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[[Media:Hefter zum Lernpfad Pyramiden entdecken.pdf|hier]]<ref>[[:Datei:Hefter zum Lernpfad Pyramiden entdecken.pdf|Aus rechtlichen Gründen: Verlinkung zur Dateibeschreibung des Arbeitsblatts]]</ref>


{{Box
<references />
|Aufgabe 2: Geradengleichung aufstellen (gegebener Punkt und gegeben Parallelität)
|Stelle jeweils eine Geradengleichung auf.


'''a)''' Die Gerade <math>g</math> geht durch den Punkt <math>P(2|{-}2|4)</math> und verläuft parallel zur geraden <math>h: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math>.
<!--<ggb_applet id="fgkxkapp" width="1000" height="793" showZoomButtons="false" enableRightClick="false" enableShiftDragZoom="false" enableLabelDrags="false" allowUpscale="false" disableAutoScale="true" />


{{Lösung versteckt
a
|Wann verlaufen zwei Vektoren parallel zueinander? Übertrage diese Kenntniss auf Geraden.
|Tipp Aufgabe a) anzeigen
|Tipp Aufgabe a) verbergen
}}


'''b)''' Die Gerade <math>g</math> geht durch den Punkt <math>P(1|{-}1|{-}2)</math> und verläuft parallel zur <math>x_1</math>-Achse.
<ggb_applet width="1010" height="1010" version="4.2" showMenuBar="true" showResetIcon="true" id="eK5MmMmb" />


{{Lösung versteckt
<ggb_applet id="fgkxkapp" width="1000" height="708" />
|Wie könnte eine Geradengleichung der <math>x_1</math>-Achse lauten? Danahc hilft dir das Vorgehen aus a) weiter.
|Tipp Aufgabe b) anzeigen
|Tipp Aufgabe b) verbergen
}}


'''c)''' Die Gerade <math>g</math> geht durch den einen beliebigen Punkt <math>P(p_1|p_2|p_3)</math> und verläuft parallel zur <math>x_3</math>-Achse.


{{Lösung versteckt
== A ==
|Diese Aufgabe funktioniert ähnlich zu b).
|Tipp Aufgabe b) anzeigen
|Tipp Aufgabe b) verbergen
}}


{{Lösung versteckt
Text darüber
|Eine mögliche Gerade ist <math>g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}, s \in \mathbb{R} </math>.
|Lösung Aufgabe a) anzeigen
|Lösung Aufgabe a) verbergen
}}


{{Lösung versteckt
Text links[[Datei:Tour Eiffel Wikimedia Commons.jpg|x200px|Beschreibung 1]][[Datei:Skizze Eiffelturm - technische Daten.png|x200px|Beschreibung 2]]Text rechts
|Eine mögliche Gerade ist <math>g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ -2 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, s \in \mathbb{R} </math>.  
|Lösung Aufgabe b) anzeigen
|Lösung Aufgabe b) verbergen
}}


{{Lösung versteckt
Text darunter
|Eine mögliche Gerade ist <math>g: \vec{x} = \begin{pmatrix} p_1 \\ p_2 \\ p_3 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, s \in \mathbb{R} </math>.
|Lösung Aufgabe c) anzeigen
|Lösung Aufgabe c) verbergen
}}


|Arbeitsmethode
[[Datei:Skizze Eiffelturm - technische Daten.png|mini|x200px|Beschreibung 1]]
}}
<div class="tright" style="clear:none;">[[Datei:Tour Eiffel Wikimedia Commons.jpg|mini|ohne|x200px|Beschreibung 2]]</div>
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Hier noch eine Aufgabe zu Geraden mit besonderen Lagen im Koordinatensystem:
Unten


{{Box
== B ==
|Aufgabe 3: Geraden im Koordinatensystem
|Kreuze die richtige(n) Antwort(en) an!


{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=p221zv0i321}}
{{Lösung versteckt|1=


Falls du nicht mehr weißt, was die <math>x_1x_2</math>-, <math>x_1x_3</math>- und <math>x_2x_3</math>-Ebene sind, kannst unter folgendem Tipp noch einmal dein Wissen auffrischen:
Wenn du die Höhe der Pyramide kennst, weißt du, welche Abstand die Spitze von der Grundfläche hat. Du kennst auch schon den Mittelpunkt der Pyramiden und kannst entlang des Normalenvektors von <math>E</math> zur Spitze gelangen.


{{Lösung versteckt|
Du kannst die Höhe der Pyramide mithilfe des Satzes von Pythagoras und der Längenangaben berechnen.
Die <math>x_1x_2</math>-Ebene ist die Ebene, die von der <math>x_1</math>- und <math>x_2</math>-Achse aufgespannt wird (im Bild <math>E_{12}</math> genannt). Entsprechendes gilt für die <math>x_1x_3</math>- (im Bild <math>E_{13}</math>) und <math>x_2x_3</math>-Ebene (im Bild <math>E_{23}</math>).
[[File:Koordinatenebenen.png|zentriert|300px|Die Koordinatenebenen]]
|Tipp anzeigen
|Tipp verbergen
}}


|Arbeitsmethode
<ggb_applet id="qu6yfdp6" width="1000" height="470"/>
|Farbe={{Farbe|grün|dunkel}}
|2=Tipp 2 zu b)|3=Tipp 2 zu b) verbergen}}
}}


===Punktprobe===
{{Lösung versteckt|1=


Wie du überprüfst, ob ein gegebener Punkt auf einer gegebenen Gerade der daneben liegt, erfährst du im folgenden Video:
Wenn du die Höhe der Pyramide kennst, weißt du, welche Abstand die Spitze von der Grundfläche hat. Du kennst auch schon den Mittelpunkt der Pyramiden und kannst entlang des Normalenvektors von <math>E</math> zur Spitze gelangen.


{{#ev:youtube|1kJ9Nq8zXlI|900}}
Du kannst die Höhe der Pyramide mithilfe des Satzes von Pythagoras und der Längenangaben berechnen.


{{Box
<div style="width:calc(100% - 1rem); height:0; padding-bottom:47%;"><ggb_applet id="qu6yfdp6" width="1000" height="470"/></div>|2=Tipp 2 zu b)|3=Tipp 2 zu b) verbergen}}
|Merksatz: Punktprobe
|Liegt ein Punkt <math>P</math> auf der Geraden g definiert durch <math>g: \vec{x} = \vec{a} + k \cdot \vec{v}</math> mit <math> k \in \mathbb{R}</math>, so gibt es genau ein <math>k</math>, welches die Gleichung <math>\vec{p} = \vec{a} + k \cdot \vec{v}, r \in \mathbb{R}</math> erfüllt. Erfüllt kein <math>k</math> diese Gleichung, liegt der Punkt nicht auf der Geraden.
|Merksatz
}}


{{Box
{{Navigation verstecken
|Aufgabe 4: Punktprobe mit einer Geraden I
|<quiz display="simple">
|Überprüfe, ob der Punkt <math>P</math> auf der Geraden <math>g</math> liegt.
{ Gegeben ist der Punkt <math> A(1|2|-3)</math> und der Punkt <math> A'(-2|5|3{,}5)</math>. Welcher Vektor beschreibt die Verschiebung des Punktes <math> A </math> auf den Punkt <math> A' </math> ? }
- <math> \vec{v} = \begin{pmatrix} 3 \\ -3 \\ -6{,}5 \end{pmatrix} </math>
- <math> \vec{v} = \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ 0{,}5 \end{pmatrix} </math>
+ <math> \vec{v} = \begin{pmatrix} -3 \\ 3 \\ 6{,}5 \end{pmatrix} </math>
- <math> \vec{v} = \begin{pmatrix} -3 \\ 3 \\ 0{,}5 \end{pmatrix} </math>
- <math> \vec{v} = \begin{pmatrix} 6{,}5 \\ 3 \\ -3 \end{pmatrix} </math>


'''a)''' <math>P(2|3|{-}1)</math>, <math>g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 7 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ -3 \\ 5 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math>
{ Die Bewegung eines Fußgängers wird durch den Vektor <math> \vec{v} = \begin{pmatrix} 2 \\ -4 \\ 2 \end{pmatrix} </math> beschrieben. Welcher der folgenden Vektoren beschreibt die Bewegung einer entgegenkommenden Joggerin mit doppelter Geschwindigkeit? }
+ <math> \vec{u} = \begin{pmatrix} -4 \\ 8 \\ -4 \end{pmatrix} </math>
- <math> \vec{u} = \begin{pmatrix} 4 \\ -8 \\ 4 \end{pmatrix} </math>
- <math> \vec{u} = \begin{pmatrix} -2 \\ 4 \\ -2 \end{pmatrix} </math>
- <math> \vec{u} = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} </math>


'''b)''' <math>P(2|{-}1|{-}1)</math>, <math>g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math>
{ Gegeben ist das abgebildete gleichschenklige rechtwinkelige Dreieck <math>ABC</math>. Welche der folgenden Aussagen treffen auf das Dreieck zu? [[Datei:Dreieck glsch rchtwklg.jpg|rahmenlos|300x300px]] }
+ <math> |\vec{AB}| = |\vec{AC}| </math>
- <math> |\vec{BC}| = |\vec{AC}| </math>
- <math> \vec{AB} = \vec{AC} </math>
- Es gilt <math> |\vec{AC}|^2 = |\vec{BC}|^2 + |\vec{AB}|^2 </math>.
+ Es gilt <math> |\vec{BC}|^2 = |\vec{AC}|^2 + |\vec{AB}|^2 </math>.
</quiz>
|Lernschritte einblenden
|Lernschritte ausblenden}}


{{Lösung versteckt
|Die Punktprobe ist erfüllt für <math>t = -1</math>, d.h. der Punkt <math>P</math> liegt auf der Geraden <math>g</math>.
|Lösung Aufgabe a) anzeigen
|Lösung Aufgabe a) verbergen
}}


{{Lösung versteckt
|Die Punktprobe ist nicht erfüllt, d.h. der Punkt <math>P</math> liegt nicht auf der Geraden <math>g</math>.
|Lösung Aufgabe b) anzeigen
|Lösung Aufgabe b) verbergen
}}


|Arbeitsmethode
<ggb_applet id="mhdaxa3x" width="1536" height="658" border="888888" />
|Farbe={{Farbe|orange}}
}}


{{Box
<ggb_applet id="avyg7hmy" width="150" height="76" />
|Aufgabe 5: Punktprobe mit einer Geraden II
|Für welchen Wert <math>s </math> mit <math> s \in \mathbb{R} </math> liegt der Punkt <math>P</math> auf der Geraden <math>g</math>?


'''a)''' <math>P(-9|{-}12|{-}11)</math>, <math>g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ s \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ 7 \\ 8 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math>
<ggb_applet id="avyg7hmy" width="1920" height="978" />


'''b)''' <math>P(12|{-}1|6,5)</math>, <math>g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 9 \\ -s \\ 2s \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math>
<math>\begin{array}{crcrcr}
\text{I}\quad  & 7x & - & 2y  & = & 48\\
\text{II}\quad & 3x & + & 11y & = & 11
\end{array}</math>


'''c)''' <math>P(4|{-}11|{-}7)</math>, <math>g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2s \\ -3s \\ -s \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math>
<math>\begin{array}{rcrcr}
7x & - & 2y  & = & 48\\
3x & + & 11y & = & 11
\end{array}</math>


{{Lösung versteckt
<math>\left\vert\begin{array}{rcrcr}
|Die Punktprobe ist für <math>s = 5</math> mit <math>r = -2</math> erfüllt.
7x & - & 2y  & = & 48\\
|Lösung Aufgabe a) anzeigen
3x & + & 11y & = & 11
|Lösung Aufgabe a) verbergen
\end{array}\right\vert</math>
}}


{{Lösung versteckt
<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
|Die Punktprobe ist für <math>s = 2,5</math> mit <math>r = 1,5</math> erfüllt.
x    &&\; + \;&& 42y            &&\; - \;&& z  &&\; = \;&& 1  \\
|Lösung Aufgabe b) anzeigen
4242x &&\; - \;&& 24y            &&\; + \;&& 4z &&\; = \;&& -42\\
|Lösung Aufgabe b) verbergen
-x    &&\; + \;&& \tfrac{1}{3} y &&\;  \;&&    &&\; = \;&& 0
}}
\end{alignat}\right\vert</math>


{{Lösung versteckt
|Die Punktprobe ist für <math>s = 3</math> mit <math>r = -2</math> erfüllt.
|Lösung Aufgabe c) anzeigen
|Lösung Aufgabe c) verbergen
}}


|Arbeitsmethode
Test \checkmark Test <math>\checkmark</math>
}}


===Spurpunkte einer Geraden===


Wie du die Spurpunkte, also die Schnittpunkte der Geraden mit den Koordinatenebenen bestimmst, zeigt das folgende Video:


{{#ev:youtube|OCO28fT5Aww|900}}
<div class="lueckentext-quiz" style=".luecke min-width: 1em!important;">
<math>\vec{a}</math> '''<math>\ast</math>''' <math>\vec{b}</math>


{{Box
<math>\vec{b}</math>'''<math>\ast</math>'''<math>\vec{a}</math>
|Achtung: Nicht jede Gerade besitzt drei Spurpunkte!
|Verläuft eine Gerade zu einer der Koordinatenachsen oder -ebenen (echt) parallel, gibt es keinen Schnittpunkt mit der entsprechenden Koordinatenebene.
In deiner Rechnung erkennst du es daran, dass es in der Zeile, die du <math>= 0</math> gesetzt hast, keine Lösung für den Parameter gibt.
|Merksatz
}}


{{Box
<math>\vec{a}</math>'''<math>\ast</math>'''<math>(\vec{b} + \vec{c})</math>
|Beispiel: Gerade mit nur zwei Spurpunkten
|Gegeben ist die Gerade <math>g</math> definiert durch <math>g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ -4 \\ 2 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math>. Im Folgenden werden die Spurpunkte berechnet:
# Für den Schnittpunkt <math>S_{12}</math> der Geraden <math>g</math> mit der <math>x_1x_2</math>-Ebene setze die <math>x_3</math>-Koordinate <math>= 0</math> und forme nach <math>r</math> um: <math>0 = 2 + r \cdot 1 \Leftrightarrow r = -1</math>. Setze nun <math>r = -2</math> in der Geradengleichung ein, um den Schnittpunkt <math>S_{12}</math> zu erhalten: <math>\vec{S_{12}} = \begin{pmatrix} 1 \\ -4 \\ 2 \end{pmatrix} + (-2) \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -8 \\ 0 \end{pmatrix}</math>
# Für den Schnittpunkt <math>S_{13}</math> der Geraden <math>g</math> mit der <math>x_1x_3</math>-Ebene setze die <math>x_2</math>-Koordinate <math>= 0</math> und forme nach <math>r</math> um: <math>0 = -4 + r \cdot 2 \Leftrightarrow r = 2</math>. Setze nun <math>r = 2</math> in der Geradengleichung ein, um den Schnittpunkt <math>S_{13}</math> zu erhalten: <math>\vec{S_{13}} = \begin{pmatrix} 1 \\ -4 \\ 2 \end{pmatrix} + 2 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix}</math>
# Für den Schnittpunkt <math>S_{23}</math> der Geraden <math>g</math> mit der <math>x_2x_3</math>-Ebene setze die <math>x_1</math>-Koordinate <math>= 0</math> und forme nach <math>r</math> um: <math>0 = 1 + r \cdot 0 \Leftrightarrow 0 \neq 1</math>. Es ergibt sich ein Widerspruch, weshalb es keinen Schnittpunkt <math>S_{23}</math> der Geraden <math>g</math> mit der <math>x_2x_3</math>-Ebene gibt. Somit verläuft <math>g</math> parallel zur <math>x_2x_3</math>-Ebene.
|Hervorhebung1
}}


Hier kannst du dir die Spurpunkte von verschiedenen Geraden anzeigen lassen. Dazu kannst du die Punkte <math>A</math> und <math>B</math> anpassen, durch die die Gerade verlaufen soll. Dann kannst du dir die Koordinatebenen mit den verschiedenen Schnittpunkten anzeigen lassen:
<math>(\vec{a}</math>'''<math>\ast</math>'''<math>\vec{b})</math>'''<math>\cdot</math>'''<math>(\vec{a}</math>'''<math>\ast</math>'''<math>\vec{c})</math>
</div>


<ggb_applet id="KrHVKfjB" width="900" height="402" border="888888" />


{{Box
|Aufgabe 6: Spurpunkte einer Geraden I
|Berechne die Spurpunkte der Geraden <math>g</math> definiert durch <math>g: \vec{x} = \begin{pmatrix} ... \\ ... \\ ... \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} ... \\ ... \\ ... \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math>.


{{Lösung versteckt
{{Lösung versteckt
|...
|1=Für den Schnittpunkt <math>S_{12}</math> der Geraden <math>g</math> mit der <math>x_1x_2</math>-Ebene setze die <math>x_3</math>-Koordinate <math>= 0</math> und forme nach <math>r</math> um: <math>0 = 2 + r \cdot 1 \Leftrightarrow r = -1</math>. Setze nun <math>r = -2</math> in der Geradengleichung ein, um den Schnittpunkt <math>S_{12}</math> zu erhalten: <math>\vec{S_{12}} = \begin{pmatrix} 1 \\ -4 \\ 2 \end{pmatrix} + (-2) \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -8 \\ 0 \end{pmatrix}</math>
|Lösung anzeigen
|2=Schnittpunkt mit der <math>x</math>-Ebene anzeigen
|Lösung verbergen
|3=Schnittpunkt mit der x1x2-Ebene verbergen
}}
}}


|Arbeitsmethode
{{Box|1= Aufgabe 9: Lückentext - Geometrische Bedeutung von Vektoraddition und skalarer Multiplikation|2=
|Farbe={{Farbe|orange}}
<div class="lueckentext-quiz">
}}  
'''Test''' a '''Test''' b '''Test''' c '''Test''' d '''Test''' e '''Test''' f '''Test''' g '''Test''' h '''Test''' i '''Test''' j '''Test''' k '''Test''' l '''Test''' m '''Test'''
</div>|3=Arbeitsmethode}}


{{Box
|Aufgabe 7: Spurpunkte einer Geraden II
|Sei eine Gerade <math>g</math> definiert durch <math>g: \vec{x} = \begin{pmatrix} p_1 \\ p_2 \\ 6 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math>. Bestimme den Punkt <math>p</math> so, dass die Gerade <math>g</math> folgende Spurpunkte besitzt: <math>S_{12}(...|...|...)</math>, <math>S_{13}(...|...|...)</math> und <math>S_{23}(...|...|...)</math>.


{{Lösung versteckt
{{Lösung versteckt
|...
|1= <math> \vec{AB}, \vec{AS} </math> und ihre Länge bestimmen:
|Lösung anzeigen
|Lösung verbergen
}}


|Arbeitsmethode
<math> \vec{AB} = \vec{B} - \vec{A} = \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ -3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -3 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \\ -2 \end{pmatrix} </math>
}}  


===Strecken===
<math> \vec{AS} = \vec{S} - \vec{A} = \begin{pmatrix} 3 \\ 7 \\ -11 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -3 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ 5 \\ -10 \end{pmatrix} </math>


===Graphische Darstellung von Geraden im Raum===
<math> |\vec{AB}| = \sqrt{2^2+(-3)^2+(-2)^2} = \sqrt{17} </math>


<math> |\vec{AS}| = \sqrt{6^2+5^2+(-10)^2} = \sqrt{161} </math>


Winkel <math> \alpha </math> zwischen den beiden Vektoren bestimmen:


<math> \cos(\alpha) = \frac {\vec{AB} \ast \vec{AS}}{|\vec{AB}| \cdot |\vec{AS}|} </math>


<math> \cos(\alpha) = \frac {12-15+20}{\sqrt{17} \cdot \sqrt{161}} = \frac{17}{\sqrt{17} \cdot \sqrt{161}} = \sqrt{\frac{17}{161}}</math>


<math> \alpha = \arccos \left( \sqrt{\frac{17}{161}} \right) \approx 71{,}04^\circ </math>


<math> \beta = 90^\circ - \alpha = 18{,}96^\circ </math>


Die Innenwinkel des Dreiecks ABS sind <math> \alpha = 71{,}04^\circ, \beta = 18{,}96^\circ \text{ und } \gamma = 90^\circ.</math>


Die Innenwinkel des Dreiecks ABS sind <math> \alpha = 71{,}04^\circ, \beta = 18{,}96^\circ \text{ und } \gamma = 90^\circ</math>.
|2=Lösung anzeigen
|3=Lösung verbergen
}}




Hallo <math> 2.</math>


 
Hallo <math> 2</math>.
 
 
 
 
 
 
 
 
==Lagebeziehungen von Geraden==
 
{{Box |1= Hinweis |2= In diesem Abschnitt beschäftigst du dich mit der Lagebeziehung von Geraden im Raum.
|3= Merksatz}}
 
{{Box|1=Definition
|2=Wir unterscheiden die Lage zweier Geraden in ''identisch'', ''parallel'', ''geschnitten'' und ''windschief''. Um die Lage zweier Geraden zu ermitteln, betrachtet man zunächst die Richtungsvektoren. Sind diese zueinander kollinear (sind Vielfache voneinander), so können die Geraden lediglich ''identisch'' oder ''parallel'' sein.
 
[[Datei:Identische Geraden.png|links|rahmenlos|Identische Geraden]]
 
[[Datei:Parallele Geraden.png|mitte|rahmenlos|Parallele Geraden]]
 
Um nun zu untersuchen, ob die Geraden ''parallel'' oder ''identisch'' sind, setzen wir einen Punkt der einen Geraden in die Geradengleichung der anderen Geraden ein. Liegt der Punkt der einen Geraden auf der anderen Geraden, sind die Geraden ''identisch''. Andernfalls sind die Geraden echt ''parallel''.
|3=Merksatz}}
 
 
{{Box|1= Aufgabe 1: Lage erkennen|2=Wie verlaufen die folgenden Geraden zueinander?
 
a)<math>f_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R}</math> und <math>f_2: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math>
 
b)<math>g_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>g_2: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math>
 
c)<math>i_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>i_2: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math>
 
{{Lösung versteckt|1= Die erste Antwort lautet ''identisch''. Die beiden Geraden sind ''identisch''. Dies sehen wir daran, dass die Richtungsvekoren mit <math> \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} = 2 \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix} </math> ein Vielfaches voneinander (=kollinear) sind. Da beide Ortsvektoren identisch sind, liegt ein Punkt sind die Geraden ''identisch''.|2=Lösung Aufgabe a |3=Lösung Aufagbe a}}
{{Lösung versteckt|1= Die zweite Antwort lautet ''parallel''. Die beiden Geraden sind ''parallel''. Während die beiden Richtungsvektoren kollinear, sogar identisch, sind liegt der Ortsvektor von <math>i_2</math> nicht auf der Geraden von<math> i_1: \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} =  \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}</math>, mit <math>r=\begin{pmatrix} 1 \\ 0.5 \\ 0.333 \end{pmatrix}</math>.|2=Lösung Aufgabe b|3=Lösung Aufgabe b}}
 
{{Lösung versteckt|1= Die dritte Antwort lautet ''identisch''. Die beiden Geraden sind identisch. Dies sehen wir daran, dass die Richtungsvekoren identisch sind (<math>\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}</math>) und der Ortsvektor der einen Gerade auf der anderen Gerade ist: <math>\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + 1 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}</math>. |2=Lösung Aufgabe c|3=Lösung Aufgabe c}}
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Hervorhebung1}}
 
 
{{Box|1=Definition
|2=Sind die Richtungsvektoren nicht kollinear, so können die Geraden sich lediglich ''schneiden'' oder ''windschief'' zueinander sein.
[[Datei:Geschnittene Geraden.png|links|rahmenlos|Geschnittene Geraden]]
 
[[Datei:Windschiefe Geraden.png|mitte|rahmenlos|Windschiefe Geraden]]
 
Um nun zu untersuchen, ob sich die Geraden ''schneiden'' oder zueinader ''winschief'' sind, müssen wir schauen, ob sich ein Schnittpunkt berechnen lässt. Hierzu setzen wir die Geradengleichungen gleich und formen um. Erhalten wir einen Schnittpunkt S, so ''schneiden'' sich die Geraden im Punkt S. Andernfalls sind diese Geraden ''windschief'' zueinander.
|3=Merksatz}}
 
{{Box|1= Aufgabe 2: Lage erkennen|2=Wie verlaufen die folgenden Geraden zueinander?
 
a)<math>g_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>g_2: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math>
 
b)<math>h_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ 4 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>h_2: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math>
 
c)<math>i_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>i_2: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math>
 
{{Lösung versteckt|1= Die erste Antwort lautet ''schneiden''. Die beiden Geraden ''schneiden'' sich im Punkt <math>\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix}</math>. Dies erhält man, indem man beide Geradengelichungen in ein Gleichungssystem umformt, gleichsetzt und zu r und t umformt:
 
<math>
1+r*1=2+t*4  </math>
 
<math>
1+r*2=3+t*5  </math>
 
<math>
1+r*3=4+t*3  </math>
 
Dies formen wir um:
<math>
r*1-t*4=1  </math>
 
<math>
r*2-t*5=2  </math>
 
<math>
r*3-t*3=3  </math>
 
Nehmen die erste Zeile mal 2, subtrahieren von der ersten Zeile die zweite Zeile und erhalen für t= 0 und r=1.
 
|2=2=Lösung Aufgabe a |3=Lösung Aufagbe a}}
 
{{Lösung versteckt|1= Die zweite Antwort lautet ''schneiden''. Die beiden Geraden''schneiden''ich im Ortsvektoren selbst.|2=Lösung Aufgabe e b|3=Lösung Aufgabe b}}
 
{{Lösung versteckt|1= Die dritte Antwort lautet ''windschief''. Die beiden Geraden sind ''windschief'' zueinander. Dies sehen widaran
<math>
1+r*1=2+t*1  </math>
 
<math>
1+r*2=3+t*4  </math>
 
<math>
1+r*3=4+t*3  </math>
 
Dies formen wir um:
<math>
r*1-t*1=1  </math>
 
<math>
r*2-t*4=2  </math>
 
<math>
r*3-t*3=3  </math>
 
Nehmen die erste Zeile mal 2, subtrahieren von der ersten Zeile die zweite Zeile und erhalen für t= 1/6
 
daran, |2=Lösung Aufgabe c|3=Lösung Aufgabe c}}
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Hervorhebung1}}
 
{{Box|1= Aufgabe 3: Lage erkennen|2=Löse das Quiz und mache dir deinen eigenen Lernzettel
<iframe src="https://learningapps.org/watch?app=19038875" style="border:0px;width:100%;height:500px" allowfullscreen="true" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>
 
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Hervorhebung1}}
 
{{Box |1= Merksatz |2=<br />
Zwei Geraden...
 
sind ''identisch''
* Richtungsvektoren '''kollinear''' (= Vielfache voneinander)
* Ortsvektor der einen Geraden liegt auf der anderen Geraden
sind ''parallel''
* Richtungsvektoren '''kollinear''' (= Vielfache voneinander)
* Ortsvektor der einen Geraden liegt '''nicht''' auf der anderen Geraden.
''schneiden'' sich
* Richtungsvektoren '''nicht''' kollinear (= Vielfache voneinander)
* Bei dem Versuch einen Schnittpunkt zu berechnen, kommt eine '''wahre Aussage''' in Form eines Punktes heraus
sind zueinander ''windschief''
* Richtungsvektoren '''nicht''' kollinear (= Vielfache voneinander)
* Bei dem Versuch einen Schnittpunkt zu berechnen, kommt eine '''falsche Aussage''' heraus
 
<br /> .
|3= Merksatz}}
 
{{Box|1= Aufgabe 4: |2=Flugerlaubnis erteilen?
 
Ein wichtiger Bestandteil der Flugsicherung sind die Fluglotsen der "Deutschen Flugsicherung" (DFS). Sie koordinieren und überwachen jährlich Millionen Flüge im deutschen Luftraum. Am heutigen Tag wollen zwei Flugzeuge starten. Hierzu gehört das Flugzeug der Fluglinie Aer. Es startet bei  <math> \begin{pmatrix} 10 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix}</math> und befindet sich nach 5sek auf  <math> \begin{pmatrix} 510 \\ 410 \\ 350 \end{pmatrix}</math>. Ebenfalls möchte das Flugzeug der Fluglinie Amadeus in die Luft. Dies startet in <math> \begin{pmatrix} 5 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix}</math>. Pro Sekunde legt es eine Strecke von 175,49m zurück und besitzt einen Richtungsvektor von  <math> \begin{pmatrix} 120,2 \\ 96,4 \\ z \end{pmatrix}</math>.
 
Es kam zu einem riesigen Stromausfall und der Fluglotse ist sich unsicher. Hilf ihm die Antworten auf folgende Fragen zu finden:
 
a) Wie lauten die Geradengleichungen der einzelen Flugzeuge?
 
b) Wie schnell (in km/h) fliegen die einzelnen Flugzeuge?
 
c) Können alle Flugzeuge starten, ohne dass es zu einer Kollision kommt?
 
 
{{Lösung versteckt|1= Zu Aer: Setze alle gegebenen Daten in eine allgemeine Parameterdarstellung ein und forme um.
 
Zu Amadeus: Um den Richtungsvektor zu berechnen, benötigst du die Forme zur Berechnung der Länge eines Vektoren:
<math> L=\sqrt[2]{x{2}+y^{2}+z^{2}}</math>. |2= Tipp zu a|3= Tipp zu a}}
 
{{Lösung versteckt|1= Geschwindigkeit kann man in verschiedene Einheiten angeben, z.B.: km/h, m/s etc.. Nachdem du die Länge der Strecke nach einer Sekunde berechnet hast, musst du dies von m/s zu km/h umwandeln.|2=Tipp zu b |3=Tipp zu b}}
 
{{Lösung versteckt|1= Nur weil sich zwei Geraden schneiden heißt es noch nicht direkt, dass eine Kollision vorherrscht.|2=Tipp zu c |3=Tipp zu c}}




{{Lösung versteckt|1=
{{Lösung versteckt|1=
{{Box|Video| 2 = Du hast immer noch keine genaue Vorstellung davon, wie du das Skalarprodukt zweier Vektoren berechnen kannst? Dann schaue dir das Video zum Thema Skalarprodukt an:


Flugzeug Aer:
{{#ev:youtube|Ov_NKtoHpK0}} |3 = Unterrichtsidee| Farbe={{Farbe|gelb}}}} |2= Video zur Wiederholung|3= Einklappen}}
<math>f_3: \vec{x} = \begin{pmatrix} 10 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 100 \\ 80 \\ 70 \end{pmatrix}, t \in \mathbb{R} </math>
 
Dies erhalten wir, indem wir folgendes berechnen:
<math>\begin{pmatrix} 510 \\ 410 \\ 350 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix} + 5\cdot \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}, t \in \mathbb{R} </math>. Dies schreiben wir in ein Gleichugssystem um und formen es zu x,y,z um:
 
<math>
510=10+5*x  </math>
 
<math>
410=10+5*y  </math>
 
<math>
350= 0+5*z  </math>
Flugzeug Amadeus:
<math>f_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 5 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 120,2\\ 96,4 \\ 84\end{pmatrix}, t \in \mathbb{R} </math>
 
Dies erhalten wir wie folgt:
Wir kennen den Richtungsvektor:
<math> \begin{pmatrix} 120,2\\ 96,4 \\ 84\end{pmatrix}</math>. Nun müssen wir z berechnen. Im Text steht, dass das Flugzeug pro Sekunde eine Länge von 175,49m fliegt. Das bedeutet, dass der Richtungsvektor eine Länge von 175,49 beträgt. Dies können wir mit der Formel der Länge eines Vektor berechnen:
 
 
<math> 175,49=\sqrt[2]{120,2^{2}+96,4^{2}+z^{2}}</math>
 


Indem wir beide Seiten zum Quadart nehemn, entfällt die Wurzel und es folgt:
{{Lösung versteckt|1={{#ev:youtube|Ov_NKtoHpK0}} |2= Video zur Wiederholung|3= Einklappen}}




<math> 175,49^{2}=120,2^{2}+96,4^{2}+z^{2}</math>
{{#ev:youtube|Ov_NKtoHpK0}}




Wir formen zu <math>z^{2}</math> um und ziehen dann die Wurzel. Wir erhalten 83,998 und runden auf 84.
Wobei t für die Zeit in Sekunden steht.


|2=Lösung Aufgabe a|3=Lösung Aufgabe a}}


{{Lösung versteckt|1=
Wir berechnen die Geschwindigkeit, indem wir die Länge des Richtungsvektors berechnen. Dies erfolgt mit der Formel:<math> L=\sqrt[2]{x{2}+y^{2}+z^{2}}</math>.


Fugzeug Aer:
<math> L=\sqrt[2]{100{2}+80^{2}+70^{2}}</math>.


<math> L=145,95</math>.


Wir erhalten also eine Geschwindigkeit von 145,95 m/s. Es gilt: 3,6km/h=1m/s.
Umgerechnet in km/h sind das also:


<math>145,95*3,6= 525,42</math>
525,42km/h.


Flugzeug Amadeus:
Das Flugzeug Amadeus legt laut Text nach einer Sekunde eine Strecke von 175,49m zurück. Damit hat es eine Geschwindigkeit von 175,49m/s.Umgerechnet in km/h sind das also:


<math>175,49*3,6= 631,76</math>
631,76km/h.


|2=Lösung Aufgabe b|3=Lösung Aufgabe b}}
{{LearningApp|app=3452397|width=100%|height=400px}}


{{Lösung versteckt|1=
{{LearningApp|app=3452397|width=100%|height=450px}}
Flugzeug Aer und Amadeus:
Sie schneiden sich für
<math> \begin{pmatrix} 10 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix} + 30 \cdot \begin{pmatrix} 100 \\ 80 \\ 70 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 5 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix} + 25 \cdot \begin{pmatrix} 120,2\\ 96,4 \\ 84\end{pmatrix}</math>. Dies erhalten wir, indem wir beide Funktionen gleichsetzen und in ein Gleichungssystem umformen:


{{LearningApp|app=3452397|width=100%|height=490px}}


<math>
{{LearningApp|app=3452397|width=100%|height=499px}}
10+t*100=5+s*120,2  </math>


<math>
{{LearningApp|app=3452397|width=100%|height=500px}}
10+t*80=10+s*96,4  </math>
 
<math>
0+t*70=0+s*84  </math>
 
Da es jedoch nicht der gleiche Zeitpunkt ist, kommt es zu keiner Kollision.
 
 
|2=Lösung Aufgabe c|3=Lösung Aufgabe c}}
 
|Farbe={{Farbe|grün}}|3= Hervorhebung1}}
 
==Geraden und ihre Anwendungen==




Zeile 554: Zeile 301:
a
a


<ggb_applet id="jtqx9ysp" width="700" height="500" border="a33800" />
 


b
b
Zeile 622: Zeile 369:
+ b
+ b
</quiz>
</quiz>
-->

Aktuelle Version vom 22. Mai 2023, 11:01 Uhr

hier[1]

  1. ↑ Aus rechtlichen Gründen: Verlinkung zur Dateibeschreibung des Arbeitsblatts


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