Benutzer:L.hodankov/Lineare Funktionen untersuchen: Unterschied zwischen den Versionen

Aktuelle Version vom 18. Oktober 2023, 20:12 Uhr

Diese Seite des Lernpfades wurde teilweise übernommen von der Seite Herta-Lebenstein-Realschule https://projekte.zum.de/wiki/Herta-Lebenstein-Realschule/Lineare_Funktionen_im_Aktiv-Urlaub . Der Autor ist Buss-Haskert. Diese Seite wurde veröffentlicht unter der Lizenz CC BY SA.

Herzlichen Dank!

SEITE IM AUFBAU !!!

Funktionsgleichung und Funktionsgraph

f(x) = mx + b Bedeutung von m und b für den Funktionsgraphen

Damit du einen Eindruck von der Bedeutung der Parameter m (Steigung) und b (y-Achsenabschnitt) der Funktionsgleichung linearer Funktionen f(x) = mx + b erhältst, verändere in der folgenden Animation mithilfe der Schieberegler die Größe von m und b. Notiere deine Beobachtungen stichpunktartig.

In der Funktionsgleichung linearer Funktionen f(x)= m·x + b haben die Parameter m und b verschiedene Bedeutungen:
b ist der y-Achsenabschnitt, im Punkt P(0|b) schneidet die Gerade die y-Achse.

m ist die Steigung der Funktion, der Graph verläuft steigend oder fallend, je steil oder flach.

Nun schauen wir uns die Steigung m genauer an. Dazu wählen wir den y-Achsenabschnitt b = 0, die Gerade geht also durch den Ursprung (0|0).
Erinnerung: Diese Funktionen heißen "proportionale Funktionen", da ihr Graph eine Ursprungsgerade ist.

Die Steigung m

Die Bedeutung von m: Steigende und fallende Geraden

Wir unterscheiden steigende und fallende Geraden. Eine Gerade "steigt", wenn bei steigenden x-Werten auch die y-Werte steigen. Für die Steigung m gilt also:

Ist m > 0, steigt die Funktion.

Ist m < 0, fällt die Funktion.

Anschaulich vorstellen kannst du dir, dass die Funktion steigt, wenn der Wanderer den Berg hochsteigen muss.
Fällt die Funktion, "fällt" der Wanderer bergab.

Um zu unterscheiden, ob eine Gerade steil oder flach verläuft (steigt oder fällt), beobachte in der nächsten Simulation den Maulwurf, der seinen Maulwurfshügel hinaufklettert.

Wenn die Steigung m steil ist, muss der Maulwurf sehr mutig sein!

Fülle den nachfolgenden Lückentext aus und übertrage ihn in deine Mappe (Goodnotes):

Die Steigung m einer proportionalen (linearen) Funktion f(x) = mx bestimmt den Verlauf der Geraden:
Für m > 0 steigt die Gerade und für m < 0 fällt die Gerade.
Die Gerade steigt flach für 0 < m < 1 und steil für m > 1.
Die Gerade fällt flach für -1 < m < 0 und steil für m < -1.

Übung 3: Steigende und fallende Geraden

Bearbeite die nachfolgenden Apps, um dein Wissen über steigende und fallende Geraden und die Bedeutung von m in der Funktionsgleichung zu überprüfen.

Übung 4

Erfinde Aufgaben für deinen Sitznachbarn in der Art:
"Nenne mir eine proportionale Funktion, deren Graph flach fällt." Lösung z.B. f(x) = -x.

Prüft die Antworten mit GeoGebra.

Öffne die App GeoGebra und gib die Funktionsgleichung ein. Der zugehörige Graph wird sofort angezeigt. Steigt oder fällt dieser, steil oder flach?

Das Steigungsdreieck

Untersuche mithilfe der Animation in GeoGebra die Steigung von Geraden. Du kannst mit den Schiebereglern m verändern. Außerdem kannst du das Steigungsdreieck durch Verschieben der Punkte A und B verändern. Beobachte, was geschieht. Probiere aus.

Beobachtung: Die Steigung m einer linearen Funktion können wir mit einem Steigungsdreieck ermitteln und darstellen. Dazu zeichnen wir von einem beliebigen Punkt auf der Geraden ein Dreieck zu einem anderen Punkt auf der Geraden, bei dem die eine Seite parallel zur x-Achse liegt und die andere parallel zur y-Achse. Gehen wir dabei genau 1 Einheit in x-Richtung, steigt (oder fällt) der y-Wert immer um den Wert m, die Steigung.

Egal, wie das Steigungsdreieck gezeichnet wird, der Quotient aus $\tfrac{\text{Dreieckshöhe y}}{\text{Dreiecksbreite x}}$ bleibt immer gleich, dies ist die Steigung m.

Merke: Die Steigung m

Die Steigung m einer linearen Funktion können wir mit einem Steigungsdreieck ermitteln und darstellen. Gehen wir dabei genau 1 Einheit in x-Richtung, steigt (oder fällt) der y-Wert immer um den Wert m, die Steigung.

Es gilt: m== $\tfrac{\text{Dreieckshöhe y}}{\text{Dreiecksbreite x}}$

Übung 5

Löse auf der Seite Aufgabenfuchs die Aufgabe

18
20
21
22

Die Steigung m eines Graphen ablesen

Ist der Graph einer linearen Funktion gegeben (also eine Gerade im Koordinatensystem), kannst du die Steigung m mithilfe eines Steigungsdreiecks bestimmen.
Das nachfolgende Video erklärt, wie du bei einem gegebenen Graphen ein Steigungsdreieck einzeichnest und damit die Steigung m bestimmst.

Übung 6

Die Bilder zeigen dir noch einmal, wie du ein Steigungsdreieck einzeichnest und damit die Steigung m bestimmst.

Übertrage jeweils das Beispiel in dein Heft und bearbeite anschließend die LearningApp.

1. Beispiel: m ist eine positive ganze Zahl (also eine natürliche Zahl):

2. Beispiel: m ist eine negative ganze Zahl:

3. Beispiel: m ist ein Bruch (positiv):

4. Beispiel: m ist ein Bruch (negativ):

Übung 7

Lies jeweils am Steigungsdreieck die Steigung m der Geraden ab.

Übung 8

Lies jeweils am Steigungsdreieck die Steigung m der Geraden ab. Verschiebe dazu den Punkt auf dem Graphen passend. Bearbeite je so viele Aufgaben, bis du mindestens 300 Punkte gesammelt hast.

Übung 9

Löse die Aufgaben auf der Seite 5 aus dem Arbeitsheft.

Teste dein Wissen mit einem Kahoot (im Unterricht).

Der y-Achsenabschnitt b

Lineare Funktionen: f(x) = m·x + b

Nachdem wir uns ausführlich mit der Bedeutung von m, also der Steigung einer linearen Funktion beschäftigt haben, schau noch einmal im Applet, welche Bedeutung der Parameter b für den Graphen der Funktion hat.

Die Veränderung von b bewirkt eine Verschiebung der Geraden entlang der y-Achse.

Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0|b)

Merke: Der y-Achsenabschnitt b

Eine Funktion mit der Gleichung f(x) = m·x + b ist eine lineare Funktion.
Der Graph ist eine Gerade.
Diese Gerade hat die Steigung m und schneidet die y-Achse im Punkt (0|b).

b ist der y-Achsenabschnitt.

Übung 10

Lies in der nachfolgenden App jeweils den y-Achsenabschnitt b am Graphen bzw. in der Funktionsgleichung ab.

Im Weiteren betrachten wir lineare Funktionen f(x) = mx + b.
Auch hier lernst du, wie du anhand eines Graphen die Funktionsgleichung bestimmst bzw. wie du zu einer Funktionsgleichung eine passende Gerade zeichnen kannst.

Von der Geraden zu Funktionsgleichung

Ablesen der Funktionsgleichung am Funktionsgraphen - Erklärung

Übe das Aufstellen der Funktionsgleichung einer linearen Funktion bei gegebenem Graphen. Bestimme dazu zunächst den y-Achsenabschnitte b und danach die Steigung m mithilfe des Steigungsdreiecks.

Erklärvideo:

und noch mehr Beispiele:

Und nun noch einmal übersichtlich als in GeoGebra und als Bild:
Beispiel 1 (leicht): m ist eine natürliche Zahl
Originallink https://www.geogebra.org/m/a2ew5np7

Beispiel 2 (mittel): m ist eine negative Zahl
Originallink: https://www.geogebra.org/m/xc2p7wvk

Beispiel 3 (schwer): m ist ein Bruch
Originallink: https://www.geogebra.org/m/fnavjbgf

Übung 11: Bestimmen der Funktionsgleichung einer Geraden

Ordne den Geraden die Funktionsgleichung zu. Wähle eine passende Schwierigkeit aus.

leicht (*)

mittel (**)

schwer (***)

Übung 12

Gib auf der Seite realmath jeweils die Funktionsgleichung f(x) = mx+b an. Bestimme dazu m und b, wie oben beschrieben.

Übung: Funktionsgleichung ablesen

@@ Zeile 71: / Zeile 71: @@
 <br>
-Teste dein Wissen mit einem '''Kahoot''' (im Unterricht).
@@ Zeile 148: / Zeile 147: @@
 <br>
+===Der y-Achsenabschnitt b===
+<br>
+Lineare Funktionen: f(x) = m·x + b
+<br>
+Nachdem wir uns ausführlich mit der Bedeutung von '''m''', also der '''Steigung''' einer linearen Funktion beschäftigt haben, schau noch einmal im Applet, welche Bedeutung der Parameter '''b''' für den Graphen der Funktion hat.
+<br><ggb_applet id="gdvednbk" width="700&quot;" height="500" /><br>
+{{Lösung versteckt|Die Veränderung von b bewirkt eine Verschiebung der Geraden entlang der y-Achse.<br>
+Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0&#124;b)|Beobachtung|Verbergen}}
+{{Box|1=Merke: Der y-Achsenabschnitt b|2=Eine Funktion mit der Gleichung f(x) = m·x + b ist eine lineare Funktion.<br>
+Der Graph ist eine Gerade.<br>
+Diese Gerade hat die Steigung m und schneidet die y-Achse im Punkt (0&#124;b).<br>
+'''b''' ist der '''y-Achsenabschnitt'''.|3=Arbeitsmethode}}
-=====Den Graphen zeichnen mit einem Steigungsdreieck=====
+{{Box|Übung 10|Lies in der nachfolgenden App jeweils den y-Achsenabschnitt b am Graphen bzw. in der Funktionsgleichung ab.|Üben}}
-Ist die Funktionsgleichung einer proportionalen Funktion gegeben, kannst du den Graphen (also eine Ursprungsgerade) mithilfe eines '''Steigungsdreiecks''' zeichnen.<br>
-Das nachfolgende Video erklärt, wie du bei gegebener Steigung mit dem Steigungsdreieck den Graphen (Ursprungsgerade) einer proportionalen Funktion zeichnest. <br>
+{{LearningApp|app=pfeqzdf8521|width=100%|height=600px}}
-{{#ev:youtube|fGcJaqTueak|800|center}}
 <br>
-{{Box|Übung 12|Zeichne die Ursprungsgerade zur Funktionsgleichung. Verschiebe dazu den Punkt P, so dass ein geeignetes Steigungsdreieck ensteht.
-* [https://www.realmath.de/Neues/Klasse8/ursprungsgeraden/ugeradezeichnen.php Level 1]
-* [https://www.realmath.de/Neues/Klasse8/ursprungsgeraden/ugeradezeichnenneu.php Level 2]|Üben}}
+Im Weiteren betrachten wir lineare Funktionen f(x) = mx + b.<br>
+Auch hier lernst du, wie du anhand eines Graphen die Funktionsgleichung bestimmst bzw. wie du zu einer Funktionsgleichung eine passende Gerade zeichnen kannst.<br>
 <br>
-{{Box|Übung 13|Löse die Aufgaben aus dem Buch. Zeichne höchstens 4 Geraden in ein Koordinatenkreuz. Wenn die Aufgabe mehr Graphen enthält, zeichne ein weiteres Koordinatenkreuz.
-* S. 126 Nr. 2
-* S. 126 Nr. 4
-* S. 126 Nr. 3|Üben}}
-{{Lösung versteckt|
-{{Lösung versteckt|Gib die Funktionsgleichung bei GeoGebra ein und vergleiche den Verlauf des angezeigten Graphen mit deiner Zeichnung.|Tipp 1|Verbergen}}
-{{Lösung versteckt|Tipp zum Zeichnen der Steigungsdreiecke, wenn m eine ganze Zahl ist(bei a,b und c): Gehe vom Ursprung aus 1 Schritt nach rechts und m Schritte nach oben (m positiv) bzw. nach unten (m negativ)|Tipp 2 zu a, b, c|Verbergen}}
-{{Lösung versteckt|[[Datei:S. 126 Nr. 2 Steigungsdreiecke abc.png]]|Tipp 3 Steigungsdreiecke a,b,c|Verbergen}}
-{{Lösung versteckt|1=Tipp zum Zeichnen von Steigungsdreiecken, wenn m ein Bruch ist (bei d bis i)<br>
-Gehe so viele Schritte, wie der <span style="color:green">NENNER</span> angibt, nach <span style="color:green>RECHTS</span> und <br>
-so viele Schritte wie der <span style="color:blue">ZÄHLER</Span> angibt nach <span style="color:blue">OBEN</span> (m positiv) oder <span style="color:blue">UNTEN</span> (m negativ).|2=Tipp 4 Steigungsdreiecke zu d bis i|3=Verbergen}}
-{{Lösung versteckt|[[Datei:S. 126 Nr. 2 Steigungsdreiecke de.png]]|Tipp 5 Steigungsdreiecke d,e|Verbergen}}
-{{Lösung versteckt|[[Datei:S. 126 Nr. 2 Steigungsdreiecke fh.png]]|Tipp 6 Steigungsdreiecke f,h|Verbergen}}
-|Tipps zu S. 126 Nr. 2|Verbergen}}
-Zusammenfassung: Schau dazu das nachfolgende Video zu Steigungsdreiecken an:
+===Von der Geraden zu Funktionsgleichung===
+<br>
+{{Box|Ablesen der Funktionsgleichung am Funktionsgraphen - Erklärung| Übe das Aufstellen der Funktionsgleichung einer linearen Funktion bei gegebenem Graphen. Bestimme dazu zunächst den y-Achsenabschnitte b und danach die Steigung m mithilfe des Steigungsdreiecks.|Kurzinfo}}
-{{#ev:youtube|qwL_B7OhRIE|800|center}}
+<div class="grid">
+<div class="width-1-2">Erklärvideo: {{#ev:youtube|D1ohhkkIUoM|460|center}}</div>
+<div class="width-1-2">und noch mehr Beispiele:{{#ev:youtube|2j4V10V5Gnc|460|center}}</div>
+</div>
+Und nun noch einmal übersichtlich als in GeoGebra und als Bild:<br>
+'''Beispiel 1 (leicht)''': m ist eine natürliche Zahl<br>
+Originallink https://www.geogebra.org/m/a2ew5np7
+<ggb_applet id="a2ew5np7" width="1128" height="728" border="888888" />
 <br>
+[[Datei:Funktionsgleichung einer Geraden bestimmen m=2.png|535x535px]]
+<br>
+'''Beispiel 2 (mittel)''': m ist eine negative Zahl <br>
+Originallink: https://www.geogebra.org/m/xc2p7wvk
+<ggb_applet id="xc2p7wvk" width="1128" height="728" border="888888" />
+[[Datei:Funktionsgleichung einer Geraden bestimmen m=-1,5.png|528x528px]]<br>
+'''Beispiel 3 (schwer)''': m ist ein Bruch <br>
+Originallink: https://www.geogebra.org/m/fnavjbgf
+<ggb_applet id="fnavjbgf" width="1128" height="728" border="888888" /><br>
+[[Datei:Funktionsgleichung einer Geraden bestimmen m=drei Fünftel.png|523x523px]]
+{{Box|Übung 11: Bestimmen der Funktionsgleichung einer Geraden|Ordne den Geraden die Funktionsgleichung zu. Wähle eine passende Schwierigkeit aus.|Üben}}
+<div class="grid">
+<div class="width-1-3">leicht (*){{LearningApp|app=phd8q7we221|width=100%|height=400px}}{{LearningApp|app=p2rwidw3t20|width=100%|height=400px}}</div>
+<div class="width-1-3">mittel (**){{LearningApp|app=popvxxk2v21|width=100%|height=400px}}{{LearningApp|app=pw8bbo2st20|width=100%|height=400px}}</div>
+<div class="width-1-3">schwer (***){{LearningApp|app=p5mxjgbpt21|width=100%|height=400px}}{{LearningApp|app=ppn4q2oe320|width=100%|height=400px}}</div>
+<br>
+{{Box|1=Übung 12|2=Gib auf der Seite realmath jeweils die Funktionsgleichung f(x) = mx+b an. Bestimme dazu m und b, wie oben beschrieben.
+* [https://realmath.de/Neues/Klasse8/linfkt/geradeablesen.php Übung: Funktionsgleichung ablesen]|3=Üben}}</div>
+<br>
 <br>

Suche

Benutzer:L.hodankov/Lineare Funktionen untersuchen: Unterschied zwischen den Versionen

Aktuelle Version vom 18. Oktober 2023, 20:12 Uhr

Inhaltsverzeichnis

Funktionsgleichung und Funktionsgraph