Benutzer:Maurice Krause/Testseite: Unterschied zwischen den Versionen

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[[Media:Hefter zum Lernpfad Pyramiden entdecken.pdf|hier]]<ref>[[:Datei:Hefter zum Lernpfad Pyramiden entdecken.pdf|Aus rechtlichen Gründen: Verlinkung zur Dateibeschreibung des Arbeitsblatts]]</ref>


{{Box|1= Aufgabe 2: Lage erkennen|2=Wie verlaufen die folgenden Geraden zueinander?
<references />


a)<math>g_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>g_2: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math>
<!--<ggb_applet id="fgkxkapp" width="1000" height="793" showZoomButtons="false" enableRightClick="false" enableShiftDragZoom="false" enableLabelDrags="false" allowUpscale="false" disableAutoScale="true" />


b)<math>h_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ 4 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>h_2: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math>
a


c)<math>i_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>i_2: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math>
<ggb_applet width="1010" height="1010" version="4.2" showMenuBar="true" showResetIcon="true" id="eK5MmMmb" />


{{Lösung versteckt|1= Die erste Antwort lautet ''schneiden''. Die beiden Geraden ''schneiden'' sich im Punkt <math>\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix}</math>. Dies erhält man, indem man beide Geradengelichungen in ein Gleichungssystem umformt, gleichsetzt und zu r und t umformt:
<ggb_applet id="fgkxkapp" width="1000" height="708" />


<math>
1+r*1=2+t*4  </math>


<math>
== A ==
1+r*2=3+t*5  </math>


<math>
Text darüber
1+r*3=4+t*3  </math>


Dies formen wir um:
Text links[[Datei:Tour Eiffel Wikimedia Commons.jpg|x200px|Beschreibung 1]][[Datei:Skizze Eiffelturm - technische Daten.png|x200px|Beschreibung 2]]Text rechts
<math>
r*1-t*4=1  </math>


<math>
Text darunter
r*2-t*5=2  </math>


<math>
[[Datei:Skizze Eiffelturm - technische Daten.png|mini|x200px|Beschreibung 1]]
r*3-t*3=3  </math>
<div class="tright" style="clear:none;">[[Datei:Tour Eiffel Wikimedia Commons.jpg|mini|ohne|x200px|Beschreibung 2]]</div>
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Nehmen die erste Zeile mal 2, subtrahieren von der ersten Zeile die zweite Zeile und erhalen für t= 0 und r=1.
Unten


|2=2=Lösung Aufgabe a |3=Lösung Aufagbe a}}
== B ==
 
{{Lösung versteckt|1=


{{Lösung versteckt|1= Die zweite Antwort lautet ''schneiden''. Die beiden Geraden''schneiden''ich im Ortsvektoren selbst.|2=Lösung Aufgabe e b|3=Lösung Aufgabe b}}
Wenn du die Höhe der Pyramide kennst, weißt du, welche Abstand die Spitze von der Grundfläche hat. Du kennst auch schon den Mittelpunkt der Pyramiden und kannst entlang des Normalenvektors von <math>E</math> zur Spitze gelangen.


{{Lösung versteckt|1= Die dritte Antwort lautet ''windschief''. Die beiden Geraden sind ''windschief'' zueinander. Dies sehen widaran
Du kannst die Höhe der Pyramide mithilfe des Satzes von Pythagoras und der Längenangaben berechnen.
<math>
1+r*1=2+t*1  </math>


<math>
<ggb_applet id="qu6yfdp6" width="1000" height="470"/>
1+r*2=3+t*4  </math>
|2=Tipp 2 zu b)|3=Tipp 2 zu b) verbergen}}


<math>
{{Lösung versteckt|1=
1+r*3=4+t*3  </math>


Dies formen wir um:
Wenn du die Höhe der Pyramide kennst, weißt du, welche Abstand die Spitze von der Grundfläche hat. Du kennst auch schon den Mittelpunkt der Pyramiden und kannst entlang des Normalenvektors von <math>E</math> zur Spitze gelangen.
<math>
r*1-t*1=1  </math>


<math>
Du kannst die Höhe der Pyramide mithilfe des Satzes von Pythagoras und der Längenangaben berechnen.
r*2-t*4=2  </math>


<math>
<div style="width:calc(100% - 1rem); height:0; padding-bottom:47%;"><ggb_applet id="qu6yfdp6" width="1000" height="470"/></div>|2=Tipp 2 zu b)|3=Tipp 2 zu b) verbergen}}
r*3-t*3=3  </math>


Nehmen die erste Zeile mal 2, subtrahieren von der ersten Zeile die zweite Zeile und erhalen für t= 1/6
{{Navigation verstecken
|<quiz display="simple">
{ Gegeben ist der Punkt <math> A(1|2|-3)</math> und der Punkt <math> A'(-2|5|3{,}5)</math>. Welcher Vektor beschreibt die Verschiebung des Punktes <math> A </math> auf den Punkt <math> A' </math> ? }
- <math> \vec{v} = \begin{pmatrix} 3 \\ -3 \\ -6{,}5 \end{pmatrix} </math>
- <math> \vec{v} = \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ 0{,}5 \end{pmatrix} </math>
+ <math> \vec{v} = \begin{pmatrix} -3 \\ 3 \\ 6{,}5 \end{pmatrix} </math>
- <math> \vec{v} = \begin{pmatrix} -3 \\ 3 \\ 0{,}5 \end{pmatrix} </math>
- <math> \vec{v} = \begin{pmatrix} 6{,}5 \\ 3 \\ -3 \end{pmatrix} </math>


daran, |2=Lösung Aufgabe c|3=Lösung Aufgabe c}}
{ Die Bewegung eines Fußgängers wird durch den Vektor <math> \vec{v} = \begin{pmatrix} 2 \\ -4 \\ 2 \end{pmatrix} </math> beschrieben. Welcher der folgenden Vektoren beschreibt die Bewegung einer entgegenkommenden Joggerin mit doppelter Geschwindigkeit? }
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Hervorhebung1}}
+ <math> \vec{u} = \begin{pmatrix} -4 \\ 8 \\ -4 \end{pmatrix} </math>
- <math> \vec{u} = \begin{pmatrix} 4 \\ -8 \\ 4 \end{pmatrix} </math>
- <math> \vec{u} = \begin{pmatrix} -2 \\ 4 \\ -2 \end{pmatrix} </math>
- <math> \vec{u} = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} </math>


{{Box|1= Aufgabe 3: Lage erkennen|2=Löse das Quiz und mache dir deinen eigenen Lernzettel
{ Gegeben ist das abgebildete gleichschenklige rechtwinkelige Dreieck <math>ABC</math>. Welche der folgenden Aussagen treffen auf das Dreieck zu? [[Datei:Dreieck glsch rchtwklg.jpg|rahmenlos|300x300px]] }
<iframe src="https://learningapps.org/watch?app=19038875" style="border:0px;width:100%;height:500px" allowfullscreen="true" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>
+ <math> |\vec{AB}| = |\vec{AC}| </math>
- <math> |\vec{BC}| = |\vec{AC}| </math>
- <math> \vec{AB} = \vec{AC} </math>
- Es gilt <math> |\vec{AC}|^2 = |\vec{BC}|^2 + |\vec{AB}|^2 </math>.
+ Es gilt <math> |\vec{BC}|^2 = |\vec{AC}|^2 + |\vec{AB}|^2 </math>.
</quiz>
|Lernschritte einblenden
|Lernschritte ausblenden}}


|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Hervorhebung1}}


{{Box |1= Merksatz |2=<br />
Zwei Geraden...


sind ''identisch''
<ggb_applet id="mhdaxa3x" width="1536" height="658" border="888888" />
* Richtungsvektoren '''kollinear''' (= Vielfache voneinander)
* Ortsvektor der einen Geraden liegt auf der anderen Geraden
sind ''parallel''
* Richtungsvektoren '''kollinear''' (= Vielfache voneinander)
* Ortsvektor der einen Geraden liegt '''nicht''' auf der anderen Geraden.
''schneiden'' sich
* Richtungsvektoren '''nicht''' kollinear (= Vielfache voneinander)
* Bei dem Versuch einen Schnittpunkt zu berechnen, kommt eine '''wahre Aussage''' in Form eines Punktes heraus
sind zueinander ''windschief''
* Richtungsvektoren '''nicht''' kollinear (= Vielfache voneinander)
* Bei dem Versuch einen Schnittpunkt zu berechnen, kommt eine '''falsche Aussage''' heraus


<br /> .
<ggb_applet id="avyg7hmy" width="150" height="76" />
|3= Merksatz}}


{{Box|1= Aufgabe 4: |2=Flugerlaubnis erteilen?
<ggb_applet id="avyg7hmy" width="1920" height="978" />


Ein wichtiger Bestandteil der Flugsicherung sind die Fluglotsen der "Deutschen Flugsicherung" (DFS). Sie koordinieren und überwachen jährlich Millionen Flüge im deutschen Luftraum. Am heutigen Tag wollen zwei Flugzeuge starten. Hierzu gehört das Flugzeug der Fluglinie Aer. Es startet bei  <math> \begin{pmatrix} 10 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix}</math> und befindet sich nach 5sek auf  <math> \begin{pmatrix} 510 \\ 410 \\ 350 \end{pmatrix}</math>. Ebenfalls möchte das Flugzeug der Fluglinie Amadeus in die Luft. Dies startet in <math> \begin{pmatrix} 5 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix}</math>. Pro Sekunde legt es eine Strecke von 175,49m zurück und besitzt einen Richtungsvektor von  <math> \begin{pmatrix} 120,2 \\ 96,4 \\ z \end{pmatrix}</math>.
<math>\begin{array}{crcrcr}
\text{I}\quad  & 7x & - & 2y  & = & 48\\
\text{II}\quad & 3x & + & 11y & = & 11
\end{array}</math>


Es kam zu einem riesigen Stromausfall und der Fluglotse ist sich unsicher. Hilf ihm die Antworten auf folgende Fragen zu finden:
<math>\begin{array}{rcrcr}
7x & - & 2y  & = & 48\\
3x & + & 11y & = & 11
\end{array}</math>


a) Wie lauten die Geradengleichungen der einzelen Flugzeuge?
<math>\left\vert\begin{array}{rcrcr}
7x & - & 2y  & = & 48\\
3x & + & 11y & = & 11
\end{array}\right\vert</math>


b) Wie schnell (in km/h) fliegen die einzelnen Flugzeuge?
<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x    &&\; + \;&& 42y            &&\; - \;&& z  &&\; = \;&& 1  \\
4242x &&\; - \;&& 24y            &&\; + \;&& 4z &&\; = \;&& -42\\
-x    &&\; + \;&& \tfrac{1}{3} y &&\;  \;&&    &&\; = \;&& 0
\end{alignat}\right\vert</math>


c) Können alle Flugzeuge starten, ohne dass es zu einer Kollision kommt?


Test \checkmark Test <math>\checkmark</math>


{{Lösung versteckt|1= Zu Aer: Setze alle gegebenen Daten in eine allgemeine Parameterdarstellung ein und forme um.


Zu Amadeus: Um den Richtungsvektor zu berechnen, benötigst du die Forme zur Berechnung der Länge eines Vektoren:
<math> L=\sqrt[2]{x{2}+y^{2}+z^{2}}</math>. |2= Tipp zu a|3= Tipp zu a}}


{{Lösung versteckt|1= Geschwindigkeit kann man in verschiedene Einheiten angeben, z.B.: km/h, m/s etc.. Nachdem du die Länge der Strecke nach einer Sekunde berechnet hast, musst du dies von m/s zu km/h umwandeln.|2=Tipp zu b |3=Tipp zu b}}
<div class="lueckentext-quiz" style=".luecke min-width: 1em!important;">
<math>\vec{a}</math> '''<math>\ast</math>''' <math>\vec{b}</math>


{{Lösung versteckt|1= Nur weil sich zwei Geraden schneiden heißt es noch nicht direkt, dass eine Kollision vorherrscht.|2=Tipp zu c |3=Tipp zu c}}
<math>\vec{b}</math>'''<math>\ast</math>'''<math>\vec{a}</math>


<math>\vec{a}</math>'''<math>\ast</math>'''<math>(\vec{b} + \vec{c})</math>


{{Lösung versteckt|1=
<math>(\vec{a}</math>'''<math>\ast</math>'''<math>\vec{b})</math>'''<math>\cdot</math>'''<math>(\vec{a}</math>'''<math>\ast</math>'''<math>\vec{c})</math>
</div>
 
 
 
{{Lösung versteckt
|1=Für den Schnittpunkt <math>S_{12}</math> der Geraden <math>g</math> mit der <math>x_1x_2</math>-Ebene setze die <math>x_3</math>-Koordinate <math>= 0</math> und forme nach <math>r</math> um: <math>0 = 2 + r \cdot 1 \Leftrightarrow r = -1</math>. Setze nun <math>r = -2</math> in der Geradengleichung ein, um den Schnittpunkt <math>S_{12}</math> zu erhalten: <math>\vec{S_{12}} = \begin{pmatrix} 1 \\ -4 \\ 2 \end{pmatrix} + (-2) \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -8 \\ 0 \end{pmatrix}</math>
|2=Schnittpunkt mit der <math>x</math>-Ebene anzeigen
|3=Schnittpunkt mit der x1x2-Ebene verbergen
}}
 
{{Box|1= Aufgabe 9: Lückentext - Geometrische Bedeutung von Vektoraddition und skalarer Multiplikation|2=
<div class="lueckentext-quiz">
'''Test''' a '''Test''' b '''Test''' c '''Test''' d '''Test''' e '''Test''' f '''Test''' g '''Test''' h '''Test''' i '''Test''' j '''Test''' k '''Test''' l '''Test''' m '''Test'''
</div>|3=Arbeitsmethode}}
 
 
{{Lösung versteckt
|1= <math> \vec{AB}, \vec{AS} </math> und ihre Länge bestimmen:


Flugzeug Aer:
<math> \vec{AB} = \vec{B} - \vec{A} = \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ -3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -3 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \\ -2 \end{pmatrix} </math>
<math>f_3: \vec{x} = \begin{pmatrix} 10 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 100 \\ 80 \\ 70 \end{pmatrix}, t \in \mathbb{R} </math>


Dies erhalten wir, indem wir folgendes berechnen:
<math> \vec{AS} = \vec{S} - \vec{A} = \begin{pmatrix} 3 \\ 7 \\ -11 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -3 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ 5 \\ -10 \end{pmatrix} </math>
<math>\begin{pmatrix} 510 \\ 410 \\ 350 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix} + 5\cdot \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}, t \in \mathbb{R} </math>. Dies schreiben wir in ein Gleichugssystem um und formen es zu x,y,z um:


<math>
<math> |\vec{AB}| = \sqrt{2^2+(-3)^2+(-2)^2} = \sqrt{17} </math>
510=10+5*x  </math>


<math>
<math> |\vec{AS}| = \sqrt{6^2+5^2+(-10)^2} = \sqrt{161} </math>
410=10+5*y  </math>


<math>
Winkel <math> \alpha </math> zwischen den beiden Vektoren bestimmen:
350= 0+5*z  </math>
Flugzeug Amadeus:
<math>f_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 5 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 120,2\\ 96,4 \\ 84\end{pmatrix}, t \in \mathbb{R} </math>


Dies erhalten wir wie folgt:
<math> \cos(\alpha) = \frac {\vec{AB} \ast \vec{AS}}{|\vec{AB}| \cdot |\vec{AS}|} </math>
Wir kennen den Richtungsvektor:
<math> \begin{pmatrix} 120,2\\ 96,4 \\ 84\end{pmatrix}</math>. Nun müssen wir z berechnen. Im Text steht, dass das Flugzeug pro Sekunde eine Länge von 175,49m fliegt. Das bedeutet, dass der Richtungsvektor eine Länge von 175,49 beträgt. Dies können wir mit der Formel der Länge eines Vektor berechnen:


<math> \cos(\alpha) = \frac {12-15+20}{\sqrt{17} \cdot \sqrt{161}} = \frac{17}{\sqrt{17} \cdot \sqrt{161}} = \sqrt{\frac{17}{161}}</math>


<math> 175,49=\sqrt[2]{120,2^{2}+96,4^{2}+z^{2}}</math>
<math> \alpha = \arccos \left( \sqrt{\frac{17}{161}} \right) \approx 71{,}04^\circ </math>


<math> \beta = 90^\circ - \alpha = 18{,}96^\circ </math>


Indem wir beide Seiten zum Quadart nehemn, entfällt die Wurzel und es folgt:
Die Innenwinkel des Dreiecks ABS sind <math> \alpha = 71{,}04^\circ, \beta = 18{,}96^\circ \text{ und } \gamma = 90^\circ.</math>


Die Innenwinkel des Dreiecks ABS sind <math> \alpha = 71{,}04^\circ, \beta = 18{,}96^\circ \text{ und } \gamma = 90^\circ</math>.
|2=Lösung anzeigen
|3=Lösung verbergen
}}


<math> 175,49^{2}=120,2^{2}+96,4^{2}+z^{2}</math>


Hallo <math> 2.</math>


Wir formen zu <math>z^{2}</math> um und ziehen dann die Wurzel. Wir erhalten 83,998 und runden auf 84.
Hallo <math> 2</math>.
Wobei t für die Zeit in Sekunden steht.


|2=Lösung Aufgabe a|3=Lösung Aufgabe a}}


{{Lösung versteckt|1=
{{Lösung versteckt|1=
Wir berechnen die Geschwindigkeit, indem wir die Länge des Richtungsvektors berechnen. Dies erfolgt mit der Formel:<math> L=\sqrt[2]{x{2}+y^{2}+z^{2}}</math>.
{{Box|Video| 2 = Du hast immer noch keine genaue Vorstellung davon, wie du das Skalarprodukt zweier Vektoren berechnen kannst? Dann schaue dir das Video zum Thema Skalarprodukt an:


Fugzeug Aer:
{{#ev:youtube|Ov_NKtoHpK0}} |3 = Unterrichtsidee| Farbe={{Farbe|gelb}}}} |2= Video zur Wiederholung|3= Einklappen}}
<math> L=\sqrt[2]{100{2}+80^{2}+70^{2}}</math>.


<math> L=145,95</math>.
{{Lösung versteckt|1={{#ev:youtube|Ov_NKtoHpK0}} |2= Video zur Wiederholung|3= Einklappen}}
 
 
{{#ev:youtube|Ov_NKtoHpK0}}


Wir erhalten also eine Geschwindigkeit von 145,95 m/s. Es gilt: 3,6km/h=1m/s.
Umgerechnet in km/h sind das also:


<math>145,95*3,6= 525,42</math>
525,42km/h.


Flugzeug Amadeus:
Das Flugzeug Amadeus legt laut Text nach einer Sekunde eine Strecke von 175,49m zurück. Damit hat es eine Geschwindigkeit von 175,49m/s.Umgerechnet in km/h sind das also:


<math>175,49*3,6= 631,76</math>
631,76km/h.


|2=Lösung Aufgabe b|3=Lösung Aufgabe b}}


{{Lösung versteckt|1=
Flugzeug Aer und Amadeus:
Sie schneiden sich für
<math> \begin{pmatrix} 10 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix} + 30 \cdot \begin{pmatrix} 100 \\ 80 \\ 70 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 5 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix} + 25 \cdot \begin{pmatrix} 120,2\\ 96,4 \\ 84\end{pmatrix}</math>. Dies erhalten wir, indem wir beide Funktionen gleichsetzen und in ein Gleichungssystem umformen:




<math>
10+t*100=5+s*120,2  </math>


<math>
10+t*80=10+s*96,4  </math>


<math>
0+t*70=0+s*84  </math>


Da es jedoch nicht der gleiche Zeitpunkt ist, kommt es zu keiner Kollision.
{{LearningApp|app=3452397|width=100%|height=400px}}


{{LearningApp|app=3452397|width=100%|height=450px}}


|2=Lösung Aufgabe c|3=Lösung Aufgabe c}}
{{LearningApp|app=3452397|width=100%|height=490px}}


|Farbe={{Farbe|grün}}|3= Hervorhebung1}}
{{LearningApp|app=3452397|width=100%|height=499px}}


==Geraden und ihre Anwendungen==
{{LearningApp|app=3452397|width=100%|height=500px}}




Zeile 301: Zeile 301:
a
a


<ggb_applet id="jtqx9ysp" width="700" height="500" border="a33800" />
 


b
b
Zeile 369: Zeile 369:
+ b
+ b
</quiz>
</quiz>
-->

Aktuelle Version vom 22. Mai 2023, 11:01 Uhr

hier[1]

  1. ↑ Aus rechtlichen Gründen: Verlinkung zur Dateibeschreibung des Arbeitsblatts


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