Benutzer:Klara WWU-6/Von der Randfunktion zur Integralfunktion

Aus ZUM Projektwiki
partielle Integration
Die Beispiel-Funktion lautet:

lässt sich leicht integrieren. Also und

lässt sich leicht ableiten. Also und

Nun müssen unsere Funktionen und deren Ableitungen in die oben genannte Formel eingesetzt werden: Die integrierte Funktion bzw. Stammfunktion von lautet somit:



Integration durch Substitution

Die Integration durch Substitution ist eine weitere Methode der Integration, welche auf der Kettenregel beruht. Dabei muss eine Verknüpfung zweier Funktionen innerhalb dieses Integrals vorhanden sein. Allgemein wird ihre Formel folgendermaßen definiert:

Vorgehen

  1. Zunächst wird die innere Funktion dieser verknüpften Funktion durch eine Variable z ersetzt. Also
  2. Die Gleichung wird nach x abgeleitet. Also
  3. und dann nach dx umgeformt:
  4. Falls im Integral die Grenzen a und b angegeben wurden, müssen diese durch Einsetzen in die Gleichung angepasst werden: neue untere Grenze neue obere Grenze
  5. Die nach dx umgeformte Gleichung und die neuen Grenzen werden nun in das Integral eingesetzt.
  6. Nun folgt das normale Integrationsverfahren.
  7. Resubstitution: Zuletzt wird für z wieder die Funktion eingesetzt.

Beispiel

Die zu integrierende Funktion lautet: Zu bestimmen:

  1. Die innere Funktion ist
  2. Ableitung der Funktion:
  3. Umformen nach dx:
  4. Anpassung der alten Grenzen
  5. Einsetzen in das Integral:
  6. Integration:
  7. Die Funktion für die Variable ersetzen:

Siw integrierte Funktion bzw. Stammfunktion von lautet: