Benutzer:Maurice Krause/Testseite

Aufgabe 9: Lückentext - Geometrische Bedeutung von Vektoraddition und skalarer Multiplikation

Wir definieren zwei Rechenoperationen für Vektoren: das Bilden des Vielfachen und der Summe. Die Vektoraddition bezeichnet das bilden der Summe zweier Vektoren gleichen Typs, das heißt dass die beiden Vektoren gleich viele Komponenten haben. Man bildet die Summe, indem man die Einträge der Vektoren komponentenweise addiert. Wir können uns die Addition von Vektoren als ein „Aneinanderlegen“ von zwei Strecken von ggf. verschiedener Länge vorstellen. Nennen wir $\vec{a}$ und $\vec{b}$ Vektoren. Wir deuten diese als Pfeile und addieren sie, das heißt wir legen sie hintereinander, sodass der Anfang von $\vec{b}$ und die „Spitze“ von $\vec{a}$ übereinstimmen. Ein derartiges Verhalten von Pfeilen ist aus der Physik bekannt. Dort werden oftmals Kräfte und Geschwindigkeiten mit Pfeilen dargestellt. Man kann am Ende zur Addition sagen, dass das Bilden der Summe zweier Vektoren $\vec{a} + \vec{b}$ als Hintereinander-Ausführen der durch $\vec{a}$ und $\vec{b}$ dargestellten Verschiebungen gesehen werden kann.

Das Bilden des Vielfachen eines Vektors wird auch als Multiplikation mit einem Skalar bezeichnet. Wir nennen unseren Vektor wieder $\vec{a}$ und das Skalar bezeichnen wir mit $c$. Von jedem Vektor kann das $c$ -Fache gebildet werden, indem alle Komponenten von $\vec{a}$ mit $c$ multipliziert werden. Ist $c>0$ so wird der „Pfeil“ von $\vec{a}$ um den Faktor $c$ aufgeblasen (falls $c > 1$) oder geschrumpft (falls $c < 1$ ). Ist $c<0$, so erhält der Pfeil, der um den Faktor $c$ aufgeblasen oder geschrumpft wird, noch eine Richtungsumkehrung und wird zum Gegenvektor.

Wir nennen zwei Vektoren kollinear (oder parallel), wenn einer der Vektoren ein Vielfaches des anderen ist. Mit anderen Worten: Wenn $\vec{a}$ und $\vec{b}$ zwei verschiedene Vektoren sind, so sind sie parallel/kollinear zueinander, falls ein Skalar $c$ existiert, sodass gilt: $ca=b$. Dabei ist es egal, ob die beiden Vektoren in verschiedene Richtungen zeigen oder nicht.

$\vec{AB}, \vec{AS}$ und ihre Länge bestimmen:

$\vec{AB} = \vec{B} - \vec{A} = \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ -3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -3 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \\ -2 \end{pmatrix}$

$\vec{AS} = \vec{S} - \vec{A} = \begin{pmatrix} 3 \\ 7 \\ -11 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -3 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ 5 \\ -10 \end{pmatrix}$

$|\vec{AB}| = \sqrt{2^2+(-3)^2+(-2)^2} = \sqrt{17}$

$|\vec{AS}| = \sqrt{6^2+5^2+(-10)^2} = \sqrt{161}$

Winkel $\alpha$ zwischen den beiden Vektoren bestimmen:

$\cos(\alpha) = \frac {\vec{AB} \ast \vec{AS}}{|\vec{AB}| \cdot |\vec{AS}|}$

$\cos(\alpha) = \frac {12-15+20}{\sqrt{17} \cdot \sqrt{161}} = \frac{17}{\sqrt{17} \cdot \sqrt{161}} = \sqrt{\frac{17}{161}}$

$\alpha = \arccos \left( \sqrt{\frac{17}{161}} \right) \approx 71{,}04^\circ$

$\beta = 90^\circ - \alpha = 18{,}96^\circ$

Die Innenwinkel des Dreiecks ABS sind $\alpha = 71{,}04^\circ, \beta = 18{,}96^\circ \text{ und } \gamma = 90^\circ.$

Die Innenwinkel des Dreiecks ABS sind $\alpha = 71{,}04^\circ, \beta = 18{,}96^\circ \text{ und } \gamma = 90^\circ$.

Hallo $2.$

Hallo $2$.

Video

Du hast immer noch keine genaue Vorstellung davon, wie du das Skalarprodukt zweier Vektoren berechnen kannst? Dann schaue dir das Video zum Thema Skalarprodukt an:

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Wenn du die Höhe der Pyramide kennst, weißt du, welche Abstand die Spitze von der Grundfläche hat. Du kennst auch schon den Mittelpunkt der Pyramiden und kannst entlang des Normalenvektors von $E$ zur Spitze gelangen.

Du kannst die Höhe der Pyramide mithilfe des Satzes von Pythagoras und der Längenangaben berechnen.

$\alpha = 90$

$90^{\circ}$

$\alpha = 90^{\circ}$

a

sich nach 10sek auf  $\begin{pmatrix} 1239,75 \\ 1040 \\ 1287,5 \end{pmatrix}$. Ebenfalls m

b

sich nach 10sek auf $\begin{pmatrix} 1239,75 \\ 1040 \\ 1287,5 \end{pmatrix}$. Ebenfalls möchte das

a

Welche der folgenden Geraden verlaufen durch die Punkte $A(1|0|{-}2)$ und $B(3|4|0)$?

Test

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6\\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix}$

a

<math>\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6\\ 7 & 8 & 9  \end{pmatrix}</math>

a

<math>\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3\\
4 & 5 & 6\\
7 & 8 & 9 
\end{pmatrix}</math>

Regex

JA:

$f : \R \to \R$

$E :\vec{x}$

$E : \vec{x}$

$E : \vec{x}$

$g :\vec{x}$

$g : \vec{x}$

$g_1 :\vec{x}$

$g_1 : \vec{x}$

NEIN:

$42 : 6$

6x7 6 x 7 6x 7 6 x7

$(-3|-3|4)$

$(4 \mid -5 \mid 0)$ $(2 \vert -2 \vert 1)$

NEIN:

• a

JA: $6 * 7$

Tests

Du hast 20 m Zaun zur Verfügung und möchtest damit eine Wiese einzäunen. Wie groß ist die größte rechteckige Fläche, die man damit einzäunen kann?

Text

Hier steht eine eingebettete Aufgabenstellung.

Text

$\left\vert\begin{alignat}{7} x &&\; + \;&& 42y &&\; - \;&& z &&\; = \;&& 1 \\ 4242x &&\; - \;&& 24y &&\; + \;&& 4z &&\; = \;&& -42\\ -x &&\; + \;&& \tfrac{1}{3} y &&\; \;&& &&\; = \;&& 0 \end{alignat}\right\vert$

a

b

$h(x) = H'(x) = H' \left( H(a) + \int_{a}^{x} h(t)\, dt \right) = H'(a) + H' \left( \int_{a}^{x} h(t)\, dt \right) = H' \left( \int_{a}^{x} h(t)\, dt \right) = H'\left(H(x)- H(a)\right)$

$h(x) = H'(x) = \left( H(a) + \int_{a}^{x} h(t)\, dt \right)' = H'(a) + \left( \int_{a}^{x} h(t)\, dt \right)' = 0 + \left( \int_{a}^{x} h(t)\, dt \right)' = \left(H(x)- H(a)\right)'=H'(x)- H'(a)$

Beachte 1

...

Beachte 1

...

Titel

Titel

	A	B
C	1	2
D	3	4

A_Kreis

m³

Text $\int_a^b$ Text

Text ${\textstyle x_1^2}$ Text

$x \widehat{=}$ Test

1 Löse folgendes Gleichungssystem mit dem Einsetzungsverfahren:
$\begin{array}{crrrrr}\\ \text{I}\quad & 7x & - & 2y & = & 48\\ \text{II}\quad & 3x & + & 11y & = & 11 \end{array}$

	$x = 2$, $y = 4$
	$x = 2$, $y = 5$
	$x = 5$, $y = 5$
	$x = 5$, $y = 4$

2 Beispielfrage

	a
	b