Benutzer:Klara WWU-6/Von der Randfunktion zur Integralfunktion

partielle Integration

Beispiel für partielle Integration

Integration durch Substitution

Die Integration durch Substitution ist eine weitere Methode der Integration, welche auf der Kettenregel beruht. Dabei muss eine Verknüpfung zweier Funktionen innerhalb dieses Integrals vorhanden sein. Allgemein wird ihre Formel folgendermaßen definiert: $\int_a^b f(g(x))*g'(x)\, dx = \int_{g(a)}^{g(b)} f(z)\, dx$

Vorgehen:

Zunächst wird die innere Funktion $g(x)$ dieser verknüpften Funktion durch eine Variable z ersetzt. Also $z = g(x)$
Die Gleichung wird nach x abgeleitet. Also $z = g(x) \Longrightarrow dz = g'(x) dx$
und dann nach dx umgeformt: $dz = g'(x) dx \Longrightarrow dx = \frac{dz}{g'(x)}$
Falls im Integral die Grenzen a und b angegeben wurden, müssen diese durch Einsetzen in die Gleichung $g(x)$ angepasst werden: $a \longrightarrow g(a)$ neue untere Grenze $b \longrightarrow g(b)$ neue obere Grenze
Die nach dx umgeformte Gleichung und die neuen Grenzen werden nun in das Integral eingesetzt.
Nun folgt das normale Integrationsverfahren.
Resubstitution: Zuletzt wird für z wieder die Funktion $g(x)$ eingesetzt.

Beispiel für Integration durch Substituion

Die zu integrierende Funktion lautet: $h(x)=e^{2x}$

Zu bestimmen: $H(x) = \int_a^b e^{2x}\, dx$

Die innere Funktion ist $g(x) = 2x = z$
Ableitung der Funktion: $g'(x)=2 *dx=dz$
Umformen nach dx: $2*dx= dz \Longrightarrow dx = \frac{dz}{2}$
Anpassung der alten Grenzen $a \longrightarrow g(a)$ $b \longrightarrow g(b)$
Einsetzen in das Integral: $\int_{g(a)}^{g(b)} e^z\, \frac{dz}{2} = \frac{1}{2} * \int_{g(a)}^{g(b)} e^z\, dz$
Integration: $\frac{1}{2} * \int_{g(a)}^{g(b)} e^z\, dz = \frac{1}{2} \left [ e^z\right ]^{g(b)}_{g(a)}$
Die Funktion $g(x)$ für die Variable $z$ ersetzen: $\frac{1}{2} \left [ e^z\right ]^{g(b)}_{g(a)} = \frac{1}{2} \left [ e^{2x}\right ]^{g(b)}_{g(a)}$