Benutzer:Klara WWU-6/Von der Randfunktion zur Integralfunktion: Unterschied zwischen den Versionen

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{{Lösung versteckt|Die Beispiel-Funktion lautet: <math>h(x) = e^x * x</math><span style="color: green"> <math> e^x </math> lässt sich leicht integrieren. Also <math> f(x)=e^x </math> und  <math> f'(x)=e^x </math> </span> <span style="color: Purple">|Beispiel zur partiellen Integration|Beispiel verbergen}}
{{Box|Beispiel für partielle Integration|Die Beispiel-Funktion lautet: <math>h(x) = e^x * x</math><span style="color: green">  
<math> e^x </math> lässt sich leicht integrieren. Also <math> f(x)=e^x </math> und  <math> f'(x)=e^x </math> </span> <span style="color: Purple">|}}




<math> x </math> lässt sich leicht ableiten. Also <math> g(x)=x </math> und <math> g'(x)=1 </math> Nun müssen unsere Funktionen und deren Ableitungen in die oben genannte Formel eingesetzt werden: <math> \int f'(x)*g(x)\,dx = [f(x) * g(x)] - \int f(x)*g'(x)\,dx </math> <math> \int e^x*x\,dx = [e^x * x] - \int e^x*1\,dx = [e^x * x] - [e^x] = e^x * (x-1) </math> Die integrierte Funktion bzw. Stammfunktion von  <math>h(x) = e^x * x</math> lautet somit:<math> H(x) = e^x * (x-1) </math>
<math> x </math> lässt sich leicht ableiten. Also <math> g(x)=x </math> und <math> g'(x)=1 </math>  
Nun müssen unsere Funktionen und deren Ableitungen in die oben genannte Formel eingesetzt werden: <math> \int f'(x)*g(x)\,dx = [f(x) * g(x)] - \int f(x)*g'(x)\,dx </math>  
<math> \int e^x*x\,dx = [e^x * x] - \int e^x*1\,dx = [e^x * x] - [e^x] = e^x * (x-1) </math>  
Die integrierte Funktion bzw. Stammfunktion von  <math>h(x) = e^x * x</math> lautet somit:<math> H(x) = e^x * (x-1) </math>




{{Box| Integration durch Substitution|Die Integration durch Substitution ist eine weitere Methode der Integration, welche auf der Kettenregel beruht. Dabei muss eine Verknüpfung zweier Funktionen innerhalb dieses Integrals vorhanden sein. Allgemein wird ihre Formel folgendermaßen definiert:<math> \int_a^b f(g(x))*g'(x)\, dx = \int_{g(a)}^{g(b)} f(z)\, dx </math>|}}
{{Box|Integration durch Substitution|Die Integration durch Substitution ist eine weitere Methode der Integration, welche auf der Kettenregel beruht. Dabei muss eine Verknüpfung zweier Funktionen innerhalb dieses Integrals vorhanden sein. Allgemein wird ihre Formel folgendermaßen definiert:<math> \int_a^b f(g(x))*g'(x)\, dx = \int_{g(a)}^{g(b)} f(z)\, dx </math>|}}




{{Lösung versteckt|Die zu integrierende Funktion lautet: <math> h(x)=e^{2x} </math>|Beispiel zur Integration durch Substitution| Beispiel verbergen}}  
{{Box|Beispiel für Integration durch Substituion|Die zu integrierende Funktion lautet: <math> h(x)=e^{2x} </math>
Zu bestimmen: <math> H(x) = \int_a^b e^{2x}\, dx </math>
#Die innere Funktion ist <math> g(x) = 2x = z </math>
#Ableitung der Funktion: <math> g'(x)=2 *dx=dz </math>
#Umformen nach dx: <math> 2*dx= dz \Longrightarrow dx = \frac{dz}{2}</math>
#Anpassung der alten Grenzen <math> a \longrightarrow g(a)</math> <math>  b \longrightarrow g(b)  </math>
#Einsetzen in das Integral: <math> \int_{g(a)}^{g(b)} e^z\, \frac{dz}{2} = \frac{1}{2} * \int_{g(a)}^{g(b)} e^z\, dz </math>
#Integration: <math> \frac{1}{2} * \int_{g(a)}^{g(b)} e^z\, dz = \frac{1}{2} \left [  e^z\right ]^{g(b)}_{g(a)} </math>
#Die Funktion <math> g(x) </math> für die Variable <math> z </math> ersetzen: <math> \frac{1}{2} \left [  e^z\right ]^{g(b)}_{g(a)} = \frac{1}{2} \left [  e^{2x}\right ]^{g(b)}_{g(a)} </math>
 
Siw integrierte Funktion bzw. Stammfunktion von <math> h(x)=e^{2x} </math> lautet:
<math> H(x) = \frac{1}{2} * e^{2x} </math>|}}  


====Vorgehen====
====Vorgehen====
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====Beispiel====
====Beispiel====
Zu bestimmen: <math> H(x) = \int_a^b e^{2x}\, dx </math>
#Die innere Funktion ist <math> g(x) = 2x = z </math>
#Ableitung der Funktion: <math> g'(x)=2 *dx=dz </math>
#Umformen nach dx: <math> 2*dx= dz \Longrightarrow dx = \frac{dz}{2}</math>
#Anpassung der alten Grenzen <math> a \longrightarrow g(a)</math> <math>  b \longrightarrow g(b)  </math>
#Einsetzen in das Integral: <math> \int_{g(a)}^{g(b)} e^z\, \frac{dz}{2} = \frac{1}{2} * \int_{g(a)}^{g(b)} e^z\, dz </math>
#Integration: <math> \frac{1}{2} * \int_{g(a)}^{g(b)} e^z\, dz = \frac{1}{2} \left [  e^z\right ]^{g(b)}_{g(a)} </math>
#Die Funktion <math> g(x) </math> für die Variable <math> z </math> ersetzen: <math> \frac{1}{2} \left [  e^z\right ]^{g(b)}_{g(a)} = \frac{1}{2} \left [  e^{2x}\right ]^{g(b)}_{g(a)} </math>
Siw integrierte Funktion bzw. Stammfunktion von <math> h(x)=e^{2x} </math> lautet:
<math> H(x) = \frac{1}{2} * e^{2x} </math>

Version vom 8. April 2020, 16:53 Uhr

partielle Integration


Beispiel für partielle Integration


lässt sich leicht ableiten. Also und Nun müssen unsere Funktionen und deren Ableitungen in die oben genannte Formel eingesetzt werden: Die integrierte Funktion bzw. Stammfunktion von lautet somit:


Integration durch Substitution
Die Integration durch Substitution ist eine weitere Methode der Integration, welche auf der Kettenregel beruht. Dabei muss eine Verknüpfung zweier Funktionen innerhalb dieses Integrals vorhanden sein. Allgemein wird ihre Formel folgendermaßen definiert:


Beispiel für Integration durch Substituion

Die zu integrierende Funktion lautet: Zu bestimmen:

  1. Die innere Funktion ist
  2. Ableitung der Funktion:
  3. Umformen nach dx:
  4. Anpassung der alten Grenzen
  5. Einsetzen in das Integral:
  6. Integration:
  7. Die Funktion für die Variable ersetzen:

Siw integrierte Funktion bzw. Stammfunktion von lautet:

Vorgehen

  1. Zunächst wird die innere Funktion dieser verknüpften Funktion durch eine Variable z ersetzt. Also
  2. Die Gleichung wird nach x abgeleitet. Also
  3. und dann nach dx umgeformt:
  4. Falls im Integral die Grenzen a und b angegeben wurden, müssen diese durch Einsetzen in die Gleichung angepasst werden: neue untere Grenze neue obere Grenze
  5. Die nach dx umgeformte Gleichung und die neuen Grenzen werden nun in das Integral eingesetzt.
  6. Nun folgt das normale Integrationsverfahren.
  7. Resubstitution: Zuletzt wird für z wieder die Funktion eingesetzt.

Beispiel

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