Benutzer:L.hodankov/Lineare Funktionen untersuchen

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Herzlichen Dank!

SEITE IM AUFBAU !!!

Funktionsgleichung und Funktionsgraph


f(x) = mx + b Bedeutung von m und b für den Funktionsgraphen


Damit du einen Eindruck von der Bedeutung der Parameter m (Steigung) und b (y-Achsenabschnitt) der Funktionsgleichung linearer Funktionen f(x) = mx + b erhältst, verändere in der folgenden Animation mithilfe der Schieberegler die Größe von m und b. Notiere deine Beobachtungen stichpunktartig.


GeoGebra


In der Funktionsgleichung linearer Funktionen f(x)= m·x + b haben die Parameter m und b verschiedene Bedeutungen:
b ist der y-Achsenabschnitt, im Punkt P(0|b) schneidet die Gerade die y-Achse.

m ist die Steigung der Funktion, der Graph verläuft steigend oder fallend, je steil oder flach.

Nun schauen wir uns die Steigung m genauer an. Dazu wählen wir den y-Achsenabschnitt b = 0, die Gerade geht also durch den Ursprung (0|0).
Erinnerung: Diese Funktionen heißen "proportionale Funktionen", da ihr Graph eine Ursprungsgerade ist.


Die Steigung m

Die Bedeutung von m: Steigende und fallende Geraden

Wir unterscheiden steigende und fallende Geraden. Eine Gerade "steigt", wenn bei steigenden x-Werten auch die y-Werte steigen. Für die Steigung m gilt also:

Ist m > 0, steigt die Funktion.

Ist m < 0, fällt die Funktion.


Anschaulich vorstellen kannst du dir, dass die Funktion steigt, wenn der Wanderer den Berg hochsteigen muss.
Fällt die Funktion, "fällt" der Wanderer bergab.

Um zu unterscheiden, ob eine Gerade steil oder flach verläuft (steigt oder fällt), beobachte in der nächsten Simulation den Maulwurf, der seinen Maulwurfshügel hinaufklettert.

GeoGebra

Wenn die Steigung m steil ist, muss der Maulwurf sehr mutig sein!

Fülle den nachfolgenden Lückentext aus und übertrage ihn in deine Mappe (Goodnotes):

Die Steigung m einer proportionalen (linearen) Funktion f(x) = mx bestimmt den Verlauf der Geraden:
Für m > 0 steigt die Gerade und für m < 0 fällt die Gerade.
Die Gerade steigt flach für 0 < m < 1 und steil für m > 1.
Die Gerade fällt flach für -1 < m < 0 und steil für m < -1.



Übung 3: Steigende und fallende Geraden
Bearbeite die nachfolgenden Apps, um dein Wissen über steigende und fallende Geraden und die Bedeutung von m in der Funktionsgleichung zu überprüfen.






Übung 4

Erfinde Aufgaben für deinen Sitznachbarn in der Art:
"Nenne mir eine proportionale Funktion, deren Graph flach fällt." Lösung z.B. f(x) = -Einhalb grün.pngx.

Prüft die Antworten mit GeoGebra.


Öffne die App GeoGebra und gib die Funktionsgleichung ein. Der zugehörige Graph wird sofort angezeigt. Steigt oder fällt dieser, steil oder flach?
GeoGebra Graphen zeichnen 1.png

GeoGebra Graphen zeichnen f(x) = 2x.png

GeoGebra Graphen zeichnen Dezimalzahlen f(x) = -1,5x.png

GeoGebra Graphen zeichnen Brüche f(x) = einhalb x.png


Teste dein Wissen mit einem Kahoot (im Unterricht).


Das Steigungsdreieck

Untersuche mithilfe der Animation in GeoGebra die Steigung von Geraden. Du kannst mit den Schiebereglern m verändern. Außerdem kannst du das Steigungsdreieck durch Verschieben der Punkte A und B verändern. Beobachte, was geschieht. Probiere aus.

GeoGebra

Beobachtung: Die Steigung m einer linearen Funktion können wir mit einem Steigungsdreieck ermitteln und darstellen. Dazu zeichnen wir von einem beliebigen Punkt auf der Geraden ein Dreieck zu einem anderen Punkt auf der Geraden, bei dem die eine Seite parallel zur x-Achse liegt und die andere parallel zur y-Achse. Gehen wir dabei genau 1 Einheit in x-Richtung, steigt (oder fällt) der y-Wert immer um den Wert m, die Steigung.

Egal, wie das Steigungsdreieck gezeichnet wird, der Quotient aus bleibt immer gleich, dies ist die Steigung m.


Merke: Die Steigung m

Die Steigung m einer linearen Funktion können wir mit einem Steigungsdreieck ermitteln und darstellen. Gehen wir dabei genau 1 Einheit in x-Richtung, steigt (oder fällt) der y-Wert immer um den Wert m, die Steigung.

Es gilt: m=Steigung m .png=

Steigungsdreieck Tafelbild 3.png



Übung 5

Löse auf der Seite Aufgabenfuchs die Aufgabe

  • 18
  • 20
  • 21
  • 22
Die Steigung m eines Graphen ablesen

Ist der Graph einer linearen Funktion gegeben (also eine Gerade im Koordinatensystem), kannst du die Steigung m mithilfe eines Steigungsdreiecks bestimmen.
Das nachfolgende Video erklärt, wie du bei einem gegebenen Graphen ein Steigungsdreieck einzeichnest und damit die Steigung m bestimmst.


Übung 6

Die Bilder zeigen dir noch einmal, wie du ein Steigungsdreieck einzeichnest und damit die Steigung m bestimmst.

Übertrage jeweils das Beispiel in dein Heft und bearbeite anschließend die LearningApp.


1. Beispiel: m ist eine positive ganze Zahl (also eine natürliche Zahl):
Steigungsdreieck m ganze Zahl (positiv).png



2. Beispiel: m ist eine negative ganze Zahl:
Steigungsdreieck m ganze Zahl (negativ).png



3. Beispiel: m ist ein Bruch (positiv):
Steigungsdreieck m Bruch (positiv).png



4. Beispiel: m ist ein Bruch (negativ):
Steigungsdreieck m Bruch (negativ).png




Übung 7
Lies jeweils am Steigungsdreieck die Steigung m der Geraden ab.


Übung 8

Lies jeweils am Steigungsdreieck die Steigung m der Geraden ab. Verschiebe dazu den Punkt auf dem Graphen passend. Bearbeite je so viele Aufgaben, bis du mindestens 300 Punkte gesammelt hast.


Übung 9
Löse die Aufgaben auf der Seite 5 aus dem Arbeitsheft.



Teste dein Wissen mit einem Kahoot (im Unterricht).



Den Graphen zeichnen mit einem Steigungsdreieck

Ist die Funktionsgleichung einer proportionalen Funktion gegeben, kannst du den Graphen (also eine Ursprungsgerade) mithilfe eines Steigungsdreiecks zeichnen.

Das nachfolgende Video erklärt, wie du bei gegebener Steigung mit dem Steigungsdreieck den Graphen (Ursprungsgerade) einer proportionalen Funktion zeichnest.


Übung 12

Zeichne die Ursprungsgerade zur Funktionsgleichung. Verschiebe dazu den Punkt P, so dass ein geeignetes Steigungsdreieck ensteht.


Übung 13

Löse die Aufgaben aus dem Buch. Zeichne höchstens 4 Geraden in ein Koordinatenkreuz. Wenn die Aufgabe mehr Graphen enthält, zeichne ein weiteres Koordinatenkreuz.

  • S. 126 Nr. 2
  • S. 126 Nr. 4
  • S. 126 Nr. 3
Gib die Funktionsgleichung bei GeoGebra ein und vergleiche den Verlauf des angezeigten Graphen mit deiner Zeichnung.
Tipp zum Zeichnen der Steigungsdreiecke, wenn m eine ganze Zahl ist(bei a,b und c): Gehe vom Ursprung aus 1 Schritt nach rechts und m Schritte nach oben (m positiv) bzw. nach unten (m negativ)
S. 126 Nr. 2 Steigungsdreiecke abc.png

Tipp zum Zeichnen von Steigungsdreiecken, wenn m ein Bruch ist (bei d bis i)
Gehe so viele Schritte, wie der NENNER angibt, nach RECHTS und

so viele Schritte wie der ZÄHLER angibt nach OBEN (m positiv) oder UNTEN (m negativ).
S. 126 Nr. 2 Steigungsdreiecke de.png
S. 126 Nr. 2 Steigungsdreiecke fh.png

Zusammenfassung: Schau dazu das nachfolgende Video zu Steigungsdreiecken an: