Benutzer:Klara WWU-6/Von der Randfunktion zur Integralfunktion: Unterschied zwischen den Versionen

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{{Lösung versteckt|Die Beispiel-Funktion lautet: <math>h(x) = e^x * x</math>|Du benötigst ein Beispiel?|Beispiel verbergen}}
{{Lösung versteckt|Die Beispiel-Funktion lautet: <math>h(x) = e^x * x</math>
 
<span style="color: green"> <math> e^x </math> lässt sich leicht integrieren. Also <math> f(x)=e^x </math> und  <math> f'(x)=e^x </math> </span>
<span style="color: green"> <math> e^x </math> lässt sich leicht integrieren. Also <math> f(x)=e^x </math> und  <math> f'(x)=e^x </math> </span>


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<math> \int e^x*x\,dx = [e^x * x] - \int e^x*1\,dx = [e^x * x] - [e^x] = e^x * (x-1) </math>
<math> \int e^x*x\,dx = [e^x * x] - \int e^x*1\,dx = [e^x * x] - [e^x] = e^x * (x-1) </math>
Die integrierte Funktion bzw. Stammfunktion von  <math>h(x) = e^x * x</math> lautet somit:
Die integrierte Funktion bzw. Stammfunktion von  <math>h(x) = e^x * x</math> lautet somit:
<math> H(x) = e^x * (x-1) </math>
<math> H(x) = e^x * (x-1) </math>|Beispiel zur partiellen Integration|Beispiel verbergen}}
 
 





Version vom 8. April 2020, 16:39 Uhr

partielle Integration
Beispiel zur partiellen Integration




Integration durch Substitution

Die Integration durch Substitution ist eine weitere Methode der Integration, welche auf der Kettenregel beruht. Dabei muss eine Verknüpfung zweier Funktionen innerhalb dieses Integrals vorhanden sein. Allgemein wird ihre Formel folgendermaßen definiert:

Vorgehen

  1. Zunächst wird die innere Funktion dieser verknüpften Funktion durch eine Variable z ersetzt. Also
  2. Die Gleichung wird nach x abgeleitet. Also
  3. und dann nach dx umgeformt:
  4. Falls im Integral die Grenzen a und b angegeben wurden, müssen diese durch Einsetzen in die Gleichung angepasst werden: neue untere Grenze neue obere Grenze
  5. Die nach dx umgeformte Gleichung und die neuen Grenzen werden nun in das Integral eingesetzt.
  6. Nun folgt das normale Integrationsverfahren.
  7. Resubstitution: Zuletzt wird für z wieder die Funktion eingesetzt.

Beispiel

Die zu integrierende Funktion lautet: Zu bestimmen:

  1. Die innere Funktion ist
  2. Ableitung der Funktion:
  3. Umformen nach dx:
  4. Anpassung der alten Grenzen
  5. Einsetzen in das Integral:
  6. Integration:
  7. Die Funktion für die Variable ersetzen:

Siw integrierte Funktion bzw. Stammfunktion von lautet: