE
Fläche oberhalb der x-Achse: <math>49,5 FE</math>
Flächer unterhalb der x-Achse: 5 FE
Flächer unterhalb der x-Achse: <math>5 FE</math>
Integral/orientierter Flächeninhalt: 44,5 FE
Integral/orientierter Flächeninhalt: <math>44,5 FE</math>
Der Körper hat eine Strecke von 44,5 m vom Startpunkt zurückgelegt.
Der Körper hat eine Strecke von 44,5 m vom Startpunkt zurückgelegt.


Zeile 143: Zeile 143:
Betrachte folgendes Applet. Lasse dir mithilfe von diesem folgende Funktionen abbilden.
Betrachte folgendes Applet. Lasse dir mithilfe von diesem folgende Funktionen abbilden.


# f(x)=1
# <math>f(x)=1</math>
# f(x)=x
# <math>f(x)=x</math>
# f(x)=x^2
# <math>f(x)=x^2</math>
# f(x)=x^3 + x^2 - 1
# <math>f(x)=x^3 + x^2 - 1</math>


<ggb_applet id="eexgtxva" width="1000" height="800"></ggb_applet>
<ggb_applet id="eexgtxva" width="1000" height="800"></ggb_applet>
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{{Lösung versteckt|1=
{{Lösung versteckt|1=


Eine Funktion F heißt '''Stammfunktion ''' zu einer Funktion f auf einem Intervall I, wenn für alle x in I gilt:
Eine Funktion <math>F</math> heißt '''Stammfunktion ''' zu einer Funktion <math>f</math> auf einem Intervall <math>I</math>, wenn für alle <math>x</math> in <math>I</math> gilt:
'''F'(x) = f(x)'''.
<math>F'(x) = f(x)</math>.
Sind F und G Stammfunktionen von f auf einem Intervall I, dann gibt es eine Konstante c, sodass für alle x in I gilt:
Sind <math>F</math> und <math>G</math> Stammfunktionen von <math>f</math> auf einem Intervall <math>I</math>, dann gibt es eine Konstante <math>c</math>, sodass für alle <math>x</math> in <math>I</math> gilt:
F(x) = G(x)+c
<math>F(x) = G(x)+c</math>


|2=|3=}}
|2=|3=}}
Zeile 190: Zeile 190:
Skizziere eine beliebige Stammfunktion zu folgenden Funktionen auf dem Intervall I=[-5;5]. Zeichne zunächst die Funktion und dann die Stammfunktion auf einen Zettel. Beschreibe dein Vorgehen für charakteristische Punkte (Nullstellen, Extrempunkte, etc.).
Skizziere eine beliebige Stammfunktion zu folgenden Funktionen auf dem Intervall I=[-5;5]. Zeichne zunächst die Funktion und dann die Stammfunktion auf einen Zettel. Beschreibe dein Vorgehen für charakteristische Punkte (Nullstellen, Extrempunkte, etc.).


a)[[Datei:Funktion g(x).png|mini|800px|center|f(x)=x^(3)+2x^(2)-3]]
a)[[Datei:Funktion g(x).png|mini|800px|center|<math>f(x)=x^(3)+2x^(2)-3</math>]]


{{Lösung versteckt|1=
{{Lösung versteckt|1=


[[Datei:Aufgabe 4a Lösung.png|mini|800px|center|F(x)=(1)/(4)x^(4)+(2)/(3)x^(3)-3x]]
[[Datei:Aufgabe 4a Lösung.png|mini|800px|center|<math>F(x)=(1)/(4)x^(4)+(2)/(3)x^(3)-3x</math>]]


|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}
|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}


b)[[Datei:Funktion f(x).png|mini|800px|center|g(x)=x^(6)+3x^(4)-5x^(3)]]
b)[[Datei:Funktion f(x).png|mini|800px|center|<math>g(x)=x^(6)+3x^(4)-5x^(3)</math>]]


{{Lösung versteckt|1=
{{Lösung versteckt|1=


[[Datei:Aufgabe 4b Lösung.png|mini|800px|center|G(x)=(1)/(7)x^(7)+(3)/(5)x^(5)-(5)/(4)x^(4)]]
[[Datei:Aufgabe 4b Lösung.png|mini|800px|center|<math>G(x)=(1)/(7)x^(7)+(3)/(5)x^(5)-(5)/(4)x^(4)</math>]]


|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}
|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}
Zeile 215: Zeile 215:
{{Lösung versteckt|1=
{{Lösung versteckt|1=


Zur Funktion f mit f(x)=x^r (r≠-1) ist F mit F(x)=(1/r+1)x^(r+1) eine Stammfunktion.
Zur Funktion <math>f</math> mit <math>f(x)=x^r (r \neq -1)</math> ist <math>F</math> mit <math>F(x)=frac{1}{r+1} \cdot x^(r+1)</math> eine Stammfunktion.
Zur Funktion f mit f(x)=x^-1=1/x ist F mit F(x)=ln(x) eine Stammfunktion.
Zur Funktion <math>f</math> mit <math>f(x)=x^-1=frac{1}{x}</math> ist <math>F</math> mit <math>F(x)=\ln(|x|)</math> eine Stammfunktion.
Sind G und H Stammfunktionen von g und h, so gilt für die zusammengesetzten Funktionen:
Sind <math>G</math> und <math>H</math> Stammfunktionen von <math>g</math> und <math>h</math>, so gilt für die zusammengesetzten Funktionen:
f(x)=g(x)+h(x) → F(x)=G(x)+H(X)
* <math>f(x)=g(x)+h(x) → F(x)=G(x)+H(X)</math>
f(x)=c*g(x) → F(x)=c*G(x)
* <math>f(x)=c\cdot g(x) → F(x)=c\cdot G(x)</math>
f(x)=g(c*x+d) → F(x)=1/c *G(c*x+d)
* <math>f(x)=g(c\cdot x+d) → F(x)=frac{1}{c} \cdot G(c\cdot x+d)</math>


|2=|3=}}
|2=|3=}}
Zeile 244: Zeile 244:
{{Lösung versteckt|1=
{{Lösung versteckt|1=


Die Funktion f(x)=-x^2+6x gibt die Wachstumsrate von Bakterien an, x in Stunden, f(x) in Hundert Bakterien (siehe Figur 1). Zu Beginn waren 200 Bakterien vorhanden.  
Die Funktion <math>f(t)=-t^2+6t</math> gibt die Wachstumsrate von Bakterien an, <math>t</math> in Stunden, <math>f(t)</math> in Hundert Bakterien (siehe Figur 1). Zu Beginn waren 200 Bakterien vorhanden.  
* a) Wie lautet die Funktion g(t), die die vorhandene Anzahl von Bakterien zum Zeitpunkt t angibt?  
* a) Wie lautet die Funktion <math>g(t)</math>, die die vorhandene Anzahl von Bakterien zum Zeitpunkt <math>t</math> angibt?  
* b) Wie viele Bakterien existieren nach 4 Stunden und nach 6 Stunden?  
* b) Wie viele Bakterien existieren nach 4 Stunden und nach 6 Stunden?  


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{{Lösung versteckt|1=
{{Lösung versteckt|1=


* a) g(t) = 2+Int[0;t](f(t)); F(t)=(-1/3)x^3+3x^2
* a) <math>g(t) = 2+\int_{0}^{t} f(t)dt</math> <math>F(t)=-frac{1}{3}\cdot x^3+3x^2</math>
* b) g(4) = (86/3)=28,7 28,7*100=28700
* b) <math>g(4) = frac{86}{3} \approx 28,7; 28,7 \cdot 100=28700 g(6) = 38; 38 \cdot 100=38000</math>
g(6) = 38
Nach 4 Stunden sind es ca. 28700 und nach 6 Stunden 38000 Bakterien.
Nach 4 Stunden sind es ca. 28700 und nach 6 Stunden 38000 Bakterien.


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Bei einem Sprint über 100m treten zwei Läufer gegeneinander an.
Bei einem Sprint über 100m treten zwei Läufer gegeneinander an.
Läufer A sprintet mit der Geschwindigkeitsfunktion va(t)=0,25t+10*(1-e^-t).
Läufer A sprintet mit der Geschwindigkeitsfunktion <math>v_a(t)=0,25t+10 \cdot (1-e^-t)</math>.
Läufer B sprintet mit der Geschwindigkeitsfunktion vb(t)=12*(1-e^-t)+r*t^2
Läufer B sprintet mit der Geschwindigkeitsfunktion <math>v_b(t)=12 \cdot (1-e^-t)+r \cdot t^2</math>.
t ist jeweils die Zeit in Sekunden ab dem Start des Laufes und v(t) die Geschwindigkeit der
<math>t</math> ist jeweils die Zeit in Sekunden ab dem Start des Laufes und <math>v(t)</math> die Geschwindigkeit der
Läufer in Meter pro Sekunde.
Läufer in Meter pro Sekunde.
* a) Geben sie die Funktionen an, die die zurückgelegte Strecke zum Zeitpunkt t angibt.
* a) Geben sie die Funktionen an, die die zurückgelegte Strecke zum Zeitpunkt <math>t</math> angibt.
* b) Zeige, dass Läufer A ungefähr 9,8 Sekunden benötigt.
* b) Zeige, dass Läufer A ungefähr 9,8 Sekunden benötigt.
* c) Bestimme den Wert von c so, dass der Läufer nach 9,69 Sekunden ins Ziel kommt.
* c) Bestimme den Wert von c so, dass der Läufer nach 9,69 Sekunden ins Ziel kommt.
* d) wie viel Meter sind die beiden Läufer nach 5 s von einander entfernt, wenn r dem in c) ermittelten Wert entspricht?
* d) Wie viel Meter sind die beiden Läufer nach 5 s von einander entfernt, wenn r dem in c) ermittelten Wert entspricht?


{{Lösung versteckt|1=
{{Lösung versteckt|1=


* a) Va(t)= (1/8)t^2+10*(t-e^-t); Vb(t)=12*(t-e^-t)+(c/3)*t^3
* a) <math>V_a(t)= frac{1}{8} \cdot t^2+10 \cdot (t+e^-t)</math> ; <math>V_b(t)=12 \cdot (t+e^-t)+frac{c}{3} \cdot t^3</math>
* b) Int[0;9,8](va(t))=100
* b) <math>\int_{0}^{9,8} v_a(t) dt = 100 \Leftrightarrow V_a(9,8)-V_a(0)=frac{1}{8} \cdot 9,8^2+10 \cdot (9,8+e^-9,8) - frac{1}{8} \cdot 0^2+10 \cdot (0+e^-0) \approx 110,006-10 \approx 100</math>
* c) Int[0;9,69](vb(t))=100 --> c=-0,0141
* c) <math>\int_{0}^{9,69} v_b(t) dt=100 \Leftrightarrow V_b(9,69)-V_b(0)=12 \cdot (9,69+e^-9,69)+frac{c}{3} \cdot 9,69^3-12 \cdot (0+e^-0)+frac{c}{3} \cdot 0^3 \approx 116,28+303,28c-12 = 100 \Leftrightarrow c\approx -0,0141</math>
* d) Int[0;5](va(t))-Int[0;5](vb(t))=Int[0;5](va(t)-vb(t))=-4,3 Die läufer sind ca. 4,3 m auseinander.
* d) <math> \int_{0}^{5} v_a(t) dt -\int_{0}^{5} v_b(t) dt = \int_{0}^{5} v_a(t)-v_b(t) dt = -4,3</math> --> Die Läufer sind 4,3 m voneinander entfernt.
 
 


|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}
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Version vom 23. April 2020, 23:08 Uhr

Spielwiese

Schreiben im Wiki

Neben normalem Text kann man auch kursiven oder fett gedruckten Text schreiben. Ebenso ist eine Kombination aus beidem möglich. Grüner Text ist schon etwas schwieriger und funktioniert über die Quelltextbearbeitung.

Vorlagen

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Löwe (Panthera leo)
Löwe (Panthera leo)


Interaktive Applets


Kombinationen

Aufgabe
Bearbeite folgende Aufgabe


Herme des (um 120 n. Chr.); Kapitolinische Museen, Rom



Integral: Rekonstruieren von Größen

Beispiel

Ein zu Beginn leerer Wassertank wird durch dieselbe Leitung befüllt und entleert. In Figur ist die momentane Durchflussrate f der Leitung für das Intervall dargestellt.


Beispielaufgabe
Figur 1


Es stellt sich die Frage wie aus der gegebenen Durchflussrate das Gesamtwasservolumen bestimmt werden kann? Dass bedeutet, wie viel Liter Wasser befinden sich nach 9 min im Wassertank?

Es befinden sich nach 9 min 2 Liter im Wassertank.

Im Intervall beträgt der Zufluss . In diesen 3 Minuten fließen in den Tank. 6 ist die Maßzahl des Flächeninhalts A1. Im Intervall beträgt die mittlere Zuflussrate . In diesen 2 Minuten kommen dazu. 2 ist die Maßzahl des Flächeninhalts A2. Im Intevall ist die Durchflussrate negativ. Es fließen ab. 6 ist die Maßzahl des Flächeninhalts A3. Man kann also die Gesamtänderung des Wasservolumens in einem Intervall mit Flächeninhalten veranschaulichen, wenn man oberhalb der x-Achse liegende Flächen positiv und unterhalb der x-Achse liegenden Flächen negativ zählt. Dieser orientierte Flächeninhalt beträgt beim Wassertank:

und entspricht einer Volumenänderung von 2 l. Da der Tank zu Beginn leer war, befinden sich jetzt insgesamt 2 l im Tank.


Merke


Ist der Graph einer momentanen Änderungsrate aus gradlinigen Teilstücken zusammengesetzt, so kann man die Gesamtänderung der Größe (Wirkung) rekonstruieren, indem man den orientierten Flächeninhalt zwischen den Graphen der momentanen Änderungsrate und der x-Achse bestimmt. Den orientierten Flächeninhalt nennt man auch das bestimmte Integral.


Aufgabe 1


Du erkennst, dass der orientierte Flächeninhalt nicht mit dem Wert des Flächeninhalt zwischen Graph und x-Achse übereinstimmt. Bearbeite folgende Aufgabe und nutze Zettel und Stift, um deine Rechnungen festzuhalten.



Aufgabe 2


Die folgenden Graphen zeigen die Geschwindigkeit verschiedener Körper. Ermittel jeweils die vom Startpunkt zurückgelegte Strecke in m nach 9 s. Du benötigst ein Zettel und ein Stift, um deine Rechnungen und Ergebnisse zu notieren.

a)
Aufgabe 1 a)
Figur 1

Fläche oberhalb der x-Achse: Flächer unterhalb der x-Achse: Integral/orientierter Flächeninhalt: Der Körper hat eine Strecke von 12 m vom Startpunkt zurückgelegt.

Lösung


b)
Aufgabe 1 b)
Figur 2


Fläche oberhalb der x-Achse: Flächer unterhalb der x-Achse: Integral/orientierter Flächeninhalt: Der Körper hat eine Strecke von 20 m vom Startpunkt zurückgelegt.

Lösung


c)
Aufgabe 1 c)
Figur 3

Fläche oberhalb der x-Achse: Flächer unterhalb der x-Achse: Integral/orientierter Flächeninhalt: Der Körper hat eine Strecke von 44,5 m vom Startpunkt zurückgelegt.

Lösung


Beachte

Betrachte folgendes Applet. Lasse dir mithilfe von diesem folgende Funktionen abbilden.

GeoGebra
Was fällt dir auf? Wo besteht der Zusammenhang zwischen der Funktion und seiner Stammfunktion? Wo sind charakteristische Punkte?


Stammfunktion Definition

Eine Funktion heißt Stammfunktion zu einer Funktion auf einem Intervall , wenn für alle in gilt: . Sind und Stammfunktionen von auf einem Intervall , dann gibt es eine Konstante , sodass für alle in gilt:


Aufgabe 3


Bearbeite die folgenden Aufgabe. Du benötigst einen Zettel und einen Stift, um deine Rechnungen und Ergebnisse festzuhalten



Aufgabe 4

Skizziere eine beliebige Stammfunktion zu folgenden Funktionen auf dem Intervall I=[-5;5]. Zeichne zunächst die Funktion und dann die Stammfunktion auf einen Zettel. Beschreibe dein Vorgehen für charakteristische Punkte (Nullstellen, Extrempunkte, etc.).

a)
b)


Satz: Bestimmung von Stammfunktionen

Zur Funktion mit ist mit eine Stammfunktion. Zur Funktion mit ist mit eine Stammfunktion. Sind und Stammfunktionen von und , so gilt für die zusammengesetzten Funktionen:


Aufgabe 5

Ordne den Funktionen ihre passende Stammfunktion zu. Ermittel dabei die Stammfunktion auf einem Zettel und ordne anschließend richtig zu.



Aufgabe 6

Die Funktion gibt die Wachstumsrate von Bakterien an, in Stunden, in Hundert Bakterien (siehe Figur 1). Zu Beginn waren 200 Bakterien vorhanden.

  • a) Wie lautet die Funktion , die die vorhandene Anzahl von Bakterien zum Zeitpunkt angibt?
  • b) Wie viele Bakterien existieren nach 4 Stunden und nach 6 Stunden?
Figur 1
  • a)
  • b)
Nach 4 Stunden sind es ca. 28700 und nach 6 Stunden 38000 Bakterien.


Aufgabe 7

Bei einem Sprint über 100m treten zwei Läufer gegeneinander an. Läufer A sprintet mit der Geschwindigkeitsfunktion . Läufer B sprintet mit der Geschwindigkeitsfunktion . ist jeweils die Zeit in Sekunden ab dem Start des Laufes und die Geschwindigkeit der Läufer in Meter pro Sekunde.

  • a) Geben sie die Funktionen an, die die zurückgelegte Strecke zum Zeitpunkt angibt.
  • b) Zeige, dass Läufer A ungefähr 9,8 Sekunden benötigt.
  • c) Bestimme den Wert von c so, dass der Läufer nach 9,69 Sekunden ins Ziel kommt.
  • d) Wie viel Meter sind die beiden Läufer nach 5 s von einander entfernt, wenn r dem in c) ermittelten Wert entspricht?
  • a)  ;
  • b)
  • c)
  • d) --> Die Läufer sind 4,3 m voneinander entfernt.