Benutzer:Klara WWU-6/Von der Randfunktion zur Integralfunktion

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partielle Integration

Die partielle Integration ist eine Methode, die die Integration von Produkten zweier Funktionen ermöglicht. Sie beruht auf der Produktregel und wird daher auch Produktintegration genannt. Dabei ist es von Vorteil, wenn die eine Funktion leicht abzuleiten und die andere leicht zu integrieren ist. Allgemein definiert man die Formel der partiellen Integration so:$\int f'(x)*g(x)\,dx = [f(x) * g(x)] - \int f(x)*g'(x)\,dx$ Dabei ist $\int f'(x)*g(x)\,dx$ das ursprüngliche Integral. $f'(x)$ ist die leicht zu integrierende Funktion. $g(x)$ ist die leicht abzuleitende Funktion.

Falls du eine ausführliche Erklärung mit einem Beispiel benötigst,klicke hier.

Beispiel zur partielle Integration :$h(x) = e^x * x$

$e^x$ lässt sich leicht integrieren. Also $f(x)=e^x$ und $f'(x)=e^x$

$x$ lässt sich leicht ableiten. Also $g(x)=x$ und $g'(x)=1$

Nun müssen unsere Funktionen und deren Ableitungen in die oben genannte Formel eingesetzt werden: $\int f'(x)*g(x)\,dx = [f(x) * g(x)] - \int f(x)*g'(x)\,dx$ $\int e^x*x\,dx = [e^x * x] - \int e^x*1\,dx = [e^x * x] - [e^x] = e^x * (x-1)$

Die integrierte Funktion bzw. Stammfunktion von $h(x) = e^x * x$ lautet somit:$H(x) = e^x * (x-1)$

Integration durch Substitution

Die Integration durch Substitution ist eine weitere Methode der Integration, welche auf der Kettenregel beruht. Dabei muss eine Verknüpfung zweier Funktionen innerhalb dieses Integrals vorhanden sein. Allgemein wird ihre Formel folgendermaßen definiert:$\int_a^b f(g(x))*g'(x)\, dx = \int_{g(a)}^{g(b)} f(z)\, dx$

Vorgehen:

1. Zunächst wird die innere Funktion $g(x)$ dieser verknüpften Funktion durch eine Variable z ersetzt. Also $z = g(x)$
2. Die Gleichung wird nach x abgeleitet. Also $z = g(x) \Longrightarrow dz = g'(x) dx$
3. und dann nach dx umgeformt: $dz = g'(x) dx \Longrightarrow dx = \frac{dz}{g'(x)}$
4. Falls im Integral die Grenzen a und b angegeben wurden, müssen diese durch Einsetzen in die Gleichung $g(x)$ angepasst werden: $a \longrightarrow g(a)$ neue untere Grenze $b \longrightarrow g(b)$ neue obere Grenze
5. Die nach dx umgeformte Gleichung und die neuen Grenzen werden nun in das Integral eingesetzt.
6. Nun folgt das normale Integrationsverfahren.
7. Resubstitution: Zuletzt wird für z wieder die Funktion $g(x)$ eingesetzt.

Beispiel für Integration durch Substituion

Die zu integrierende Funktion lautet: $h(x)=e^{2x}$

Zu bestimmen: $H(x) = \int_a^b e^{2x}\, dx$

1. Die innere Funktion ist $g(x) = 2x = z$
2. Ableitung der Funktion: $g'(x)=2 *dx=dz$
3. Umformen nach dx: $2*dx= dz \Longrightarrow dx = \frac{dz}{2}$
4. Anpassung der alten Grenzen $a \longrightarrow g(a)$ $b \longrightarrow g(b)$
5. Einsetzen in das Integral: $\int_{g(a)}^{g(b)} e^z\, \frac{dz}{2} = \frac{1}{2} * \int_{g(a)}^{g(b)} e^z\, dz$
6. Integration: $\frac{1}{2} * \int_{g(a)}^{g(b)} e^z\, dz = \frac{1}{2} \left [ e^z\right ]^{g(b)}_{g(a)}$
7. Die Funktion $g(x)$ für die Variable $z$ ersetzen: $\frac{1}{2} \left [ e^z\right ]^{g(b)}_{g(a)} = \frac{1}{2} \left [ e^{2x}\right ]^{g(b)}_{g(a)}$

Sie integrierte Funktion bzw. Stammfunktion von $h(x)=e^{2x}$ lautet: $H(x) = \frac{1}{2} * e^{2x}$

Aufgaben

Übung

Wie lautet die Stammfunktion dieser Funktionen?

a) $f(x) = x*sin(2x)$

Nutze die partielle Integration

Setze die leicht abzuleitende Funktion $g(x)=x$ und die leicht zu integrierende Funktion $f'(x)=sin(2x)$

$F(x)= \frac{sin(2x)}{4} - \frac{x*cos(2x)}{2} + C$

b) $f(x)=x*e^{x^2}$

Nutze die Integration durch Substitution

Setze die innerer Funktion $g(x)=x^2 = z$ und leite sie nach x ab

$\int x*e^z\, \frac{dz}{2x} = \int \frac{e^z}{2}\, dz = \frac{1}{2} \int e^z\, dz$

$F(x)= \frac{e^{x^2}}{2} + C$

c) $f(x)= \frac{e^x}{a-e^x}$

Nutze die Integration durch Substitution

Setze die innerer Funktion $g(x)= a-e^x = z$ und leite sie nach x ab

$F(x)= - ln(|a-e^x|) + C$